[PDF] Suites Correction ?. [005228]. Exercice 10 **. Soient (





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TD no1 : suites numériques

un) × (limn vn). Exercice 5 : Calcul de limites `a l'aide des fonctions usuelles. Calculer la limite si elle existe



L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques

Pour quelle(s) valeur(s) de a et b la suite (un)n est-elle convergente ? Exercice 3 Etudier la convergence des suites. ? n2 + n + 1 ?. ? n 



Suites et séries numériques (exercices corrigés)

Démontrer que la suite (un) converge et donner un développement asymptotique à trois termes de un (la limite étant le premier de ces trois termes). Exercice 18 



Suites

Correction ?. [005228]. Exercice 10 **. Soient (un) et (vn) les suites définies par la donnée de u0 et v0 et les relations de récurrence.



Feuille dexercices : Suites numériques.

3) La suite (Sn) est-elle convergente ? 4) Montrer que la suite (un) converge et déterminer sa limite. MPSI-Maths. Mr Mamouni.



roger.mansuy@gmail.com

20 nov. 2021 Ce document reprend la seconde édition de l'ouvrage Mathématiques MPSI (ISBN 978-2-311-40675-7) publiée par les éditions. Vuibert en 2019.



Exercices sur les suites numériques I Pour démarrer

9. Une suite qui tend vers +? est nécessairement croissante. Exercice 2 (Un peu de technique) Étudier les limites des suites définies par :.



Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

4.6 Application aux suites réelles . 7 Corrigé des exercices ... valeur approchée (utilisée dans le calcul numérique) d'un nombre réel aussi bonne qu' ...



Suites 1 Convergence

Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes de même limite l



Séries numériques

En déduire que la série est alors convergente. 4. Donner toutes les valeurs de pour lesquelles cette série converge. Allez à : Exercice 23. Exercice 24. Pour.

Exo7

Suites

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1***ITSoient(un)n2Nune suite réelle et(vn)n2Nla suite définie par :8n2N;vn=u0+u1+:::+unn+1.

1.

Montrer que si la suite (un)n2Nvers un réel`, la suite(vn)n2Nconverge et a pour limite`. Réciproque ?

2. Montrer que si la suite (un)n2Nest bornée, la suite(vn)n2Nest bornée. Réciproque ? 3. Montrer que si la suite (un)n2Nest croissante alors la suite(vn)n2Nl"est aussi. alors la suite(un)n2Nconverge. (série harmonique). 1. Montrer que : 8n2N;ln(n+1)0un+1. n!+¥ånk=111

2+22+:::+k2.

u n+1=un+vn2 etvn+1=pu n+1vn. Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes et que leur limite commune est égale à bsin(arccos(ab ))arccos(ab 1 1. sinnn 2. 1+1n n, 3. n!n n, 4.

E((n+12

)2)E ((n12 )2)), 5. npn 2, 6. pn+1pn, 7.

ånk=1k2n

3, 8.

Õnk=12k=22k.

pn+un.

1.8n2N;un+1=un32un,

2.8n2N;un+1=4(un1)u

n(ne pas se poser de questions d"existence). u n+1=2un+vn3 etvn+1=un+2vn3

Etudier les suitesuetvpuis déterminerunetvnen fonction denen recherchant des combinaisons linéaires

intéressantes deuetv. En déduire limn!+¥unet limn!+¥vn. u n+1=vn+wn2 ;vn+1=un+wn2 etwn+1=un+vn2 Etudier les suitesu,vetwpuis déterminerun,vnetwnen fonction denen recherchant des combinaisons linéaires intéressantes deu,vetw. En déduire limn!+¥un, limn!+¥vnet limn!+¥wn.

Exercice 12***Montrer que les suites définies par la donnée deu0,v0etw0réels tels que 0 récurrence : 3u n+1=1u n+1v n+1w netvn+1=3pu nvnwnetwn+1=un+vn+wn3 ont une limite commune que l"on ne cherchera pas à déterminer. n)converge vers un

réel positifl. Montrer que si 06` <1, la suite(un)converge vers 0 et si` >1, la suite(vn)tend vers+¥.

Montrer que si`=1, tout est possible.

n)converge vers un réel`, alors npu n)converge et a même limite. 2.

Etudier la réciproque.

3.

Application : limites de

(a) npC n2n, (b) nn pn!, (c) 1n

2nq(3n)!n!.

vers 1. netvn=1+1n n+1.

