Fonction de Bessel dordre zéro
Exercice 2-4 : Fonction de Bessel d'ordre zéro a) Il est commode de considérer le logarithme de la valeur absolue du terme général : vk = log
Les fonctions de Bessel
O n définit alors la fonction de Bessel Jν de première espèce d'ordre ν par le choix de 0. 1. 2 (1. ) a ν. = Γ +. ce qui perm et de donner une écriture com
Lois de probabilités de Bessel
où : Ko (x) est la fonction de Bessel d'ordre 0 et de 2ème espèce (type K) définie comme suit : cf [3] p. 376 formule 9.6.22. On a ainsi la fonction de
( )0yn ( )0yn
Fonction de Bessel de 2ème espèce modifiée d'ordre n. (cf. Özisik pour la Comportement asymptotique des fonctions de Bessel d'ordre 0 et 1. Si u → 0 ...
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15 juil. 2015 une unique solution f0 DSE(0) vérifiant f0(0) = 1. Elle est définie ... Plus généralement on définit l'équation de Bessel d'ordre n par xy ...
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On démontre que leur série génératrice associée sont solutions d'équations différentielles d'ordre La fonction de Bessel modifiée de première espèce notée T
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particuli`ere donnée par la fonction de Bessel Jn qui est – `a un multiple pr`es – la solution de l'équation de Bessel d'ordre n qui reste bornée quand t → 0.
CALCUL DINTEGRALES DE QUELQUES FONCTIONS DE
Krn (x) = i
Fonctions de Bessel
ou Jn(m) est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre n de la ≈0. ≈0. ≈0. ≈0. 0009. 0
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2 jan. 2020 que leurs relation avec les fonctions de Bessel d'ordre demi entier. ... 0 et y > 0. (1.1.5). Considérons la fonction f : t −→ tx-1(1 − t)y-1 ...
Les fonctions de Bessel
fonction déterm inée la fonction de Bessel d'ordre 0
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deux entiers tels que 0 ? m < n les fonctions de Bessel Jm et Jn n'ont pas de ordre `a un syst`eme différentiel du premier ordre
Fonctions de Bessel
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Fonction de Bessel dordre zéro
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01-Fonction-Gamma-et-fonctions-de-Bessel.pdf
et la fonction sous intégrale sera de l'ordre 1p x. ? pour. 0 x ? et ? ?. 1. 0. 1 a p dx x existera pour les mêmes valeurs de p pour.
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Fonctions spéciales (fonction de Bessel loi de distribution
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PartieI : Étude de la fonction J = J 0 de Bessel. Développement en
0. =13bis. ?. ?. ?. Fonction de Bessel. L'épreuve est constituée de trois parties et propose l'étude de quelques propriétés de Ca fonction J0 de.
Etude de quelques fonctions spéciales
la fonction d'erreur la fonction Gamma et les fonctions de Bessel. Pour obtenir l'écriture intégrale de la fonction de Bessel d'ordre 0 on utilise ...
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2 jan 2020 · dont les solutions sont des fonctions de Bessel d'ordre ? où x est la variable y(x) la fonction inconnue et ? un paramètre réel Nous
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L'intégrale I est une transformée de Bessel de la fonction u^ par la fonction KL o Elle est égale à : On peut la calculer par récurrence en partant de
Chapitre I
I.1 Détermination de la fonction Gamma
La fonction Gamma est très simple à déduire à partir de l"intégrale d"Euler: 01px .dxxe Cette intégrale est une fonction de paramètre p ; elle est représentée par le symbole )p(G et s"appelle la fonction Gamma.L"intégrale d"Euler est une intégrale non propre, car la borne supérieure est infinie,
l"intégrale est égale à1px- pour 0x= et par conséquent toutes les expressions sous intégrale
tendent vers zéro pour p<1. Considérons pour quelles valeurs de p l"intégrale peut exister. Pour cela, divisons l"intervalle d"intégration en trois parties: de zéro à a1>0, de a1 à a2 et de a2 à l"infini. On aura:
1 2 1 21 1 1 1
0 0. a a x p x p x p x p a a e x dx e x dx e x dx e x dx Montrons que la dernière intégrale existe pour n"importe quelle valeur de p. a2b a2 1px- b1px dxxelimdxxe (Si la limite existe). On utilise pour montrer l"existence de la limite: 0e xlim x1p x= (qu"on peut facilement monter en appliquant plusieurs fois le théorème de l"Hôspital) et par conséquent, pour les grandes valeurs de x, par exemple, si0xx>, la variable
x1pe x+ sera inférieure à e; si on pose1=e, ainsi pour 0xx>on a: 1e x x1p< et 2x1px 1 e x<-Si on pose
02xa=, on aura:
Fonction Gamma et fonctions de Bessel
Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 3 21pxx1xe<--.
