Fonction de Bessel dordre zéro
Exercice 2-4 : Fonction de Bessel d'ordre zéro a) Il est commode de considérer le logarithme de la valeur absolue du terme général : vk = log
Les fonctions de Bessel
O n définit alors la fonction de Bessel Jν de première espèce d'ordre ν par le choix de 0. 1. 2 (1. ) a ν. = Γ +. ce qui perm et de donner une écriture com
Lois de probabilités de Bessel
où : Ko (x) est la fonction de Bessel d'ordre 0 et de 2ème espèce (type K) définie comme suit : cf [3] p. 376 formule 9.6.22. On a ainsi la fonction de
( )0yn ( )0yn
Fonction de Bessel de 2ème espèce modifiée d'ordre n. (cf. Özisik pour la Comportement asymptotique des fonctions de Bessel d'ordre 0 et 1. Si u → 0 ...
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15 juil. 2015 une unique solution f0 DSE(0) vérifiant f0(0) = 1. Elle est définie ... Plus généralement on définit l'équation de Bessel d'ordre n par xy ...
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On démontre que leur série génératrice associée sont solutions d'équations différentielles d'ordre La fonction de Bessel modifiée de première espèce notée T
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particuli`ere donnée par la fonction de Bessel Jn qui est – `a un multiple pr`es – la solution de l'équation de Bessel d'ordre n qui reste bornée quand t → 0.
CALCUL DINTEGRALES DE QUELQUES FONCTIONS DE
Krn (x) = i
Fonctions de Bessel
ou Jn(m) est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre n de la ≈0. ≈0. ≈0. ≈0. 0009. 0
MEMOIRE THEME FONCTIONS DE BESSEL ET APPLICATIONS A
2 jan. 2020 que leurs relation avec les fonctions de Bessel d'ordre demi entier. ... 0 et y > 0. (1.1.5). Considérons la fonction f : t −→ tx-1(1 − t)y-1 ...
Les fonctions de Bessel
fonction déterm inée la fonction de Bessel d'ordre 0
Prépa. Agrég écrit dAnalyse avril 2004. Fonctions de Bessel Les
deux entiers tels que 0 ? m < n les fonctions de Bessel Jm et Jn n'ont pas de ordre `a un syst`eme différentiel du premier ordre
Fonctions de Bessel
Les fonctions de Bessel sont des solutions des équations différentielles définies pour n ? R par. (En) x2y + xy + (x2 ? n2)y = 0. Pour n ? R la fonction
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Fonction de Bessel de 1ère espèce non modifiée d'ordre n Comportement asymptotique des fonctions de Bessel d'ordre 0 et 1. Si u ? 0 : J0(u) ? 1.
Fonction de Bessel dordre zéro
La formule de Stirling fournit l'approximation assez grossière log k! ? k log k ?k. Le terme le plus grand est déterminé par la condition dvk/dk = 0.
01-Fonction-Gamma-et-fonctions-de-Bessel.pdf
et la fonction sous intégrale sera de l'ordre 1p x. ? pour. 0 x ? et ? ?. 1. 0. 1 a p dx x existera pour les mêmes valeurs de p pour.
scipy : librairie pour la programmation scientifique
Fonctions spéciales (fonction de Bessel loi de distribution
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Etude de quelques fonctions spéciales
la fonction d'erreur la fonction Gamma et les fonctions de Bessel. Pour obtenir l'écriture intégrale de la fonction de Bessel d'ordre 0 on utilise ...
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L'intégrale I est une transformée de Bessel de la fonction u^ par la fonction KL o Elle est égale à : On peut la calculer par récurrence en partant de
Chapitre I
I.1 Détermination de la fonction Gamma
La fonction Gamma est très simple à déduire à partir de l"intégrale d"Euler: 01px .dxxe Cette intégrale est une fonction de paramètre p ; elle est représentée par le symbole )p(G et s"appelle la fonction Gamma.L"intégrale d"Euler est une intégrale non propre, car la borne supérieure est infinie,
l"intégrale est égale à1px- pour 0x= et par conséquent toutes les expressions sous intégrale
tendent vers zéro pour p<1. Considérons pour quelles valeurs de p l"intégrale peut exister. Pour cela, divisons l"intervalle d"intégration en trois parties: de zéro à a1>0, de a1 à a2 et de a2 à l"infini. On aura:
1 2 1 21 1 1 1
0 0. a a x p x p x p x p a a e x dx e x dx e x dx e x dx Montrons que la dernière intégrale existe pour n"importe quelle valeur de p. a2b a2 1px- b1px dxxelimdxxe (Si la limite existe). On utilise pour montrer l"existence de la limite: 0e xlim x1p x= (qu"on peut facilement monter en appliquant plusieurs fois le théorème de l"Hôspital) et par conséquent, pour les grandes valeurs de x, par exemple, si0xx>, la variable
x1pe x+ sera inférieure à e; si on pose1=e, ainsi pour 0xx>on a: 1e x x1p< et 2x1px 1 e x<-Si on pose
02xa=, on aura:
Fonction Gamma et fonctions de Bessel
Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 3 21pxx1xe<--.
