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2 Fonctions de plusieurs variables 2 1 Continuité dans Rm Rappel : Soit ? ? Rm ? ouvert f : ? ? Rm Alors f est continue en x si : ?(xn) ? x ? ?
Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le planComment étudier une fonction à deux variables ?
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R ? R. Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre. On dit qu'on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y).Comment déterminer les points critiques d'une fonction à deux variables ?
Définition Les points critiques d'une fonction f de deux variables sont les points o`u son gradient s'annule. Les points critiques de f := (x,y) ?? x3 ? 3x + y2 sont ceux qui vérifient les deux équations 3x2 ? 3=0et2y = 0. On trouve deux points critiques : (1,0) et (?1,0).- Exemple 1.6 Le gradient de la fonction définie sur R2 par f(x, y) = x2 est le champ de vecteurs horizontal ?(x,y)f = (2x 0 ) . d dt f(P + tv)t=0 = ?P f · v. d dt f(c(t)) = ?c(t)f · c (t).
43, boulevard 11 novembre 1918Spécialité Mathématiques
69622 Villeurbanne cedex, FranceL. Pujo-Menjouet
pujo@math.univ-lyon1.frCours d"Analyse 3
Fonctions de plusieurs variablesFIGURE1 - Représentation de la fonctionf:R27!Rdéfinie par(x;y)7!z=sin(x2+3y2)0:1+r2+
(x2+ 5y2)exp(1r2)2 ;avecr=px2+y2, et projection des courbes de niveau sur les plans
z= 0etz= 9. 1Préambule
Le but de ce cours est degénéraliser la notion de dérivéed"une fonction d"une variable réelle
à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de plusieurs
variables. L"idée fondamentale de cette théorie est d"approcherune application "quelconque" (de
plusieurs variables réelles ici) par une applicationlinéaireauvoisinaged"un point. Le cadre général pour la mettre en oeuvre est celuides espaces vectoriels(ce qui donne un sens au mot"linéaire"comme nous le verrons dans les chapitres qui suivent), munis d"unenormesur l"espace de départ (pour avoir une notion devoisinage) et unenormesur l"espace d"arrivée (pour savoir"approcher").Nous verrons que de cette théorie découle plusieurs propriétés et théorèmes classiques importants
ainsi que plusieurs applications notamment pour l"optimisation (voir le dernier chapitre du cours).Toutefois, avant de s"attaquer au calcul différentiel proprement dit, il paraît nécessaire de bien
définir les notions de bases en topologie associées à cette théorie, à savoir : - les distances, boules ouvertes, fermées, - les ensembles ouverts, fermés, les normes, etc. Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors pro- gramme), mais dans le cas particulier des espacesRn(et le plus souvent les espaces oùR2etR3) qui sont des espaces vectoriels particuliers de dimensionn(dimension finie). Rappelons qu"en dimension 2 (n= 2), on identifie un vecteurxde coordonnées(x1;x2)avec un point du plan de coordonnées(x1;x2)une fois fixée une origine. parx= (x1;:::;xn)2Rn. Rappelons enfin que l"ON NE PEUT PAS DIVISER PAR UN VECTEUR! Or, dansR, la définition de la dérivée fait intervenir le rapport(f(x)f(x0))=(xx0). Elle implique donc de pouvoir diviser par(xx0). Mais dansRnça n"a pas de sens car la divisionpar un vecteur n"est pas définie. Que faire alors si on ne peut pas définir la dérivée d"une fonction
DRn!Rn? C"est tout le but de ce cours : introduire une notion généralisée de la dérivée : la
DIFFERENTIABILITE.
