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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013

Exercices sur les suites numériques

I Pour démarrer

Exercice 1 (Un vrai-faux)

1.La somme de deux suites croissantes est croissante.

2.Le produit de deux suites réelles minorées est minoré.

3.Le quotient de deux suites convergentes est convergente.

4.La somme de deux suites divergentes est divergente.

5.La somme de deux suites bornées est une suite bornée.

6.Le produit de deux suites bornées est une suite bornée.

Pour terminer :

7.Une suite qui diverge est non bornée.

8.Une suite strictement croissante tend nécessairement vers +∞.

9.Une suite qui tend vers +∞est nécessairement croissante.

Exercice 2 (Un peu de technique)Étudier les limites des suites définies par : a)un=sin(n2)n, b)un=n3+ 5n5n3+ cosn+1n2c)un=n+ 1 + cosn2d)un=? n2+n-?n2-n e)un=1

4+18+116+···+12n.

Exercice 3 (Sommes de termes positifs)Paul m"a dit : "en ajoutant indéfiniment des nombres positifs,

on obtient des sommes aussi grandes que l"on veut».

1.L"affirmation de Paul est-elle vraie?

Chloé m"a dit : "en ajoutant indéfiniment des nombres de plus en plus proches de 0, on ne peut pas obtenir de

somme très grande». Voici un exemple, permettant de réfléchir à l"affirmation de Chloé.

2.On pose pourn?1,Sn=1⎷1+1⎷2+···+1⎷n.

Démontrer que pourn?1, on aSn?⎷

n. En déduire la limite de la suite (Sn).

L"affirmation de Chloé est-elle vraie?

Exercice 4 (Un peu d"algorithmique)Soitula suite définie parun+1=un+1unetu0= 1.

1.Écrire une suite d"instructionsMaplepermettant de calculer les 10 premiers termes. Conjecturer la nature

deu.

2.Déterminer la monotonie de

u. En déduire que la suiteune peut converger vers 0.

3.Montrer queudiverge (on pourra raisonner par l"absurde).

4.Écrire une procédure utilisant une bouclewhilepermettant de déterminer le plus petit entierntel que

u n?20. 1/8 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013 Exercice 5Déterminer la limite de la suite de terme général1n2n k=1E(kx) oùxest un réel et E désigne la partie entière (on pourra encadrer).

Exercice 6 (Apprendre à encadrer)Démontrer à l"aide du théorème des gendarmes que la suite de terme

général : u n=1 ⎷n2+ 1+1⎷n2+ 2+···+1⎷n2+n est convergente et donner sa limite.

La suite (un) est-elle croissante?

Exercice 7 (Étude d"une somme télescopique)Déterminer des réelsaetbtels que pour toutk?N?, on

ait :1 k2-1=ak-1+bk+ 1.

En déduire pourn?2, la valeur de la sommeSn=n?

k=21 k2-1.En déduire que la suite (Sn) est convergente et déterminer sa limite. Exercice 8 (Cette série de Riemann converge)Pourn?1, on posesn=n? k=11 k2.

1.Demander la limite desnà votre calculatrice. Nous démontrerons ce joli résultat un peu plus tard.

2.Déterminer la monotonie de (sn).

3.Montrer que pour tout entierk?2, on a :

1 k2?1k-1-1k.

En déduire que (sn) est majorée.

4.Montrer que (sn) converge, donner un majorant de sa limite.

Exercice 9 (Constante d"Euler)Pourn?1, on poseHn=n? k=11 ket on noteuetvles suites de terme généralun=Hn-lnnetvn=un-1 n.

1.Montrer que pourn?1, on a1

n+1?ln(n+ 1)-lnn?1n(on pourra écrire ln(n+ 1)-lnnà l"aide d"une intégrale).

2.Montrer que les suitesuetvsont adjacentes. On noteγleur limite commune, on l"appelle la constante

d"Euler 1.

3.Justifier que pour toutn?1,|un-γ|?1

n.

4.En déduire une valeur approchée deγà 10-3près.

5.Retrouver ainsi un équivalent simple deHn.

6.En déduire la limite deH2n-Hn.