et 22 2b b - p-1 2
2 21 1 1 1e x.
b x a a adxdxx x a b a< = - = - <∫ ∫Étant donné que e
-x xp-1 > 0, avec la croissance de b, ∫ --b a 1p 2x dxxe augmente. Donc:¥®b
a 1px b 2 dxxelim existe .p"Considérons l"intégrale
101∫
--a pxdxxe pour1p<. Pour ;1e,0xx®®- et la fonction sous intégrale sera de l"ordre1px- pour0x®, et ∫
1 01 a p dxx existera pour les mêmes valeurs de p pour lesquelles existe l"intégrale 1a 0 1px dxxe .Cependant:
).a(limp1pxlimdxxlimdxxpp 10a ap 0 1p 0a 0 1p 111e-====
®ee
e®e-®e-
On peut remarquer que: si
0,0pp®e> et l"intégrale existera; si ¥®e et l"intégrale existera. Si 0=p, on aura:
®®-a1
0a1 1 001,lim/lim
eeee axLnxdxdxx c"est-à-dire que l"intégrale n"existe pas. Donc, 01px dxxe existe pour p>0. Par conséquent pour p>0, on a : Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 4 =G 01px .dxxe)p( (I.1) A titre d"exemple calculons
)1(G et )2(G: =-==G 00x0x ;1edxxe)1( =G 012/1x
.dxxe)2/1( Posons .zx;dxx2/1dz;zx22/12/1===- Donc:
=G 0z .dze2)2/1( 2 Pour calculer cette intégrale posons:
dzeA 0z 2∫
On peut écrire que:
.dteA 0t 2∫
= Prenons ∫ ∫ 0 0tz2
.dte.dzeA 22
Le facteur
dzez2- est une constante qu"on peut inclure dans l"intégrale. Donc: 0 0)tz(2
.dtdzeA 22
Le calcul est plus simple à réaliser si l"on utilise les coordonnées polaires. ret j (fig I.1). On connaît que : p = ()tz 22+et l"élément de surface est égale à rd pdj.
Donc :
.221,2; 421
21;2²,21
2 0 02 0 22
0 002 0 2 2 ppp jjrrrjj pppp G===-=-=-=-==
AAdedAdduuoùdudedeedA
uu p e Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 5 Le calcul réalisé ci-dessus montre, que le calcul de ( )"Gpp par l"intégrale d"Euler est compliqué. Fig I.1
I.2 Propriétés de la fonction Gamma
Propriété 1.
( ) ( ).pp1pG=+G (I.2) Exemple
7 4 4 4 4 11 13 3 3 3 3 3
G = G + = G = G +
Démonstration : représentons
( )1+Gp par l"intégrale d"Euler et intégrons par parties : +-==+G 01px 0xpp 0x ,dxxepexdxxe1p où .ev,dxedv;dxpxdu,xu xx1pp Or 0exlimexlimxp
x xp x== Par conséquent :
( ) ( ).ppdxxep1p1p 0xG==+G-¥
Corollaire 1.
Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 6 Si p est nombre entier, on a ()().!1pp-=G Ainsi, on a : ( ) ( ) ( ) ( )!.1p11.2...2p1p....2p2p1p1p1pp -=G-=-== =-G--=-G-=G Donc, de ce corollaire, on peut remarquer comment la fonction gamma croit rapidement : ==G==G==G==G=G==G=G ==G==G=G La fonction gamma peut être utilisée pour réduire la représentation du produit ()()()()1 ... 2 1 ,m p m p p p p+ - + + + où m- entier et.1p0〈〈.. Si l"on ajoute (),pG on obtient
()1pm++G, d"où l"on peut écrire : (m + p) (m -1 + p) ... (1+ p) p= (p) 1)+ m + (p G G. Corollaire 2.
Détermination de la fonction gamma pour les valeurs négatives et non entières de p. Soit p donné sur l"intervalle ()0,1-. Donc p+1 sera trouvé sur l"intervalle (0, 1) et ()1p+G peut être calculé par la formule d"Euler (I.1). Posons :
( )p)1p(p +G=Gpour 0p1〈〈- (I.3) Pour p = -1, la formule donne l"infini, et donc : ()¥=G=+0et01p Par conséquent
()1-G n"existe pas. La transition d"un intervalle à un autre
()()()...etc2,3,1,2.0,1-----, peut être déterminée par la formule (I.3). La fonction gamma n"existe pas pour les p négatifs entiers.
