[PDF] Partie 1 : Suites arithmétiques

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LES SUITES - Chapitre 2/2

Reconnaitre une suite arithmétique et une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/pHq6oClOylU

Partie 1 : Suites arithmétiques

1) Définition

Exemples :

a) Considérons la suite (í µ ) où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant 5. Si le premier terme est égal à 3, les termes suivants sont : =3, =8, =13, =18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.

La suite est donc définie par : (

=3 +5 b) Soit la suite numérique (í µ ) de premier terme 5 et de raison -2.

Les premiers termes successifs sont :

= 5, = 5 - 2 = 3, = 3 - 2 = 1, = 1 - 2 = -1.

La suite est donc définie par : (

=5 -2

Définition : Une suite (í µ

) est une suite arithmétique s'il existe un nombre í µ tel que pour tout entier í µ, on a : í µ Le nombre í µ est appelé raison de la suite.

2) Variations

Propriété : (í µ

) est une suite arithmétique de raison í µ. - Si í µ > 0 alors la suite (í µ ) est croissante. - Si í µ = 0 alors la suite (í µ ) est constante. - Si í µ < 0 alors la suite (í µ ) est décroissante.

Démonstration :

- Si í µ>0 alors í µ >0 et la suite (í µ ) est croissante. - Si í µ<0 alors í µ <0 et la suite (í µ ) est décroissante. 2 Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique

Vidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02M

Étudier les variations des suites arithmétiques (í µ ) et (í µ ) définies par : a)í µ =3+5í µ b) ( =-3 -4

Correction

a) (í µ ) est croissante car de raison positive et égale à 5. b) On passe d'un terme au suivant en ajoutant -4. (í µ ) est décroissante car de raison négative et égale à -4.

3) Représentation graphique

Les points de la représentation

graphique d'une suite arithmétique sont alignés.

Exemple : On a représenté ci-

dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4.

RÉSUMÉ

) une suite arithmétique - de raison í µ - de premier terme í µ

Exemple :

í µ=-0,5 et í µ =4

Définition

-0,5

La différence entre un terme et son

précédent est égale à -0,5. Sens

De variation

Si í µ > 0 : (í µ

) est croissante.

Si í µ < 0 : (í µ

) est décroissante. í µ=-0,5<0

La suite (í µ

) est décroissante.

Représentation

graphique

Remarque :

Les points de la représentation

graphique sont alignés.

La croissance est linéaire.

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Partie 2 : Suites géométriques

1) Définition

Exemples :

a) Considérons la suite (í µ ) où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par 2. Si le premier terme est égal à 5, les termes suivants sont : =5, =10, =20, =40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.

La suite est donc définie par : (

=5 =2í µ b) Soit la suite numérique (í µ ) de premier terme 4 et de raison 0,1.

Les premiers termes successifs sont :

= 4 = 0,1 × 4 = 0,4 = 0,1 × 0,4 = 0,04 = 0,1 × 0,04 = 0,004

La suite est donc définie par : (

=4 =0,1Ã—í µ

Définition : Une suite (í µ

) est une suite géométrique s'il existe un nombre í µ, strictement positif, tel que pour tout entier í µ, on a : í µ Le nombre í µ est appelé raison de la suite.

Remarque : Dans le cas où í µ<0, la suite est également géométrique mais cette situation

n'est pas au programme cette année.

Exemple concret :

On place un capital de 500 € sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4 %.

Chaque année, le capital est donc multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04.

On a ainsi :

=1,04×500=520 =1,04×520=540,80 =1,04×540,80=562,432

De manière générale : í µ

=1,04Ã—í µ avec í µ =500 4

2) Variations

Propriété : (í µ

) est une suite géométrique de raison í µ et de premier terme í µ strictement positif. - Si í µ>1 alors la suite (í µ ) est croissante. - Si í µ=1 alors la suite (í µ ) est constante. - Si 0<í µ<1 alors la suite (í µ ) est décroissante. Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique Déterminer le sens de variation des suites géométriques (í µ ) et (í µ ) définies par : a) í µ =4×2 b) 9 =2 1 2

Correction

a) La suite géométrique (í µ ) définie par í µ =4×2 est croissante car í µ=2 donc í µ>1 b) La suite géométrique (í µ ) définie par í µ 1 2 et í µ =2 est décroissante car í µ= 1 2 donc 0<í µ<1.

RÉSUMÉ

) une suite géométrique - de raison í µ positive - de premier terme í µ positif.

Exemple :

í µ=2 et í µ =4

Définition

=2Ã—í µ

Le rapport entre un terme et son

précédent est égal à 2. Sens de variation

Si í µ>1 : (í µ

) est croissante.

Si 0<í µ<1 : (í µ

) est décroissante. í µ=2>1

La suite (í µ

) est croissante.

Représentation

graphique

On parle de croissance exponentielle.

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