Exercice 10 (Moyenne arithmético-géométrique)On considère deux suites (un) et (vn) définies paru0>

0 etv0>0 et les relations suivantes :

u n+1=⎷ unvnetvn+1=un+vn2.

1. On ne sait toujours pas si la constante d"Euler est un nombre irrationnel

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1.Justifier que pour toutn?Non aun>0 etvn>0.

2.Montrer que pour tous réelsxety, on axy?x2+y2

2.

3.En déduire que pour toutn?N?,un?vn.

4.En déduire que les suitesuetvsont monotones.

5.Démontrer que les suitesuetvsont convergentes et convergent vers une même limite.

Exercice 11 (annégligeable devantn!qui est négligeable devantnn)Soita >0. On poseun=an n!.

1. (a)Écrireuncomme un produit dentermes à l"aide du symbole?nk=1.

(b)Justifier l"existence d"un entierNtel que?k?N,a k?12. (c)En déduire que liman n!= 0.

2.Démontrer aussi que limn!

nn= 0. On note alorsan=o(n!) etn! =o(nn).

II Un peu plus raffiné

Exercice 12 (Bien choisirε)Soituune suite qui converge versl.

1.Démontrer que sil >1, on a

?n0?N,?n?n0, un>1.

2.Sil?1, a-t-on?n0?N,?n?n0, un?1?

Exercice 13La suite de terme général sinn2π

3est-elle convergente? Expérimenter à l"aide de Maple ou de

votre calculatrice.

Exercice 14 (Bien extraire)Soit (un) une suite réelle. On suppose que les suites extraites (u2n),(u2n+1) et

(u3n) convergent vers respectivementl1,l2etl3.

1.Déterminer une suite extraite de (u2n) et de (u3n). Que peut-on en déduire?

2.Démontrer que la suite (un) est convergente.

Exercice 15Soit (un) une suite et (uφ(n)) une suite extraite de (un). Montrer que toute suite extraite de

(uφ(n)) est une suite extraite de (un).

Exercice 16 (Divergence decosn)

1.Démontrer que pourn?N, on a

cos(n+ 1) + cos(n-1) = 2cos(n)cos(1).

2.En déduire que si cosntend vers un réell, alorsl= 0.

3.Conclure à une absurdité en utilisant la formule de duplication du cosinus (expression de cos2nà l"aide

cosn).

Nous proposons une deuxième méthode.

4.Déterminer une infinité d"entiers naturelsntels que cosn?1

2. En déduire qu"il existe une extractriceφtelle

que ?n?N,cos(φ(n))?1 2. 3/8 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013

5.Démontrer de même qu"il existe une extractriceσtelle que

?n?N,cos(σ(n))?-1 2.

En déduire que cosndiverge.

Exercice 17 (Savoir extraire)Soit (un) une suite réelle. Parmi les suites ci-dessous, trouver celles qui sont

extraites d"une autre, on précisera les extractrices : u

3n, u6n, u2n, u3.2n, u3.2n+1, u2n, u2n+1.

Exercice 18 (Suites d"entiers convergentes)

1.Démontrer que si une suiteuconverge, alors

?n0?N,?n?n0,|un+1-un|?1 2.

2.En déduire qu"une suite d"entiers convergente est nécessairement stationnaire.

3.Culturel : on noteandésigne lan-ième décimale deπ.

(a)Quelle est la nature de la suite (an)? (b)Quelle est la limite de la suite de terme généraln? k=1a k10-k?

Exercice 19 (Notion de valeur d"adhérence)Soituune suite etlun réel. Le but de l"exercice est de

démontrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) Pour toutε >0, il existe une infinité d"indicesntels que|un-l|< ε. (ii) Il existe une suite extraite deuqui converge versl.

Lorsque l"une de ces deux conditions est réalisée, on dit quelest une valeur d"adhérence deu.

1.Démontrer que (ii) implique (i).

2.On suppose que (i) est vérifiée. Démontrer qu"il existe une applicationφ:N→Nstrictement croissante telle

que ?n?N,? ?uφ(n)-l? ??1 n+ 1.

En déduire (ii).