et 22 2b b - p-1 2
2 21 1 1 1e x.
b x a a adxdxx x a b a< = - = - <∫ ∫Étant donné que e
-x xp-1 > 0, avec la croissance de b, ∫ --b a 1p 2x dxxe augmente. Donc:¥®b
a 1px b 2 dxxelim existe .p"Considérons l"intégrale
101∫
--a pxdxxe pour1p<. Pour ;1e,0xx®®- et la fonction sous intégrale sera de l"ordre1px- pour0x®, et ∫
1 01 a p dxx existera pour les mêmes valeurs de p pour lesquelles existe l"intégrale 1a 0 1px dxxe .Cependant:
).a(limp1pxlimdxxlimdxxpp 10a ap 0 1p 0a 0 1p 111e-====
®ee
e®e-®e-
On peut remarquer que: si
0,0pp®e> et l"intégrale existera; si ¥®e
et l"intégrale existera. Si
0=p, on aura:
®®-a1
0a1 1001,lim/lim
eeee axLnxdxdxx c"est-à-dire que l"intégrale n"existe pas. Donc, 01px dxxe existe pour p>0. Par conséquent pour p>0, on a : Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 4 =G 01px .dxxe)p( (I.1)A titre d"exemple calculons
)1(G et )2(G: =-==G 00x0x ;1edxxe)1( =G012/1x
.dxxe)2/1(Posons .zx;dxx2/1dz;zx22/12/1===- Donc:
=G 0z .dze2)2/1( 2Pour calculer cette intégrale posons:
dzeA 0z2∫
On peut écrire que:
.dteA 0t2∫
= Prenons ∫ ∫0 0tz2
.dte.dzeA 22Le facteur
dzez2- est une constante qu"on peut inclure dans l"intégrale. Donc:0 0)tz(2
.dtdzeA 22Le calcul est plus simple à réaliser si l"on utilise les coordonnées polaires. ret j (fig I.1). On connaît que : p = ()tz
22+et l"élément de surface est égale à rd pdj.
Donc :
.221,2; 42121;2²,21
2 0 02 0 220 002 0 2 2 ppp jjrrrjj pppp
G===-=-=-=-==
AAdedAdduuoùdudedeedA
uu p e Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 5 Le calcul réalisé ci-dessus montre, que le calcul de ( )"Gpp par l"intégrale d"Euler est compliqué.Fig I.1
I.2 Propriétés de la fonction Gamma
Propriété 1.
( ) ( ).pp1pG=+G (I.2)Exemple
7 4 4 4 4 11 13 3 3 3 3 3
G = G + = G = G +
Démonstration : représentons
( )1+Gp par l"intégrale d"Euler et intégrons par parties : +-==+G 01px 0xpp 0x ,dxxepexdxxe1p où .ev,dxedv;dxpxdu,xu xx1pp Or0exlimexlimxp
x xp x==Par conséquent :
( ) ( ).ppdxxep1p1p0xG==+G-¥
Corollaire 1.
Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 6 Si p est nombre entier, on a ()().!1pp-=G Ainsi, on a : ( ) ( ) ( ) ( )!.1p11.2...2p1p....2p2p1p1p1pp -=G-=-== =-G--=-G-=G Donc, de ce corollaire, on peut remarquer comment la fonction gamma croit rapidement : ==G==G==G==G=G==G=G ==G==G=G La fonction gamma peut être utilisée pour réduire la représentation du produit()()()()1 ... 2 1 ,m p m p p p p+ - + + + où m- entier et.1p0〈〈.. Si l"on ajoute (),pG on obtient
()1pm++G, d"où l"on peut écrire : (m + p) (m -1 + p) ... (1+ p) p= (p) 1)+ m + (p G G.Corollaire 2.