2Table des matières
1 Notion de topologie dansRn5
1.1 Espaces métriques, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.2 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.4 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.5 Position d"un point par rapport à une partie deE. . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181.7 Ensemble compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211.8 Ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221.9HORS PROGRAMME :Applications d"unee.v.n.vers une.v.n.. . . . . . . . .23
1.9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231.9.2 Opérations sur les fontions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241.9.3 Extension de la définition de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251.9.4 Cas des espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251.9.5 Notion de continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261.9.6 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272 Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité. 29
2.1 Fonctions réelles de variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352.4 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372.5 Continuité sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
382.6 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393 Calcul différentiel 41
3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.3 Propriétés des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.4 Notion de différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
463.5 Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
503.6 Propriétés géométriques des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . .
513
TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
3.6.1 Gradient et ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
513.6.2 Le gradient indique la ligne de plus grande pente . . . . . . . . . . . . . .
523.6.3 Plan tangent à un graphe d"une fonction de 2 variables . . . . . . . . . . .
534 Théorème des accroissements finis 55
4.1 Fonction d"une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
564.2 Fonction d"une valeur sur un espaceRpet à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . .56
4.3 Fonction d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
574.4 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
584.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
595 Difféomorphismes 61
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.2 Théorème d"inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
625.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
636 Formules de Taylor 67
6.1 Applications deux fois différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
686.2 Exemples de différentielles d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
696.3 Matrice Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
706.4 Différentielle d"ordrek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
6.5 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
736.5.1 Fonction d"une variable réelle à valeur réelle . . . . . . . . . . . . . . . .
736.5.2 Fonction d"une variable réelle à valeurs dansRq. . . . . . . . . . . . . . .73
6.5.3 Fonction deRpà valeurs dansRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
6.6 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
756.6.1 Fonction d"une variable réelle à valeur dansRq. . . . . . . . . . . . . . .75
6.6.2 Fonction deRpà valeur dansRq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
6.7 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
767 Extrema79
7.1 Rappels d"algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
797.2 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.2.1 Condictions nécessaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.2.2 Conditions du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
837.2.3 Critères avec les matrices Hessiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
857.2.4 Cas particulier oùf:R2!R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
7.3 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
867.3.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
867.3.2 Extrema liés avec une seule contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
867.3.3 Extrema liés avec plusieurs contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
