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ENSEMBLES

ENSEMBLES

DE

MULTIPLES,

DE

DIVISEURS

THÉORIE 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS

MATHÉMATIQUES 7E9

THÉORIE

1. LES ENSEMBLES

- Voici deux ensembles importants: = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ... } s'appelle l'ensemble des nombres naturels, ou encore l'ensemble des entiers naturels. = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... } s'appelle l'ensemble des nombres naturels positifs, ou encore l'ensemble des entiers positifs.

- Certains ensembles peuvent être définis en énumérant leurs éléments (c'est-à-dire,

en les écrivant tous).

Exemple A = { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 }

- Certains ensembles peuvent être définis en donnant une ou plusieurs propriétés qui caractérisent leurs éléments. Exemple L'ensemble E des entiers positifs plus petits que 9 Dans cet exemple, on peut aussi énumérer les éléments de l'ensemble:

E{ 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }

-L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B; on le note A ∩ B.

Exemple Diagramme de Venn

A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 }

B = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 }

A ∩ B = { 1 ; 2 ; 4 }

AB 3 6 121
2 48

10MATHÉMATIQUES 7E

1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS THÉORIE

-Un ensemble C est inclus dans un ensemble D si tous les éléments de C appartiennent à D.

Si C est inclus dans D, on note: C ? D .

Exemple Diagramme de Venn

C = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 }

D = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 }

C ? D CD 1 2 3 6 18 9 THÉORIE 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS

MATHÉMATIQUES 7E11

2. L'ENSEMBLE DES DIVISEURS D'UN ENTIER POSITIF

2.1 LA DIVISION EUCLIDIENNE (OU DIVISION AVEC RESTE)

Prenons deux entiers positifs, par exemple 42 et 4. Faire la division euclidienne (ou division avec reste) de 42 par 4, c'est chercher le quotient entier de la division de 42 par 4, ainsi que son reste, de la manière suivante:

On peut alors écrire:

Le reste 2 est plus petit que le diviseur 4

Voici d'autres exemples:

42 : 5 = 8 et le reste est 2 c'est-à-dire 42 = 5 · 8 + 2

42 : 9 = 4 et le reste est 6 c'est-à-dire 42 = 9 · 4 + 6

42 : 6 = 7 et le reste est 0 c'est-à-dire 42 = 6 · 7 + 0

Le reste est toujours plus petit que le diviseur.

Dans le dernier exemple, on peut écrire plus simplement 42 = 6 · 7 . Dans ce cas-là, où le reste de la division euclidienne est 0, le quotient 7 et le diviseur 6 sont appelés tous les deux des "diviseurs de 42". 42 4
- 410 02 - 0

2dividende diviseur

reste quotient

42 = 4·10 + 2

dividende = diviseur·quotient + reste

12MATHÉMATIQUES 7E

1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS THÉORIE

2.2 LES DIVISEURS D'UN ENTIER POSITIF

Reprenons l'entier positif 42.

Chaque fois qu'on peut trouver deux entiers positifs dont le produit est 42, on dira que ces deux entiers sont des diviseurs de 42. Par exemple, puisque

42 = 3 · 14

3 et 14 sont des diviseurs de 42.

Mais on a vu que la division euclidienne de 42 par 4 s'écrit

42 = 4 · 10 + 2

Là, le reste n'est pas 0, donc 4 n'est pas un diviseur de 42. Formons de cette manière l'ensemble des diviseurs de 42, qu'on notera Div42 :

Diviseur Quotient

42 : 1 = 42 1 42

42 : 2 = 21 2 21 On continue aussi long-

42 : 3 = 14 3 14 temps que le quotient est

42 : 6 = 7 6 7 plus grand que le diviseur.

42 : 7 = 6 7 6

Div

42 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42 }

Pour trouver tous les diviseurs d'autres entiers, on fera comme pour trouver les diviseurs de 42.

VocabulaireAu lieu de " 6 est un diviseur de 42"

on peut dire aussi" 6 divise 42 " , ou" 42 est divisible par 6 " , ou encore" 42 est un multiple de 6 " . RemarqueIl ne faut pas confondre les deux emplois du mot "diviseur".

Dans la division euclidienne

42 = 4 · 10 + 2

4 est le diviseur; mais 4 n'est pas un diviseur de 42, car le reste est 2.

Mais dans la division euclidienne

42 = 6 · 7 + 0

6 est à la fois le diviseur de la division, et un diviseur de 42.

THÉORIE 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS

MATHÉMATIQUES 7E13

3. LE PGCD DE DEUX ENTIERS POSITIFS

Considérons les entiers positifs 36 et 54. Un diviseur commun de 36 et 54 est un entier positif qui divise 36, et aussi 54. Par exemple, 1 et 2 sont des diviseurs communs de 36 et 54.