Exemple :
.32 49
3 1 3432
3 431
3 4
G= G -G -G Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 7 La valeur de
G32 est trouvée à partir de la table. Propriété 2 : ( )( )( ) ( )np...2p1ppn!nlimP p n +++=G¥® . Cette formule est utilisée pour le calcul approximatif de la fonction gamma. Pour la démonstration, considérons la fonction : ( ).dxxnx1p,nf1pn 0n On peut facilement voir que :
()()pp,nflimnG=¥®. Evidemment : ( ).pdxxedxxnx1limdxxnx1limp,nflim1p 0x1pn 0x xn n1p n 0n nnG== D"une autre part, en intégrant par parties, on obtient pour f (n, p) une expression sous la forme : 111,)1(111,11
0 10 1 0 pxvdxxdvdx nnxndunxuoùdxxnx pp x nxdxxnxpnf p pnnp n nn pn pn n On obtient l"expression :
( )dxxnx1p1p,nf n 0p 1n Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 8 En l"intégrant par parties encore une fois en posant : 1 1 , v .
n pxu d x dxn d"où du 1pxv;dxnx1n1n
1p2n On obtient :
n,p=1 p 1 -x n x p + 1n 0+ n - 1
n p + 1 1 -x n xdx nn - 1 n pp + 1 x1 -x n xdx Ou encore après intégration par parties n fois, on obtient : 1 0 01 2 ... 1,11 2 .... 1
.1 2 ... 1 1 ... 1 ...n nn
n p n n p n n n p p nn n n n nxf n px dxnn p p p p n n x n p p p p n n p n n n n n p p p n p p p n Par conséquent :
( )( ) ( ).np....1pp!nnlimp p n ++=G¥® Propriété 3. Dérivée du logarithme de la fonction gamma. Trouvons la formule pour :
1ln 1 :1
1 lim ;1 ...
1 lim ln ln ! ln 1 .... ln ;
11 1lim ln ... .1 1
p n n n ppp n n p p p pp p p n In p p n n p p n
p np p p n ¢G +¢ G + = G +
G + = G =
G + = + - + - - + ¢G + = - - - G + + + En posant p = 0,
Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 9 .n1...211nlnlim)1()1( n +++-=GG La partie gauche de cette égalité est égale approximativement à -0,57721... La grandeur 0,57721... s"appelle la constante C d"Euler. Par conséquent :
1 1lim ln 1 ... .2nn Cn®¥
Donc, on peut écrire :
1 1 ( 1) 1 1 1 1lim ln 1 ... ...( 1) 2 3 1 1 1 1
1 ... ] lim ln2 3
1 1 1 1 11 ... .2 3
n n p p m m pnp p p n n p n p C n p m m ¢G += - + + + + +G ++
I.3 Détermination de la fonction de Bessel de première espèce L"équation différentielle de Bessel est :
.01122= -+¢+¢¢yxyxy n (I.4) La solution de cette équation s"appelle
fonction de Bessel. L"équation différentielle de Bessel est une équation linéaire d"ordre deux. La solution
générale a la forme :quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
0=p, on aura:
®®-a1
0a1 1001,lim/lim
eeee axLnxdxdxx c"est-à-dire que l"intégrale n"existe pas. Donc, 01px dxxe existe pour p>0. Par conséquent pour p>0, on a : Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 4 =G 01px .dxxe)p( (I.1)A titre d"exemple calculons
)1(G et )2(G: =-==G 00x0x ;1edxxe)1( =G012/1x
.dxxe)2/1(Posons .zx;dxx2/1dz;zx22/12/1===- Donc:
=G 0z .dze2)2/1( 2Pour calculer cette intégrale posons:
dzeA 0z2∫
On peut écrire que:
.dteA 0t2∫
= Prenons ∫ ∫0 0tz2
.dte.dzeA 22Le facteur
dzez2- est une constante qu"on peut inclure dans l"intégrale. Donc:0 0)tz(2
.dtdzeA 22Le calcul est plus simple à réaliser si l"on utilise les coordonnées polaires. ret j (fig I.1). On connaît que : p = ()tz
22+et l"élément de surface est égale à rd pdj.
Donc :
.221,2; 42121;2²,21
2 0 02 0 220 002 0 2 2 ppp jjrrrjj pppp
G===-=-=-=-==
AAdedAdduuoùdudedeedA
uu p e Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 5 Le calcul réalisé ci-dessus montre, que le calcul de ( )"Gpp par l"intégrale d"Euler est compliqué.Fig I.1
I.2 Propriétés de la fonction Gamma
Propriété 1.
