[PDF] Etude de quelques fonctions spéciales

View - Download Etude de quelques fonctions spéciales

Previous PDF

Next PDF

UHA - ENSISA

ENSISA 1ere annee

Mathematiques: Outils pour le calcul scientique

Elisabeth REMM

Chapitre 2Etude de quelques fonctions specialesIntroduction: Le but de ce chapitre est d'etudier trois types de fonctions qui sont indispensables pour modeliser quelques phenomenes physiques comme les vibrations d'une membrane ou la diusion de la chaleur: la fonction d'erreur, la fonction Gamma et les fonctions de Bessel. Ces fonctions sont denies a partir d'integrales simples ou generalisees.

1.La fonction d'erreur

1.1.Denition.

Denition 1.On appelle fonction d'erreur ou encore fonction d'erreur de Gauss, la fonction erf :R!R denie par erf(x) =2p Z x 0 et2dt Comme l'exponentielle est une fonction continue surRcette fonction est derivable et sa derivee est (erf)

0(x) =2p

ex2>0: C'est donc une fonction croissante, paire. On demontre (voir chapitre 1) que l'integrale generalisee 2p Z +1 0 et2dt= 1 converge et la fonction erf a pour limite 1 en +1. Son graphe est le suivant

1.2.Proprietes.La propriete suivante permet de faire du calcul numerique sur la fonction erf.

Proposition 1.La serie entiere

+1X n=0(1)n(2n+ 1)n!x2n+1 converge pour toutxreel (le rayon de convergence est inni). De plus on a erf(x) =2p +1X n=0(1)n(2n+ 1)n!x2n+1 Cette ecriture sous forme de somme de serie entiere permet de donner des valeurs approchees. 1

2 ENSISA Chapitre 2. Fonctions speciales

1.3.Applications de la fonction d'erreur.La fonction erreur erf permet d'exprimer la marge

d'erreur des evaluations statistiques Son complement erfc (deni par erfc(x) = 1erf(x)) intervient dans des problemes de diusion: - diusion de la chaleur dans un milieux semi-inni a temperature de surface constante - diusion des especes chimiques dans des milieux quasi-inni a concentration supercielle con- stante.

Voici deux exemples classiques d'applications.

(1) La loi normale centree reduite en probabilite. SoitXune variable aleatoire sur un espace probabilise ( ;;P). Rappelons que est la tribu des evenements etPest la probabilite denie sur . La loi de probabilite deX est la probabilite: P

X(]a;b]) =P(f!2

;a < !bg) La fonction de repartition deXest la fonction d'une variable reelle:

F(x) =P(fXxg)

La fonction de densitefest une fonction d'une variable reelle positive telle que

F(x) =Z

x 1 f(t)dt;Z +1 1 f(t)dt= 1: Denition 2.On appelle loi normale centree la loi de densite g

0;(x) =1

ex222 Cette loi permet en particulier de trouver des approximations de la loi de Bernoulli ou de la loi binomiale. Rappelons qu'une variable aleatoire suit la loi de Bernoulli si elle ne prend que deux valeurs 1 avec la probabilite p et 0 avec la probabiliteq= 1p. Par exemple on lance une piece donc il n'y a que deux issues pile ou face. Autre exemple on teste un individu au coronavirus: il n'y a que deux issues positif ou negatif. lci a loi de probabilite deXest P

X(f1g) =p; PX(f0g) = 1p:

La loi binomiale correspond a la somme dentirages independants suivant chacun la loi de Bernoulli. (par exemple on lancenfois la pieces ou on testenindividus) La loi de probabilite correspond a la probabilite d'avoirksucces lorsqu'on faitnexperiences. Elle est donnee par P

X(fkg) =k

n p k(1p)nk: Lorsquenetksont grands, ce coecient binomial est dicile a calculer. On utilise alors une approximation avec la loi normale plus precisemment sinpqest grand par rapport a 1 alors P

X(fkg) =k

n p k(1p)nk'1pnpq g0;1(knppnpq

Elisabeth Remm 3

Par exemple on teste 10000 individus et la probabilite pour que 500 soient positifs est egale a P

X(f500g) =500

10000

0;5500(0;5)9500:

en supposant que la probabilite d'^etre positif est 0;5. Ce resultat est pratiquement impos- sible a calculer donc on l'approxime par la loi normale. (2) Solutions de l'equation de la chaleur On s'interesse ici a un probleme de diusion de la chaleur dans le cas unidimensionnel (par exemple sur un l mais pas sur une surface). Le probleme consiste a trouver la fonction temperatureT(x;t) ouxest l'abscisse du point suite a un parametrage de l'espace unidimensionel ettle temps. Cette fonction temperature est solution de l'equation@@t @2@x 2