877.4 Convexité et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
884
Chapitre 1
Notion de topologie dansRn(a)Leonhard Euler
(1707-1783) : en résolvant en 1736 le problème des sept ponts enjambant la rivière PregoliaPrusse, il a ouvert la
voie de la topologie.En effet, par la
généralisation de ce problème, Cauchy et L"Huillier entre autres commencèrentà développer la
théorie liée à cette discipline.(b) Maurice RenéFréchet (1878-1973) :
c"est à lui que l"on doit en 1906 les d"es- paces métriques et les premières notions de topologie en cherchantà formaliser en termes
abstraits les travaux de Volterra, Arzelà,Hadamard et Cantor.(c)Johann Bene-
dict Listing (1808-1882) : il est le pre-
mier à avoir em- ployé le mot "topo- logie" FIGURE1.1 - Quelques mathématiciens célèbres liés à la topologie.1.1 Espaces métriques, distance
Nous allons dans ce cours, nous intéresser aux fonctionsf:URp!Rq(p;q2N). Pour cela il faudra étudier tout d"abord la structure du domaineUcar le domaine est aussi important que la fonction comme nous le verrons. 51.1 Espaces métriques, distance Notion de topologie dansRnNous allons donc définir de nouvelles notions : distances, normes, ouverts, fermés, etc. dans les
domaines inclus dansRnqui nous seront utiles tout au long de ce semestre pour tous les nouveaux outils abordés.Toutefois, même si nous travaillerons principalement dansR2,R3ou de façon généraleRn, nous
pourrons de temps à autre donner des résultats plus généraux qui resteront valables dans des es-
paces autres que ceux-ci (ce sera le cas de ce premier chapitre). Mais ce ne seront pas n"importequels espaces. Les définitions et propositions ci-dessous font en effet intervenir des combinaisons
entre eux des éléments d"un même espace, des multiplications par des scalaires, etc. Par consé-
quent il est nécessaire que cet espace reste stable par combinaison linéaires de ses éléments, et les
plus appropriés ici seront les espaces vectoriels que nous rappelons ci-dessous.SoitEun ensemble. On dispose sur cet ensemble d"une opération (notée additivement)
et on dispose par ailleurs d"une applicationKE!Equi à tout couple(;x)associe x. On dit queEest un espace vectoriel lorsque1.Eest un groupe commutatif (pour l"addition)
2. pour tout v ecteurxdeE,1:x=x(1désignant le neutre de la multiplication deK). 3. pour tous ;2Ket pour tout vecteurxdeE,()x=(x) 4. pour tous ;2Ket pour tout vecteurxdeE,(+)x=x+x 5. pour tout 2Ket tous vecteursx;y2E,(x+y) =x+y.Définition 1.1(ESPACES VECTORIELS)Exemple .L"espace
R n=R:::R|{z} nfois =fx= (x1;:::;xn);tel quexi2R;pour touti2 f1;:::;ngg: R nest un espace vectoriel de dimensionn. C"est celui que nous utiliserons le plus souvent ici.Une fois donné l"espace vectoriel, il faut pouvoir évaluer ses éléments les uns par rapport aux
autres. D"où la notion de distance. 6Notion de topologie dansRn1.1 Espaces métriques, distanceSoitEun ensemble non vide (on utilisera le plus souventRnici). On dit qu"une applica-
tiond:EE!R+; (x;y)7!d(x;y); est une distance surEsi elle vérifie 1. (SEP ARATION)pour tout (x;y)2EE,fx=yg () fd(x;y) = 0g, 2. (SYMETRIE) pour tout (x;y)2EE,d(x;y) =d(y;x), 3. (INEGALITE TRIANGULAIRE) pour t out(x;y;z)2EEE,d(x;y)d(x;z) +d(z;y)Définition 1.2(DISTANCE)On appelle espace métrique tout couple(E;d)oùE6=;est un espace vectoriel etdest
une distance.Définition 1.3(ESPACE METRIQUE)Exemple .1.E=R, muni de la distanceddéfinie pour tout(x;y)2R2pard(x;y) =jxyjest un
espace métrique.2.E=Rn, muni de la DISTANCE DE MANHATTANd1définie pour tout(x;y)2RnRn
par d1(x;y) =nX
i=1jxiyij:3.E=Rn, muni de la DISTANCE EUCLIDIENNEd2définie pour tout(x;y)2RnRnpar
d2(x;y) = (nX
i=1jxiyij2)1=2:4.E=Rn, muni de la DISTANCE DE MINKOWSKIdpdéfinie pour tout(x;y)2RnRn
par d p(x;y) = (nX i=1jxiyijp)1=p:5.E=Rn, muni de la DISTANCE INFINIE ou distance TCHEBYCHEVd1définie pour tout
(x;y)2RnRnpar d1(x;y) = sup
i=1;:::;njxiyij: 71.1 Espaces métriques, distance Notion de topologie dansRnFIGURE1.2-Représentationdetroisdistances.1.PlandeManhattanqui,parsesruesquadrilléesa
donné son nom à la distance de Manhattan. 2. Cette distance est représentée en bleu, jaune et rouge
dans la figure 2. On peut noter que la distance euclidienne dans cette figure est représentée en vert
et correspond a la somme des diagonales des petits carrés (d"après le théorème de Pythagore). 3.