Détermination de la fonction gamma pour les valeurs négatives et non entières de p. Soit p donné sur l"intervalle ()0,1-. Donc p+1 sera trouvé sur l"intervalle (0, 1) et ()1p+G peut être calculé par la formule d"Euler (I.1).Posons :
( )p)1p(p +G=Gpour 0p1〈〈- (I.3) Pour p = -1, la formule donne l"infini, et donc : ()¥=G=+0et01pPar conséquent
()1-G n"existe pas.La transition d"un intervalle à un autre
()()()...etc2,3,1,2.0,1-----, peut êtredéterminée par la formule (I.3). La fonction gamma n"existe pas pour les p négatifs entiers.
Exemple :
.32 493 1 3432
3 431
3
4
G= G -G -G Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 7La valeur de
G32 est trouvée à partir de la table. Propriété 2 : ( )( )( ) ( )np...2p1ppn!nlimP p n +++=G¥® . Cette formule est utilisée pour le calcul approximatif de la fonction gamma. Pour la démonstration, considérons la fonction : ( ).dxxnx1p,nf1pn 0nOn peut facilement voir que :
()()pp,nflimnG=¥®. Evidemment : ( ).pdxxedxxnx1limdxxnx1limp,nflim1p 0x1pn 0x xn n1p n 0n nnG== D"une autre part, en intégrant par parties, on obtient pour f (n, p) une expression sous la forme :111,)1(111,11
0 10 1 0 pxvdxxdvdx nnxndunxuoùdxxnx pp x nxdxxnxpnf p pnnp n nn pn pn nOn obtient l"expression :
( )dxxnx1p1p,nf n 0p 1n Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 8 En l"intégrant par parties encore une fois en posant : 11 , v .
n pxu d x dxn d"où du1pxv;dxnx1n1n
1p2nOn obtient :
n,p=1 p 1 -x n x p + 1n0+ n - 1
n p + 1 1 -x n xdx nn - 1 n pp + 1 x1 -x n xdx Ou encore après intégration par parties n fois, on obtient : 1 001 2 ... 1,11 2 .... 1
.1 2 ... 11 ... 1 ...n nn
n p n n p n n n p p nn n n n nxf n px dxnn p p p p n n x n p p p p n n p n n n n n p p p n p p p nPar conséquent :
( )( ) ( ).np....1pp!nnlimp p n ++=G¥® Propriété 3. Dérivée du logarithme de la fonction gamma.Trouvons la formule pour :
1ln 1 :1
1 lim ;1 ...
1 lim ln ln ! ln 1 .... ln ;
11 1lim ln ... .1 1
p n n n ppp n n p p p pp p p nIn p p n n p p n
p np p p n¢G +¢ G + = G +
G + = G =
G + = + - + - - + ¢G + = - - - G + + + En posant p = 0,
Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 9 .n1...211nlnlim)1()1( n +++-=GG La partie gauche de cette égalité est égale approximativement à -0,57721... La grandeur 0,57721... s"appelle la constante C d"Euler.Par conséquent :
1 1lim ln 1 ... .2nn Cn®¥
Donc, on peut écrire :
1 1 ( 1) 1 1 1 1lim ln 1 ... ...( 1) 2 31 1 1 1
1 ... ] lim ln2 3
1 1 1 1 11 ... .2 3
n n p p m m pnp p p n n p n p C n p m m¢G += - + + + + +G ++
I.3 Détermination de la fonction de Bessel de première espèceL"équation différentielle de Bessel est :
.01122= -+¢+¢¢yxyxy n (I.4)La solution de cette équation s"appelle
fonction de Bessel.L"équation différentielle de Bessel est une équation linéaire d"ordre deux. La solution
générale a la forme :quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] multiple de 13 entre 1 et 1000
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