Formons les ensembles Div

36 et Div54

Div

36 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 }

Div

54 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54 }

Div

36 ∩ Div54 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 }

Div

36 ∩ Div54 est l'ensemble des diviseurs communs de 36 et 54.

Le plus grand de ces diviseurs est 18. On exprime ce fait en disant que 18 est le plus grand commun diviseur de 36 et 54, ou encore, en abrégé, que 18 est le pgcd de 36 et 54. On constate que l'ensemble des diviseurs communs de 36 et 54 est aussi l'ensemble des diviseurs de 18, constatation qu'on peut noter: Div

36 ∩ Div54 = Div18 .

Div 36

12 4 36
54
Div 54
2 27
1 18 93
6

14MATHÉMATIQUES 7E

1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS THÉORIE

4. L'ENSEMBLE DES MULTIPLES D'UN ENTIER POSITIF

On a vu que 6 est un diviseur de 42, et qu'on exprime aussi ce fait en disant que

42 est un multiple de 6.

Plus généralement, un multiple d'un entier positif est le résultat de sa multiplication par un autre entier positif. Par exemple, 42 est le résultat de la multiplication de 6 par 7. On obtient l'ensemble des multiples d'un entier positif donné, en le multipliant à tour de rôle par chaque entier positif.

Exemples

Formons M

3, l'ensemble des multiples de 3 :

M

3 = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24 ; 27 ; ... }

De même

M

5 = { 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 ; ... }

THÉORIE 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS

MATHÉMATIQUES 7E15

5. LE PPCM DE DEUX ENTIERS POSITIFS

Considérons les entiers positifs 3 et 5. Un multiple commun de 3 et 5 est un entier positif

qui est à la fois un multiple de 3, et un multiple de 5; autrement dit, qui est divisible par 3 et

aussi par 5.

Reprenons les ensembles M

3 et M5. On voit que

M

3 ∩ M5 = { 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; ... } ;

M

3 ∩ M5 est l'ensemble des multiples communs de 3 et 5. Le plus petit de ces multiples

communs est 15. On exprime ce fait en disant que 15 est le plus petit commun multiple de 3 et 5, ou encore, pour abréger, que 15 est le ppcm de 3 et 5. On constate que l'ensemble des multiples communs de 3 et 5 est aussi l'ensemble des multiples de 15, constatation qu'on peut noter: M

3 ∩ M5 = M15 .

Voici un autre exemple: le ppcm de 4 et 6 est 12, et M

4 ∩ M6 = { 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; ... } ;

dans cet exemple-ci, on constate que M

4 ∩ M6 = M12 .

M3 M5 24
15 4510
20 25
35
40
12 21
27
18 5 339
63
30
60

16MATHÉMATIQUES 7E

1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS THÉORIE

6. NOMBRES PREMIERS, NOMBRES COMPOSÉS

Div1 = { 1 }

Div

13 = { 1 ; 13 }

Div

17 = { 1 ; 17 }

Div

6 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 }

Div

15 = { 1 ; 3 ; 5 ; 15 }

Div

1 n'a qu'un seul élément.

Div

13 et Div17 ont chacun deux éléments.

Div

6 et Div15 ont chacun plus de deux éléments.

On dit

- qu'un entier positif est un nombre premier, s'il a exactement deux diviseurs; - qu'un entier positif est composé, s'il a plus de deux diviseurs. L'entier 1 n'est ni premier, ni composé. Tout entier positif plus grand que 1 est soit premier, soit composé. Les deux diviseurs d'un nombre premier sont cet entier lui-même, et l'entier 1.

Voici les nombres premiers plus petits que 50:

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47

7. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ

Un critère de divisibilité est un moyen de reconnaître, sans faire la division, si un entier positif

est divisible, ou non, par un autre. Voici des critères qui permettent de reconnaître si un entier positif est divisible ou non par 2, par 3 ou par 5.

Un entier positif est divisible

a) par 2 , s'il est terminé par 0, 2, 4, 6 ou 8; sinon, il n'est pas divisible par 2; b) par 3 , si la somme de ses chiffres est divisible par 3; sinon, il n'est pas divisible par 3; c) par 5 , s'il est terminé par 0 ou par 5; sinon, il n'est pas divisible par 5. EXERCICES ORAUX 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS

MATHÉMATIQUES 7E17

EXERCICES ORAUX

1Enumérer les éléments de

1) Div

62) Div43) Div7 4) Div125) Div8

2Enumérer les éléments de

1) Div

52) Div103) Div154) Div165) Div9

3Enumérer les éléments de

1) l'ensemble des multiples de 6 plus petits que 50

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