Enfin dans la figure 3, est représentée la distance infinie qui correspond au nombre minimum de
mouvements nécessaire au roi pour se déplacer de sa case (ici f6) à une autre case. Il est à noter que la distance de Manhattan est la distance de Minkowski pourp= 1, la distance EuclidienneestladistancedeMinkowskipourp= 2etladistancedeThcebychevestladistancede Minkowski quandp7! 1. Voir figure 1.2 pour une illustration des différentes distances abordées dans cet exemple. Pour rendre le cours plus simple, nous utiliserons plutôt la notion de norme dans tout le restede notre cours, et les espaces vectoriels normés plutôt que les espaces métriques. Il se trouve que
norme). Donc ce qui va suivre peut s"adapter parfaitement dans le cadre des espaces métriques, tout
en étant plus facilement compréhensible. 8 Notion de topologie dansRn1.2 Normes des espaces vectoriels1.2 Normes des espaces vectoriels SoitEun espace vectoriel surR(on utilisera en généralE=Rn). On appelle norme surEune application
E!R+; x7! kxk; et vérifie 1. (SEP ARATION)pour tout x2E,kxk= 0()x= 0, 2. (HOMOGENEITE POSITIVE) pour t out2R, pour toutx2Ekxk=jj:kxk, 3.(INEGALITE TRIANGULAIRE) pour t ousx;y2E,kx+yk kxk+kyk.Définition 1.4(NORME)Un espace vectoriel surRmuni de la norme est appelé espace vectoriel normé, que l"on
notera souvente:v:n:.Définition 1.5(ESPACE VECTORIEL NORME)On a la relation entre norme et distance dans le résultat suivant.
SoitEune:v:n:L"application
d:EE!R+; (x;y)7!d(x;y) :=kxyk;est une distance surE. On l"appelle DISTANCE INDUITE surEpar la NORME.Proposition 1.6(DISTANCE INDUITE PAR UNE NORME)Preuve :Faite en cours.
Cette distance possède les propriétés suivantes : 1. pour tout x2E,d(0;x) =kxk, 2. pour tout (x;y)2E2, pour tout2R,d(x;y) =jjd(x;y), 3.pour tout (x;y;z)2E3,d(x+z;y+z) =d(x;y).Propriété 1.7(PROPRIETES DES DISTANCES INDUITES PAR DES NORMES)Preuve :Pas faite en cours.
Remarque .ATTENTION : toute norme induit une distance, mais toutes les distances ne pro- viennent pas d"une norme. 91.2 Normes des espaces vectoriels Notion de topologie dansRnExemple .IMPORTANT : normes classiques surRn:
Soientx2Rn,x= (x1;:::;xn), avecxi2Rpour touti2 f1;:::;ng, etp2Rtel quep1,1.kxk1=nX
1jxij(NORME MANHATTAN),
2.kxk2= (nX
1jxij2)1=2(NORME EUCLIDIENNE),
3.kxkp= (nX
1jxijp)1=p(NORMEp,p1),
4.kxk1= max1injxij(NORME INFINIE),
sont des normes surRn.Toute normek:kdans une:v:n(E;k:k)vérifie, pour tousx;y2E jkxk kykj kxyk:Proposition 1.8(PROPRIETE DES NORMES)Preuve :Faite en cours. Deux normesk:ketk:k0surEsont EQUIVALENTES s"il existe deux constantes réelles >0et >0telles que pour toutx2E kxk kxk0kxk:On note alors :k:k k:k0.Définition 1.9(NORMES EQUIVALENTES)Cette définition induit une relation d"équivalence.Proposition 1.10
Preuve :Pas faite en cours.
SurRn(et tout autre espace vectoriel normé de dimension finie) TOUTES les normes sont équivalentes.Proposition 1.11(NORMES EQUIVALENTES ET DIMENSION FINIE)10Notion de topologie dansRn1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornéePreuve :Pas faite en cours (abordé en TD).
Remarque .Dans la suite du cours on notera donc (sauf précision)k:kpour désigner une norme quelconque surRn.Nous nous plaçons désormais dans des espaces vectoriels normés(E;k:k). En général nous pren-
dronsE=Rn. Il nous faudra ensuite nous approcher d"un élément de cet espace et regarder cequ"il se passe autour de lui (comme par exemple, le définir comme la limite d"une suite d"éléments
de l"espace métrique). Il nous faudra donc définir la notion de voisinage. Et les outils que nous
utiliserons ici sont les boules.1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornéeSoit(E;k:k)une:v:n. Soientaun point deEetr2R,r >0.