III Problèmes

Exercice 20 (Équivalent de la série harmonique)Pourn?1, on poseHn=n? k=11 k. Cela définit la série2 harmonique.

1.Soitn?N?. Écrire la différenceH2n-Hnà l"aide du symbole?, puis montrer que

H

2n-Hn?1

2.

2.Si l"on suppose que la suite (Hn) converge versl, que dire de la limite deH2n-Hn?

2. On appellesériede terme général (un) la suite de terme généraln?

k=1u k. Vous les étudierez en détail l"année prochaine. 4/8 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013

3.En déduire que la suite (Hn) diverge vers +∞.

Nous proposons maintenant une autre méthode, qui apportera une information supplémentaire. La technique

utilisée est importante, on l"appelle comparaison d"une somme à une intégrale.

4.Soitn?1. Démontrer que pourkcompris entre 1 etn, on a

1 k+ 1?? k+1 kdtt?1k.

En déduire que

lnn+1 n?Hn?lnn+ 2.

5.En déduire un équivalent deHn. Commenter

Exercice 21 (Une suite de rationnels qui converge vers un irrationnel)On noteuetvles suites de terme généralun=n? k=01 k!etvn=un+1n!pourn?1.

1.Montrer que les suitesuetvsont adjacentes et convergent vers une même limitel.

2.Valeurs approchées del:

(a)Justifier que pourn?1, on a|un-l|?1 n!. (b)Déterminer un entierNà partir duquel le nombreuNest une approximation delà 10-6près. (c)Donner la partie entière et les cinq premières décimales del.

3.Reconnaissez-vous ce nombrel?

(a)Démontrer queIn=? 1

0(1-t)netdt

n!tend vers 0 quandntend vers +∞.

(b)Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à la fonctionx?→exet montrer quelest égal à un

nombre célèbre.

4.Une limite irrationnelle : on va montrer quelest un nombre irrationnel. On raisonne par l"absurde et on

suppose quel=p qavecpetqdansN?. (a)Démontrer que pour toutn?2, on aun< l < vn(on pourra remarquer que les suitesuetvsont strictement monotones à partir den= 2 et partir de l"encadrementun+1?l?vn+1). (b)Justifier que les nombreslq! etq!uqsont des entiers, conclure.

5.Une autre approximation del:

(a)Déterminer la limite de la suite de terme généralwn=? 1 +1 n? n (b)Tracer un graphique qui permette de comparer la rapidité de convergence dewpar rapport àu.

Exercice 22 (Théorème de Cesàro)Soit (un)n?1une suite qui converge vers un réell. On définit alors la

suite (Mn)n?1par M n=1 n(u1+u2+···+un). Le nombreMnest la moyenne arithmétique desnpremiers termes de la suite (un).

1.On fixeε >0, montrer qu"il existe un rangn0tel que pour toutn?n0, on ait :

?(un0-l) + (un0+1-l) +···+ (un-l) n? 2. 5/8 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013

2.Montrer ensuite qu"il existe un rangn1tel que pour toutn?n1, on ait :

?(u1-l) + (u2-l) +···+ (un0-1-l) n? 2.

3.Conclure avec soin que si la suite (un) converge versl, alors (Mn) converge aussi versl(ce résultat porte le

nom de théorème de Cesàro).

4.Montrer que la réciproque du théorème de Cesàro est fausse.

5.Application : soit (an) une suite asymptotiquement arithmétique,i.e.la suite de terme généralan+1-an

converge vers un réell. Montrer que la suite?an n? nconverge aussi versl(on dit aussi queanest équivalent

ànllorsquenest au voisinage de +∞).

Exercice 23 (Une suite définie implicitement)Soitn?1. Le but de l"exercice est de montrer que l"équa-

tion (En) :xn+xn-1+···+x= 1

admet une unique solution positive que l"on noteraun. On étudie ensuite la convergence de la suite (un)n?1.

On notefnla fonction définie par

f n(x) =xn+xn-1+···+x-1.

1.Soitn?1, démontrer que la fonctionfnréalise une bijection deR+sur un intervalle à préciser.

2.En déduire que l"équation (En) admet une unique solution positive que l"on noteun.

3.Calculeru1etu2. Donner une valeur approchée deu3,u4,u5.

