LES SUITES (Partie 2)
3M = +? car 3M est une suite géométrique de raison 3 strictement supérieure à 1. Donc par limite d'un produit lim. M?@. 3M. /. ^.
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
Suite définie par récurrence. 11. Synthèse sur suites arithmétiques et géométriques. 14. Dépasser un seuil. 14. Étude d'une suite arithmético-géométrique.
Partie 1 : Comportement à linfini des suites géométriques
Calculer la limite de la suite (Sn). Correction a) On reconnaît les premiers termes d'une suite géométrique de raison et de premier terme 1. Donc
Partie 1 : Suites arithmétiques
Si le premier terme est égal à 5 les premiers termes successifs sont : = 5
Partie 1 : Expression du terme général dune suite géométrique
LES SUITES – Chapitre 2/2. Partie 1 : Expression du terme général d'une suite géométrique. 1) Exemple. On considère la liste des trois nombres suivants : 4
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
Les suites - Partie II : Les limites
Toute suite géométrique de raison inférieure à -1 diverge et n'admet pas de limite. Exercice 5. Cocher les réponses vraies. Test final partie II.
LES SUITES (Partie 1)
Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 . Pour tout entier naturel n on a : un=u0 ×qn . Exemple : Pour la suite
Suites arithmétiques et géométriques
Partie 1. 1. u0 = 38 400 ; u1 = u0 ?400 = 38 000 ; u2 = u1 ?400 = 37 600 ; u3 = u2 ?400 = 37200. Plus généralement : un+1. = un ?400. On a une suite
SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES
Suites géométriques. Définition : Une suite a ? a a
SUITES GÉOMÉTRIQUES
Rappel : Reconnaître une suite arithmétique et une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/pHq6oClOylU
Partie 1 : Relation de récurrence (rappel)
Exemples :
a) Considérons la suite (í µ ) où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par 2. Si le premier terme est égal à 5, les termes suivants sont : =5, =10, =20, =40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.La suite est donc définie par : *
=5 =2í µ b) Soit la suite numérique (í µ ) de premier terme 4 et de raison 0,1.Les premiers termes successifs sont :
= 4 = 0,1 × 4 = 0,4 = 0,1 × 0,4 = 0,04 = 0,1 × 0,04 = 0,004La suite est donc définie par : *
=4 =0,1Ã—í µDéfinition : Une suite (í µ
) est une suite géométrique s'il existe un nombre í µ, tel que : Le nombre í µ est appelé raison de la suite.Partie 2 : Forme explicite en fonction de n
Méthode : Exprimer une suite géométrique en fonction de nVidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c
On place un capital de 500 € sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4 % par an.
On note í µ
la valeur du capital après í µannées. a) Calculer í µ et í µ b) Quelle est la nature de la suite (í µ ) ? On donnera son premier terme et sa raison. 2 c) Exprimer í µ en fonction de í µ d) Exprimer í µ en fonction de í µ.Correction
a) Chaque année, le capital est multiplié par 1,04. =500 =1,04×500=520 =1,04×520=540,80 =1,04×540,80=562,432 b) (í µ ) est une suite géométrique de premier terme í µ =500 et de raison í µ=1,04.On parle ici de croissance exponentielle.
c) í µ =1,04í µ d) Après 1 an, le capital est égal à : í µ =1,04×500 Après 2 ans, le capital est égal à : í µ =1,04×500
Après 3 ans, le capital est égal à : í µ =1,04×500
De manière générale, après í µ années, le capital est : í µ =1,04×500
Méthode : Déterminer une expression en fonction de í µ d'une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c
a) Déterminer l'expression en fonction de í µ de la suite géométrique définie par : =3 =4í µ b) Déterminer l'expression en fonction de í µ de la suite géométrique définie par : =5 =2í µCorrection
a) On a : í µ =3 et í µ =4í µ On passe d'un terme au suivant en multipliant par 4, donc la raison í µ est égal à 4et le premier terme í µ est égal à 3.Ainsi :
=3×4 b) On a : í µ =5 et í µ =2í µ On passe d'un terme au suivant en multipliant par 2 donc la raison í µ est égal à 2.Ici, le terme í µ
n'est pas donné mais on peut le calculer.Pour passer de í µ
, on divise par 2 (" marche arrière ») donc :Propriété : Si (í µ
) est une suite géométrique de raison í µ, on a : 3 2 5 2 =2,5. La raison í µ est égal à 2et le premier terme í µ est égal à 2,5.Ainsi :
=2,5×2 Partie 3 : Sens de variation d'une suite géométrique (rappel)Propriété : (í µ
) est une suite géométrique de raison í µ et de premier terme í µ strictement positif. - Si í µ>1 alors la suite (í µ ) est croissante. - Si í µ=1 alors la suite (í µ ) est constante. - Si 0<í µ<1 alors la suite (í µ ) est décroissante. Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique Déterminer le sens de variation des suites géométriques (í µ ) et (í µ ) définies par : a) í µ =4×2 b) 7 =2 1 2Correction