1.B k:k(a;r) =fx2E;kxak rgest appelé boule FERMEE de centreaet de rayon r.2.Bk:k(a;r) =fx2E;kxak< rgest appelé boule OUVERTE de centreaet de
rayonr.3.Sk:k(a;r) =fx2E;kxak=rgest appelé SPHERE de centreaet de rayonr.Définition 1.12(BOULE OUVERTE, FERMEE, SPHERE)Dans le cas oùa= 0(vecteur nul) etr= 1on a ce qu"on appelle les boules ou sphères unités.Soit(E;k:k)une:v:n.
1.B k:k(0;1) =fx2Ekxk 1gest appelé boule UNITE FERMEE.2.Bk:k(a;r) =fx2E;kxk<1gest appelé boule UNITE OUVERTE.
3.Sk:k(a;r) =fx2E;kxk= 1gest appelé SPHERE UNITE.Définition 1.13(BOULE UNITE OUVERTE, FERMEE, SPHERE)Remarque .Dans la suite et pour éviter les lourdeurs d"écriture nous ne mettrons pas la norme
en indice et nous écrirons justeB(a;r),B(a;r), etS(a;r)lorsque l"on désignera respectivement la boule fermée, ouverte ou la sphère de centreaet de rayonrpour une normek:kquelconque. Si jamais la norme devait être spécifiée, nous l"ajouterons alors en indice. Remarque .ATTENTION: les boules ont des formes différentes selon les espaces métriques utilisés. Voir un exemple dansR2pour la distance euclidienne dans la figure 1.3, ou la figure 1.4 pour des distancesp, oùp= 0:5;1;2;4et1. 111.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée Notion de topologie dansRnFIGURE1.3 - Exemples surR2avec la norme euclidienne d"une boule fermée (1.), ouverte (2.), et
d"une sphère (3.) centrée enaet de rayonr.FIGURE1.4 - Exemples surR2avec la norme de Minkowskipde la sphère unité (centrée en0
et de rayon1, avecp= 1;2;4et1). Le casp= 0:5est à part puisqu"on rappelle quek:kpavec0< p <1n"est pas une norme surRn). On dessine juste l"ensemblefx2Rn;kxk0:5= 1gSoit(E;k:k)une:v:n. Une partie bornéePdeEest une partie deEpour laquelle on
peut trouver une boule (ouverte ou fermée) qui contient tous les points deP(voir figure1.5 pour un exemple).Définition 1.14(PARTIE BORNEE)12
Notion de topologie dansRn1.4 Ouverts et fermésFIGURE1.5 - Exemples surR2de partie bornée, avec la norme euclidienne.
1.4 Ouverts et fermésSoit(E;k:k)une:v:n. Une partie ouverte (ou un ouvert) deEest une partieUdeEtelle
que pour toutx2U, il exister >0réel, tel queB(x;r)U. Autrement dit, tout point deUest le centre d"une boule ouverte de rayon non-nul, incluse dansU(voir figure 1.6pour un exemple).Définition 1.15(PARTIE OUVERTE)Soit(E;k:k)une:v:n. Une partie fermée (ou un fermé) deEest une partie telle que son
complémentaireUdeEest un ouvert.Définition 1.16(PARTIE FERMEE)Soit(E;k:k)une:v:n. On a alors : 1. une boule ouv erteest un ouv ert, 2.une boule fermée est un ferm é.Proposition 1.17(BOULES OUVERTES, FERMEES)Preuve :Faite en cours.
131.5 Position d"un point par rapport à une partie deENotion de topologie dansRnFIGURE1.6 - Exemples surR2de partie ouverte, avec la distance euclidienne.Soit(E;k:k)une:v:n.