Etudier les deux suitesun=

ånk=11pk

2pn+1 etvn=

ånk=11pk

2pn. 3 Exercice 20**TDéterminerunen fonction denet de ses premiers termes dans chacun des cas suivants :

1.8n2N;4un+2=4un+1+3un.

2.8n2N;4un+2=un.

3.8n2N;4un+2=4un+1+3un+12.

4.8n2N;2u

n+2=1u n+11u n.

5.8n>2;un=3un12un2+n3.

6.8n2N;un+36un+2+11un+16un=0.

7.8n2N;un+42un+3+2un+22un+1+un=n5.

n. Montrer que limn!+¥(unpn) =12 cos p2 n=12 q2+p2+:::+p2 (n1 radicaux) et sinp2 n=12 q2p2+:::+p2 (n1 radicaux).

En déduire lim

n!+¥2nq2p2+:::+p2 (nradicaux). 2.

Montrer que

Õnk=11+1k

kMontrer que si a2pest rationnel, les suitesuetvsont périodiques et montrer dans ce cas que(un)et(vn) convergent si et seulement sia22pZ. 2.

On suppose dans cette question que

a2pest irrationnel . (a) Montrer que (un)converge si et seulement si(vn)converge . (b)

En utilisant dif férentesformules de trigonométrie fournissant des relations entre unetvn, montrer

par l"absurde que(un)et(vn)divergent. 3.

On suppose toujours que

a2pest irrationnel. On veut montrer que l"ensemble des valeurs de la suite(un) (ou(vn)) est dense dans[1;1], c"est-à-dire que8x2[1;1];8e>0;9n2N=junxj0 pour en déduire quea2p2Q). (c)

Conclure.

a2]0;p[(supn2N(jsin(na)j)). . Montrer que(un)converge vers 12 Correction del"exer cice1 N1.Soit e>0. Il existe un rangn0tel que, sin>n0alorsjun`j1n+1nå k=0u k`

1n+1nå

k=0(uk`) 6

1n+1nå

k=0juk`j=1n+1n 0å k=0juk`j+1n+1nå k=n0+1juk`j 6 1n+1n 0å k=0juk`j+1n+1nå k=n0+1e2

61n+1n

0å k=0juk`j+1n+1nå k=0e2 1n+1n 0å k=0juk`j+e2

Maintenant,

ån0k=0juk`jest une expression constante quandnvarie et donc, limn!+¥1n+1ån0k=0juk`j=

0. Par suite, il existe un entiern1>n0tel que pourn>n1,1n+1ån0k=0juk`j . Pourn>n1, on a alors jvn`j0;9n12N=(8n2N)(n>n1) jvn`jSi la suiteuconverge vers`alors la suitevconverge vers`.La réciproque est fausse. PourndansN, posonsun= (1)n. La suite(un)est divergente. D"autre part,

pourndansN,ånk=0(1)kvaut 0 ou 1 suivant la parité denet donc, dans tous les cas,jvnj61n+1. Par suite, la suite(vn)converge et limn!+¥vn=0. 2.

Si uest bornée, il existe un réelMtel que, pour tout natureln,junj6M. Pournentier naturel donné, on

a alors jvnj61n+1nå k=0jukj61n+1nå k=0M=1n+1(n+1)M=M:

La suitevest donc bornée.

Si la suiteuest bornée alors la suitevest bornée.Laréciproqueestfausse. Soitulasuitedéfiniepar:8n2N;un=(1)nEn2

=psin=2p;p2N psin=2p+1;p2N.

un"est pas bornée car la suite extraite(u2p)tend vers+¥quandptend vers+¥. Mais, sinest impair,

v n=0, et sinest pair,vn=1n+1un=n2(n+1), et dans tous les casjvnj61n+1n2

61n+1n+12

=12 et la suite vest bornée. 3. Si uest croissante, pournentier naturel donné on a : v n+1vn=1n+2n+1å k=0u k1n+1nå k=0u k=1(n+1)(n+2) (n+1)n+1å k=0u k(n+2)nå k=0u k!

1(n+1)(n+2)

(n+1)un+1nå k=0u k!

1(n+1)(n+2)nå

k=0(un+1uk)>0:

La suitevest donc croissante.