4.Soitn?1. Exprimerfn+1(un) en fonction deun. En déduire par l"absurde queun+1?un. Que peut-on en

déduire pour la suiteu?

5.Démontrer que la suiteuest convergente. On notelsa limite.

6.Justifier que pourn?2, on aun<1.

7.Démontrer que pourn?2,un+1n?(-1+⎷

5

2)n+1. En déduire la limite de la suite (un+1n)n.

8.Démontrer que pourn?1, on aun-un+1n= 1-un. En déduire la valeur del.

IV Suites récurrentes

Exercice 24Étudier la suite définie parun+1=1

6(u2n+ 8) etu0?R+.

Exercice 25On considère la suiteudéfinie par u n=?

2 +?2 +?2 +···+⎷2

n termes.

Calculeru51puis étudier la suiteu.

Exercice 26 (Sinus itéré)On considère la suite définie parun+1= sin(un) etu0?[0,π 2].

1.Prenez une calculatrice, et avecu0= 1 par exemple "itérer le sinus». Que remarque-t-on?

2.Démontrer que l"équation sinx=xadmet une unique solution dans [0,π

2].

3.Démontrer que pour toutn?N, un?[0,π

2].

4.Démontrer que la suiteuconverge, préciser la limite.

6/8 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013 Exercice 27Le but de l"exercice est d"étudier la suite définie parun+1=21+u2netu0?0. On note f:x?→2

1 +x2.

1.Justifier que pour toutn?N?,un?[0,2].

2.Soitn?N, le réelf◦f(un) est un terme de la suiteun. Lequel?

3.Démontrer par récurrence que les suites (u2n)net (u2n+1)nsont monotones de sens contraire en utilisant la

question précédente et les variations defsurI.

4.En déduire que les suites (u2n)net (u2n+1)nsont convergentes et préciser leur limite (on pourra chercher

avec la calculatrice les points fixes def◦f).

5.En déduire que la suiteuest convergente, préciser sa limite.

Exercice 28Étudier la suite définie parun+1= (7un-6)1

3etu0?R(on pourra étudier les suites extraites

(u2n) et (u2n+1) qui sont monotones). Exercice 29 (Racines carrées)Soitula suite définie parun+1=1

2(un+2un) etu0= 2.

1.Montrer que la suite est bien définie et que pour toutn?N,un?1. Montrer queuest convergente, on

notella limite.

2.Rapidité de convergence:

(a)On posef:x?→1

2(x+2x). Montrer à l"aide de l"inégalité des accroissements finis que pour tout

x?sqrt2,|f(x)-f(y)|?1

2|x-y|(on dit quefest12-lipschitzienne). En déduire que pour tout

n?N,|un-l|?(1 2)n. (b)A partir de quel entiern,unest une approximation delà 10-6près?

3.Encore plus fort : convergence quadratique :soitn?N.

(a)montrer que u n+1-⎷

2 =(un-⎷a)2

2un?12⎷2(un-⎷2)2.

(b)En déduire que si|un-⎷

2|?ε, alors|un+1-⎷2|?ε2.

Ceci prouve que le nombre de chiffres exacts dans l"approximation de

2 parunest au moins multiplié par

2 à chaque itération.

V Comparaison des comportements asymptotiques

Exercice 30 (Est-ce équivalent?)

1.Justifier que ln(1 +1

n)≂1net sin1⎷n≂1⎷n.

2.Les équivalents suivants sont-ils vrais?

n+ 1≂n, en+1≂en,2(n+ 1)2≂n2(n+ 1)!≂n!,ln(n+ 1)≂lnn,⎷ n+ 1≂⎷n. Exercice 31Donner un équivalent simple des suites de termes généraux suivants : 1.

50n4-3n2+ 5n-1

3n2+ 4,5 +3n, en-3en+1,3n+ 10ln(n2007),3 +e1/n-6

n

3n5+en.

2. 1 n+ 1-1n+ 5+4n2,ln(n+ 1)-ln(n+ 2). 7/8 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013

Exercice 32Soientuetvdeux suites. Montrer que siuest négligeable devantvalorsu+vest équivalente à

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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