1. toute union finie ou infinie d" ouvertsde Eest un ouvert, 2. toute intersection F INIEd"ouv ertsde Eet un ouvert, 3. toute union FINIE de fermés de Eest un fermé, 4. toute intersection fi nieou infinie de fermés de Eest un fermé, 5. les ensembles à la fois ouv ertset fermés de Esont;etE, et si ce sont les seuls on dira que l"espace est CONNEXE, 6.un ensemble fini de points de Eest fermé .Proposition 1.18(INTERSECTION, REUNIONS D"OUVERTS, DE FERMES)Preuve :Faite en cours (en partie).
1.5 Position d"un point par rapport à une partie deE
Avant toute chose, énonçons la définition de voisinage d"un point. Toutes les autres définitions
découleront de cette notion.On dit qu"une partieVdeEest un voisinage dex2EsiVcontient un ouvert contenant
x.Définition 1.19(VOISINAGE)Remarque .Cette définition revient à dire qu"une partieVdeEest un voisinage dex2EsiV
contient une boule ouverte contenantx(la boule peut être ou non centrée enx). 14Notion de topologie dansRn1.5 Position d"un point par rapport à une partie deEFIGURE1.7 - Exemples surR2de voisinageVdex, avec la norme euclidienne.
Soit(E;k:k)une:v:n. SoitAEune partie quelconque deE. AlorsAcontient au-moins un ouvert (en effet; A). SoitOAl"ensemble de toutes les parties ouvertes deEcontenues dansA. Alors[P2OAPest un
ouvert (comme réunion de parties quelconques d"ouverts).Soient(E;k:k)une:v:n:etAE. Un pointxdeEest dit intérieur àAsiAest un
voisinage dex, autrement dit, siAcontient une boule ouverte contenantx.L"intérieur deA, notéAouInt(A)est l"ensemble des points intérieurs àA.Définition 1.20(INTERIEUR)Soient(E;k:k)une:v:n:etAE. L"intérieur deAest la plus grande partie ouverte
incluse dansA.Proposition 1.21(PROPRIETE DE L"INTERIEUR)Preuve :Pas faite en cours.Remarque .On ax2A=[
P2OAP.
Remarque .On a :
1.Aest un ouvert,
151.5 Position d"un point par rapport à une partie deENotion de topologie dansRn2.
AA,3.Aest un ouvert()A=A.
Preuve :(3.) fait en cours.
Soit(E;k:k)une:v:n. SoitAune partie quelconque deE. AlorsEcontient au-moins une partie fermée contenantA(en effetEest fermé). SoitFl"ensemble des parties fermées contenantA. Alors\F2FFest la plus petite partie fermée
contenantA. Et\F2FFest bien une partie fermée (comme intersection de familles fermées).Soient(E;k:k)une:v:n:etAE. Un pointxdeEest dit adhérent àAsi tout voisinage
dexrencontreA, autrement dit, si toute boule ouverte contenantxcontient au-moins unélément deA.
L"adhérence deAE, notéeAouadh(A), est l"ensemble des points adhérents àA.Définition 1.22(ADHERENCE)Soient(E;k:k)une:v:n:etAE. L"adhérence deAest la plus petite fermée contenantProposition 1.23(PROPRIETE DE L"ADHERENCE)Preuve :Pas faite en cours.
Remarque .On ax2A=\
F2FF.Remarque .On a :
1.Aest un fermé,
2.AA,3.Aest un fermé()A=A.
Preuve :(3.) fait en cours.
Soit(E;k:k)une:v:n:etAE. Alors{
EA={EA:Proposition 1.24(ADHERENCE DU COMPLEMENTAIRE)16Notion de topologie dansRn1.5 Position d"un point par rapport à une partie deEPreuve :Faite en cours.