a) La suite géométrique (í µ ) définie par í µ =4×2 est croissante car í µ=2 donc í µ>1 b) La suite géométrique (í µ ) définie par í µ 1 2 et í µ =2 est décroissante car í µ= 1 2 donc 0<í µ<1. Partie 4 : Somme des termes d'une suite géométrique Méthode : Calculer la somme des termes d'une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/_BjEOTi-2z8
Vidéo https://youtu.be/44YbOfRQgjk
1) On considère la suite géométrique (í µ
) de raison q = 2 et de premier terme í µ = 5. a) Exprimer í µ en fonction de í µ. Propriété : Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique :1-í µí µí µí µí µí µ
!()*+,.,/,+),01-í µí µí µí µí µí µ
4 b) Calculer la somme : 1 1232) Chaque début d'année, on place un capital de 500 € sur un même compte à un taux
annuel de 3 %. Calculer la valeur totale disponible sur le compte après 7 ans.Correction
1) í µ)í µ
=5×2 1 1233 4
Ainsi :
31-í µ
#41-í µ
=5×2 5 1-2 #4 1-2 =-5×2 5 1-2 #4 =5242800On vérifie avec la calculatrice :
Sur TI : som(suite(5*2
X-1 ,X,5,20))Sur Casio :
La calculatrice affiche 5 242 800. Donc :
1 123=5242800
2) On considère la suite (í µ
) exprimant la valeur acquise pour 500 € placés durant í µ années. ) est une suite géométrique de raison 1,03 (correspondant à une augmentation de 3 % par an) et de premier terme í µ =500. On veut calculer la valeur totale acquise après 7 ans et 7 versements échelonnés chaque année : Le 1 er versement reste placé pendant 7 ans, il rapporte : í µ 6 =500×1,03 6 Le 2 e versement reste placé pendant 6 ans, il rapporte : í µ 4 =500×1,03 4 Le 3 e versement reste placé pendant 5 ans, il rapporte : í µ 3 =500×1,03 3 Le 4 e versement reste placé pendant 4 ans, il rapporte : í µ 5 =500×1,03 5 Le 5 e versement reste placé pendant 3 ans, il rapporte : í µ =500×1,03 Le 6 e versement reste placé pendant 2 ans, il rapporte : í µ =500×1,03 Le 7 e versement reste placé pendant 1 an, il rapporte : í µ =500×1,03 La valeur totale acquise après 7 ans est la somme : 1 6 12#Soit :
í µ=500×1,03 +500×1,03+⋯+500×1,03 6 5 =500× 1,03 +1,03 +⋯+1,03 6 ≈500×7,892 ≈3946 La valeur acquise après 7 ans est environ égale à 3946 €. Partie 5 : Moyenne géométrique de deux nombres
- La moyenne géométrique de deux nombres í µ et í µ positifs est un nombre í µ tel que :
- On constate ainsi que pour une suite géométrique chaque terme est la moyenne géométrique du terme qui le précède et du terme qui le suit.Pour une suite géométrique de terme í µ
, on a en effet : - Comme , on a : La moyenne géométrique de deux nombres í µ et í µ positifs est égale à Méthode : Calculer une moyenne géométrique de deux nombresVidéo https://youtu.be/w_Vj2URV1Qo
a) Calculer la moyenne géométrique de 4 et 9. b) On considère la suite géométrique (í µ ) de premier terme í µ =2 telle que la moyenne géométrique de í µ et í µ soit égale à 10.Quelle est la raison de la suite (í µ
Correction
a) La moyenne géométrique de 4 et 9 est égale Ã4×9=
36=6b) Pour une suite géométrique, chaque terme est la moyenne géométrique du terme qui le précède et du terme qui le suit.
Donc en particulier ici, í µ
est la moyenne géométrique de í µ et í µ . Donc í µ =10.Or, í µ
Soit : 10=í µÃ—2
Donc : í µ=5
La suite (í µ
) a pour raison 5. 6Partie 6 : Comparaison de suites
Méthode : Comparer deux suites
Une banque propose deux options de placement :
- Placement A : On dépose un capital de départ. Chaque année, la banque nous reverse 6 % du capital de départ. - Placement B : On dépose un capital de départ. Chaque année, la banque nous reverse 4 % du capital de l'année précédente.On suppose que le placement initial est de 200 €. L'objectif est de savoir à partir de combien
d'années un placement est plus intéressant que l'autre.On note í µ
la valeur du capital après í µ années pour le placement A et í µ la valeur du capital après í µ années pour le placement B.1) a) Calculer í µ
et í µ b) Calculer í µ et í µ2) Quelle est la nature des suites (í µ
) et (í µ ) ? On donnera le premier terme et la raison.3) Exprimer í µ
et í µ en fonction de í µ.4) Déterminer le plus petit entier í µ, tel que í µ
. Interpréter ce résultat.Correction
1) a) Avec le placement A, on gagne chaque année 6 % de 200 € = 12 €.
=200 =200+12=212 =212+12=224 =224+12=236 b) Avec le placement B, chaque année le capital est multiplié par 1,04. =200 =1,04×200=208 =1,04×208=216,32 =1,04×216,32=224,972) (í µ
) est une suite arithmétique de premier terme í µ =200 et de raison í µ=12. ) est une suite géométrique de premier terme í µ =200 et de raison í µ=1,04.3) í µ
=200+12í µ =200×1,04quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] les suites première sti2d
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