( ) ( ).pp1pG=+G (I.2)Exemple
7 4 4 4 4 11 13 3 3 3 3 3
G = G + = G = G +
Démonstration : représentons
( )1+Gp par l"intégrale d"Euler et intégrons par parties : +-==+G 01px 0xpp 0x ,dxxepexdxxe1p où .ev,dxedv;dxpxdu,xu xx1pp Or0exlimexlimxp
x xp x==Par conséquent :
( ) ( ).ppdxxep1p1p0xG==+G-¥
Corollaire 1.
Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 6 Si p est nombre entier, on a ()().!1pp-=G Ainsi, on a : ( ) ( ) ( ) ( )!.1p11.2...2p1p....2p2p1p1p1pp -=G-=-== =-G--=-G-=G Donc, de ce corollaire, on peut remarquer comment la fonction gamma croit rapidement : ==G==G==G==G=G==G=G ==G==G=G La fonction gamma peut être utilisée pour réduire la représentation du produit()()()()1 ... 2 1 ,m p m p p p p+ - + + + où m- entier et.1p0〈〈.. Si l"on ajoute (),pG on obtient
()1pm++G, d"où l"on peut écrire : (m + p) (m -1 + p) ... (1+ p) p= (p) 1)+ m + (p G G.Corollaire 2.
Détermination de la fonction gamma pour les valeurs négatives et non entières de p. Soit p donné sur l"intervalle ()0,1-. Donc p+1 sera trouvé sur l"intervalle (0, 1) et ()1p+G peut être calculé par la formule d"Euler (I.1).Posons :
( )p)1p(p +G=Gpour 0p1〈〈- (I.3) Pour p = -1, la formule donne l"infini, et donc : ()¥=G=+0et01pPar conséquent
()1-G n"existe pas.La transition d"un intervalle à un autre
()()()...etc2,3,1,2.0,1-----, peut êtredéterminée par la formule (I.3). La fonction gamma n"existe pas pour les p négatifs entiers.
Exemple :
.32 493 1 3432
3 431
3
4
G= G -G -G Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 7La valeur de
G32 est trouvée à partir de la table. Propriété 2 : ( )( )( ) ( )np...2p1ppn!nlimP p n +++=G¥® . Cette formule est utilisée pour le calcul approximatif de la fonction gamma. Pour la démonstration, considérons la fonction : ( ).dxxnx1p,nf1pn 0nOn peut facilement voir que :
()()pp,nflimnG=¥®. Evidemment : ( ).pdxxedxxnx1limdxxnx1limp,nflim1p 0x1pn 0x xn n1p n 0n nnG== D"une autre part, en intégrant par parties, on obtient pour f (n, p) une expression sous la forme :111,)1(111,11
0 10 1 0 pxvdxxdvdx nnxndunxuoùdxxnx pp x nxdxxnxpnf p pnnp n nn pn pn nOn obtient l"expression :
( )dxxnx1p1p,nf n 0p 1n Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 8 En l"intégrant par parties encore une fois en posant : 11 , v .
n pxu d x dxn d"où du1pxv;dxnx1n1n
1p2nOn obtient :
n,p=1 p 1 -x n x p + 1n0+ n - 1
n p + 1 1 -x n xdx nn - 1 n pp + 1 x1 -x n xdx Ou encore après intégration par parties n fois, on obtient : 1 001 2 ... 1,11 2 .... 1
.1 2 ... 11 ... 1 ...n nn
n p n n p n n n p p nn n n n nxf n px dxnn p p p p n n x n p p p p n n p n n n n n p p p n p p p nPar conséquent :
( )( ) ( ).np....1pp!nnlimp p n ++=G¥® Propriété 3. Dérivée du logarithme de la fonction gamma.Trouvons la formule pour :
1ln 1 :1
1 lim ;1 ...
1 lim ln ln ! ln 1 .... ln ;
11 1lim ln ... .1 1
p n n n ppp n n p p p pp p p nIn p p n n p p n
p np p p n¢G +¢ G + = G +
G + = G =
G + = + - + - - + ¢G + = - - - G + + + En posant p = 0,
Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 9 .n1...211nlnlim)1()1( n +++-=GG La partie gauche de cette égalité est égale approximativement à -0,57721... La grandeur 0,57721... s"appelle la constante C d"Euler.Par conséquent :
1 1lim ln 1 ... .2nn Cn®¥
Donc, on peut écrire :
1 1 ( 1) 1 1 1 1lim ln 1 ... ...( 1) 2 31 1 1 1
1 ... ] lim ln2 3
1 1 1 1 11 ... .2 3
n n p p m m pnp p p n n p n p C n p m m¢G += - + + + + +G ++
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.01122= -+¢+¢¢yxyxy n (I.4)La solution de cette équation s"appelle
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