Soit(E;k:k)une:v:n. On appelle frontière deAE, notéeFr(A)l"ensemble défini parFr(A) =AA.On dit quexest un point frontière deAsi et seulement six2Fr(A).Définition 1.25(FRONTIERE)Soit(E;k:k)une:v:n. SoientAEetPun ouvert deE. Alors
A\P6=; ()A\P6=;Proposition 1.26(INTERSECTION OUVERT ET FERME)Preuve :Faite en cours. Soit(E;k:k)une:v:n. SoientAE,x2Eetr >0,r2R. On a alors :1.x2A()il exister >0, tel queB(x;r)A,
2.x2A()pour toutr >0,B(x;r)\A6=;,
3.x2Fr(A)()pour toutr >0,B(x;r)\A6=;etB(x;r)\{EA6=;.Proposition 1.27(OUVERT, FERME, FRONTIERE)Preuve :Faite en cours.
Soit(E;k:k)une:v:n.
1.Adh(B(0;1)) =B(0;1),
2.Int(B(0;1)) =B(0;1),
3.Fr(B(0;1)) =fx2E;d(0;x) = 1g.Proposition 1.28(BOULE UNITE)Preuve :Pas faite en cours.
Maintenant que les notions de bases qui nous intéressent sont établies, nous pouvons nous inté-
resser à des outils qui nous seront utiles dans certaines preuves du cours : les suites et la notion
d"ensemble compact. 171.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé Notion de topologie dansRn1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé
Dans cette section, nous nous plaçons (sauf exception spécifiée) dans un(E;k:k)une:v:n quelconque.On appellesuitedansEtouteapplication N!E n7!xn:On note une telle application(xn)n2N.Définition 1.29(SUITE)Soit(xn)n2N, une suite deEmuni de la normek:k. La suite(xn)n2Nest dite bornée si et
seulement si l"ensemblefxn; n2Ngest borné. Autrement dit, il existeM >0tel quepour toutn2N,kxnk M.Définition 1.30(SUITE BORNEE)L"ensemble des suites bornées dans un espace vectoriel normé est un espace vectoriel.Proposition 1.31(SUITES BORNEES ET ESPACE VECTORIEL)Preuve :Pas faite en cours.
Soit(xn)n2N, une suite deEmuni de la normek:k. On dit que(xn)n2Nconverge dans (E;k:k), si et seulement s"il existel2E, tel que pour tout" >0, il existeN2N, telque pour toutnN,kxnlk< ".Définition 1.32(SUITE ET CONVERGENCE)La limite de la suite(xn)n2Ndéfinie ci-dessus est UNIQUE.Proposition 1.33(LIMTE ET UNICITE)Preuve :Faite en cours.
18Notion de topologie dansRn1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel norméL"ensemble des suites convergentes dans un espace vectoriel normé est un espace vecto-
riel.Proposition 1.34(SUITES CONVERGENTES ET ESPACE VECTORIEL)Preuve :Pas faite en cours. SurRn, comme toutes les normes sont équivalentes , toute suite convergente pour l"unedes normes est convergente pour l"autre.Proposition 1.35(CONVERGENCES ET NORMES - DIMENSION FINIE)Preuve :Pas faite en cours.
SoitAE. On dit que(xn)n2Nest une suite de points deAsi et seulement si pour toutn2N,xn2A.Définition 1.36(SUITES ET PARTIES)Si(xn)n2Nest une suite de points deAet(xn)n2Nconverge versl, alorsl2A.Proposition 1.37(LIMITE ET ADHERENCE)Preuve :Faite en cours.
SoitAE, alorsAest fermé si et seulement TOUTE suite de points deAqui convergea sa limite qui appartient àA.Proposition 1.38(CARACTERISATION DES FERMES PAR LES SUITES)Preuve :Faite en cours.
Soit(xn)n2Nune suite deE. On dit que(xn)n2Nest une suite de Cauchy si et seulementsi pour tout" >0, il existeN2N, tel que pour tousn;mN,kxnxmk< ".Définition 1.39(SUITES DE CAUCHY)19
1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé Notion de topologie dansRnSi une suite est convergente alors elle est de Cauchy.Proposition 1.40(CAUCHY ET CONVERGENCE)Preuve :Faite en cours.
Remarque .ATTENTION: la réciproque n"est pas vraie en général. