LES SUITES (Partie 2)
3M = +? car 3M est une suite géométrique de raison 3 strictement supérieure à 1. Donc par limite d'un produit lim. M?@. 3M. /. ^.
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
Suite définie par récurrence. 11. Synthèse sur suites arithmétiques et géométriques. 14. Dépasser un seuil. 14. Étude d'une suite arithmético-géométrique.
Partie 1 : Comportement à linfini des suites géométriques
Calculer la limite de la suite (Sn). Correction a) On reconnaît les premiers termes d'une suite géométrique de raison et de premier terme 1. Donc
Partie 1 : Suites arithmétiques
Si le premier terme est égal à 5 les premiers termes successifs sont : = 5
Partie 1 : Expression du terme général dune suite géométrique
LES SUITES – Chapitre 2/2. Partie 1 : Expression du terme général d'une suite géométrique. 1) Exemple. On considère la liste des trois nombres suivants : 4
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
Les suites - Partie II : Les limites
Toute suite géométrique de raison inférieure à -1 diverge et n'admet pas de limite. Exercice 5. Cocher les réponses vraies. Test final partie II.
LES SUITES (Partie 1)
Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 . Pour tout entier naturel n on a : un=u0 ×qn . Exemple : Pour la suite
Suites arithmétiques et géométriques
Partie 1. 1. u0 = 38 400 ; u1 = u0 ?400 = 38 000 ; u2 = u1 ?400 = 37 600 ; u3 = u2 ?400 = 37200. Plus généralement : un+1. = un ?400. On a une suite
SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES
Suites géométriques. Définition : Une suite a ? a a
LES SUITES (Partie 2)
I. Limites et comparaison
1) Théorèmes de comparaison
Théorème 1 :
Soit (u
n ) et (v n ) deux suites définies sur â„•.Si, à partir d'un certain rang, í µ
et lim =+∞ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que la suite (u n ) pousse la suite (v n ) vers +∞ à partir d'un certain rang.Démonstration au programme :
Soit un nombre réel a.
- lim =+∞, donc l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1On a donc pour tout í µâ‰¥í µ
6 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 2 , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ 6 ), on a : í µ<í µOn en déduit que l'intervalle
contient tous les termes de la suite (v n ) Ã partir du rang max(í µ 6Et donc lim
Théorème 2 :
Soit (u
n ) et (v n ) deux suites définies sur â„•.Si, à partir d'un certain rang, í µ
et lim =-∞ alors lim 2 Méthode : Déterminer une limite par comparaisonVidéo https://youtu.be/iQhh46LupN4
Déterminer la limite suivante : lim
-1 -1 ≥-1 donc í µ -1 -1Or lim
-1=+∞ donc par comparaison lim -12) Théorème d'encadrement
Théorème des gendarmes :
Soit (u
n ), (v n ) et (w n ) trois suites définies sur â„•.Si, à partir d'un certain rang, í µ
et lim =lim =í µ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que les suites (u n ) et (w n ) (les gendarmes) se resserrent autour de la suite (v n ) à partir d'un certain rang pour la faire converger vers la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich.Démonstration :
Soit un intervalle ouvert I contenant L.
- lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1 3 - lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 2 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 3 , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ 6 ), l'intervalle I contient tous les termes de la suite (v nEt donc lim
Méthode : Déterminer une limite par encadrementVidéo https://youtu.be/OdzYjz_vQbw
Déterminer la limite suivante : lim
1+BCDí±¢
1 siní µ 1Or : lim
1 =lim 1 =0 donc d'après le théorème des gendarmes lim siní µ =0Et donc lim
1+BCDí±¢
=1.II. Suites majorées, minorées, bornées
1) Définitions :
Définitions : - La suite (u
n ) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier n ϵℕ, í µ - La suite (u n ) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier nϵℕ, í µ - La suite (u n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.Exemples :
- Les suites de terme général cosí µ ou -1 sont bornées. - La suite de terme général n 2 est minorée par 0. Méthode : Démontrer qu'une suite est majorée ou minoréeVidéo https://youtu.be/F1u_BVwiW8E
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par í µ í±¢*6 6 +2 et O =2. Démontrer par récurrence que la suite (u n ) est majorée par 3. 4 • Initialisation : O =2<3La propriété est donc vraie pour n = 0.
• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : í µ Q <3. - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : í µ Q*6 <3.On a : í µ
Q <3 donc 6 6×3 et donc
6 +2< 6×3+2.
Soit : í µ
Q*6 <3 • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : í µ <3.2) Convergence des suites monotones
Propriété : Soit (u
n ) une suite croissante définie sur ℕ.Si lim
=í µ alors la suite (u n ) est majorée par L.Démonstration par l'absurde :
Démontrons par l'absurde en supposant le contraire, soit:"Il existe un rang p, tel que í µ T - L'intervalle ouvert Ví µ-1;í µ TW contient L.
Or, par hypothèse, lim
=í µ. Donc l'intervalle Ví µ-1;í µ TW contient tous les termes
de la suite (u n ) Ã partir d'un certain rang (1). - Comme (u n ) est croissante : í µ T pour í µ>í µ.Donc si í µ>í µ, alors í µ
∉Ví µ-1;í µ T W (2). (1) et (2) sont contradictoires, on en déduit qu'il n'existe pas p ϵℕ, tel que í µ TEt donc la suite (u
n ) est majorée par L.Théorème de convergence monotone :
- Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente. - Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente. - Admis -Remarque :
Ce théorème permet de s'assurer de la convergence mais ne donne pas la limite. Dans l'exemple ci-dessous, la suite décroissante est minorée par 2. Cela prouve que la limite de la suite est supérieure à 2 mais n'est pas nécessairement égale à 2. 5 Méthode : Utiliser le théorème de convergence monotoneVidéo https://youtu.be/gO-MQUlBAfo
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par í µ í±¢*6 6 +2 et O =2.Démontrer que la suite (u
n ) est convergente et calculer sa limite. - On a démontré dans le paragraphe I. que la suite (u n ) est croissante. On a démontré dans la méthode précédente que la suite (u n ) est majorée par 3. D'après le théorème de convergence monotone, on en déduit que la suite (u n ) est convergente. - On pose :lim í±¢*6 =limOr í µ
í±¢*6 6 +2, donc lim í±¢*6 =lim 1 3 +2= 1 3 í µ+2 par produit et somme de limites. Une limite étant unique, on en déduit que í µ= 1 3 í µ+2, soit L = 3.La suite (u
n ) converge donc vers 3.Corollaire :
1) Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞.
2) Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers -∞.
Démonstration au programme du 1) :
Soit un réel a.
Comme (u
n ) n'est pas majorée, il existe un entier p tel que í µ TLa suite (u
n ) est croissante donc pour tout í µ>í µ, on a : í µ TDonc pour tout í µ>í µ, on a : í µ
6 Et donc à partir d'un certain rang p, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalleOn en déduit que lim
III. Comportement à l'infini d'une suite géométrique1) Rappel
Définition : Une suite (u
n ) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : í µ í±¢*6Le nombre q est appelé raison de la suite.
Exemple : La suite (u
n ) définie par í µ í±¢*6 =-3í µ et í µ O =5 est une suite géométrique de raison -3 et de premier terme 5.Propriété : (u
n ) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0Pour tout entier naturel n, on a : í µ
O Exemple : Pour la suite précédente, on a pour tout n : í µ =5×quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] les suites première sti2d
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