6

Si la suiteuest croissante alors la suitevest croissante.Correction del"exer cice2 NSupposons sans perte de généralitéucroissante (quite à remplaceruparu). Dans ce cas, ou bienuconverge,

ou bienutend vers+¥. Supposons queutende vers+¥, et montrons qu"il en est de même pour la suitev. Soit

A2R. Il existe un rangn0tel que pour n naturel supérieur ou égal àn0,un>2A. Pourn>n0+1, on a alors,

v n=1n+1 n0å k=0u k+nå k=n0+1u k! 1n+1n 0å k=0u k+(nn0)2An+1

Maintenant, quandntend vers+¥,1n+1ån0k=0uk+(nn0)2An+1tend vers 2Aet donc, il existe un rangn1à partir

duquelvn>1n+1ån0k=0uk+(nn0)2An+1>A. On a montré que :8n2N;9n12N=(8n2N);(n>n1)vn>A).

Par suite, lim

n!+¥vn= +¥. Par contraposition, sivne tend pas vers+¥, la suiteune tend pas vers+¥et donc converge, d"après la remarque initiale.Correction del"exer cice3 N1.La fonction x7!1x est continue et décroissante sur]0;+¥[et donc, pourk2N, on a :

1k+1= (k+1k)1k+16Z

k+1 k1x dx6(k+1k)1k =1k

Donc, pourk>1,1k

>Rk+1 k1x dxet, pourk>2,1k 6Rk k11x dx. En sommant ces inégalités, on obtient pourn>1, H n=nå k=11k >nå k=1Z k+1 k1x dx=Z n+1 11x dx=ln(n+1); et pourn>2, H n=1+nå k=21k

61+nå

k=2Z k k11x dx=1+Z n 11x dx=1+lnn; cette dernière inégalité restant vraie quandn=1. Donc,

8n2N;ln(n+1)6Hn61+lnn:2.Soit nun entier naturel non nul.

u n+1un=1n+1ln(n+1)+lnn=1n+1Z n+1 n1x dx=Z n+1 n

1n+11x

dx60 car la fonctionx7!1x décroit sur[n;n+1]. De même, v n+1vn=1n+1ln(n+2)+ln(n+1) =1n+1Z n+2 n+11x dx=Z n+2 n+1

1n+11x

dx>0 car la fonctionx7!1x décroit sur[n+1;n+2]. Enfin, u nvn=ln(n+1)lnn=ln 1+1n 7

et donc la suiteuvtend vers 0 quandntend vers+¥. Finalement, la suiteudécroit, la suitevcroit et

la suiteuvtend vers 0. On en déduit que les suitesuetvsont adjacentes, et en particulier convergentes

et de même limite. Notonsgcette limite. Pour tout entier naturel non nuln, on avn6g6un, et en particulier,v36g6u1avecv3=0;5:::etu1=1. Donc,g212 ;1. Plus précisément, pournentier naturel non nul donné, on a

06unvn61022

,ln 1+1n

60;005,1n

6e0;0051,n>1e

0;0051=199;5:::,n>200:

Donc 06gv10061022

et une valeur approchée dev200à1022 près (c"est-à-dire arrondie à la 3 ème

décimale la plus proche) est une valeur approchée degà 102près. On trouveg=0;57 à 102près par

défaut. Plus précisémént,

g=0;5772156649:::(gest la constante d"EULER).Correction del"exer cice4 NSoitrla raison de la suiteu. Pour tout entier naturelk, on a

ru kuk+1=uk+1uku kuk+1=1u k1u k+1.

En sommant ces égalités, on obtient :

r nå k=01u kuk+1=nå k=0 1u k1u k+1 =1u 01u n+1=un+1u0u

0un+1=(n+1)ru

0un+1:

Sir6=0, on obtientånk=01u

kuk+1=(n+1)u

0un+1, et sir=0 (etu06=0),uest constante et le résultat est immédiat.Correction del"exer cice5 NSoitkun entier naturel non nul. On sait queåki=1i2=k(k+1)(2k+1)6

. Déterminons alors trois réelsa,betctels que, pour entier naturel non nulk,

6k(k+1)(2k+1)=ak

+bk+1+c2k+1():

Pourkentier naturel non nul donné,

ak

Par suite,

()(8 :2a+2b+c=0

3a+b+c=0

a=6,8 :a=6 b=6 c=24; et donc,

8n2N;nå

k=16k(k+1)(2k+1)=6 nå k=11k +nå k=11k+14nå k=112k+1!

Ensuite, d"après l"exercice

3 , quandntend vers+¥,ånk=11k =lnn+g+o(1)puis 8 n k=11k+1=n+1å k=21kquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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