T(x;t) =(x;t)

ouest une fonction donnee correspondant a une source de chaleur etun coecient de diusion thermique. On s'interessera plus tard a la resolution de cette equation apres avoir introduit la notion de transformation de Fourier. Par exemple, si l'espace unidimensionel est modelise parR+c'est a dire une demi-regle innie, et si en l'instant initialtla temperature est uniforme et egale aT1, en supposant que l'originex0soit portee et maintenue a la temperatureT2, alors

T(x;t) =T2(T2T1)erf(x2

pt On remarque que cette solution correspond a une vitesse de propagation de la chaleur innie. Cette solution est a manipuler avec precaution mais elle est satisfaisante dans la plupart des phenomenes thermiques.

2.La fonction Gamma d'Euler

2.1.Denition.

Denition 3.La fonctionest denie pour toutx >0par l'integrale generalisee a parametre (x) =Z +1 0 ettx1dt: Regardons quelles sont les valeurs dextelles que (x) existe. Soit la fonction f:R]0;+1[!R (x;t)7!ettx1 (elle est bien denie surR]0;+1[ puisquetx1=e(x1)lntdonc pourtdans ]0;+1[ ) et pour toutx2Rla fonction f x: ]0;+1[!R t7!ettx1 est continue sur ]0;+1[ donc elle est localement integrable cad Z b a f x(t)dt=Z b a f(x;t)dt

4 ENSISA Chapitre 2. Fonctions speciales

existe pour tout [a;b]2]0;+1[. Probleme on a Z +1 0 ettx1dt: donc on a +1donc une integrale generalisee en +1, et en 0fxn'est pas denie en 0 (cad quand t= 0) puisquetx1=e(x1)lntetlnn'est pas deni en 0 donc l'integrale est aussi generalisee en 0

Pour montrer queR+1

0ettx1dtconverge il sut pour una >0 de montrer queRa

0ettx1dt

converge etR+1 aettx1dtconverge. La fonctionfxest positive sur ]0;+1[. On peut donc utiliser les criteres d'equivalence, de comparaison, etc... La limite en 0 deetest 1, donc quandtest proche de 0, on a e ttx10tx1=1t 1x et l'integrale Z1 01t 1xdt converge (integrale de Riemann convergente en 0) si 1x <1 doncx >0, et par equivalence l'integrale Z 1 0 ettx1dt converge pourx >0. La convergence de la deuxieme integrale peut se montrer en utilisant la propriete suivante: Pourxxe on a lim t+1t2ettx1= 0 donc pourtassez grand t

2ettx1<1

soit e ttx1<1t 2 etZ+1 11t 2dt converge (integrale de Riemann convergente en +1) donc par comparaisonR+1

1ettx1dtcon-

verge.

En conclusion pourx >0 l'integraleR+1

0ettx1dtconverge donc est denie surx >0.

2.2.Derivabilite de la fonction.

Theoreme 1.La fonctionest derivable sur]0;+1[et sa derivee est donnee par

0(x) =Z

+1 0 et(lnt)tx1dt:

Elisabeth Remm 5

C'est une consequence directe du theoreme de derivation. En eet, si f(x;t) =ettx1 alors @f(x;t)@x =et(lnt)tx1: Rappelons en eet quetx1=e(x1)ln(t)et donc la derivee par rapport axest ln(t)e(x1)ln(t). Pour tout intervalle ferme [a;b]]0;+1[, on peut majorer cette derivee partielle par une fonction integrableet(lnt)max(ta1;tb1) et donc le theoreme de derivation s'applique. Theoreme 2.La fonctionGammaverie l'equation fonctionnelle (x+ 1) =x(x); de plus (1) = 1 Demonstration.Une integration par partie nous donne, pour toutx >0:Z +1 0 ettx1dt= e ttxx +1 0 +Z +1 0t xx etdt=1x Z +1 0 txetdt car limt!0txet= 0 et limt!+1txet= 0quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] equation de bessel cours

[PDF] multiple de 13 entre 1 et 1000

[PDF] multiple de 12

[PDF] multiple de 19

[PDF] fonction de bessel j0

[PDF] table de 13

[PDF] fonction de bessel pdf

[PDF] fonction de bessel modifiée

[PDF] introduction ? la microéconomie varian pdf

[PDF] cours microeconomie 1 pdf

[PDF] cours de microéconomie licence 1 pdf

[PDF] corrélation multiple

[PDF] correlation multiple r

[PDF] exercice fonction cout de production

[PDF] corrélation multiple définition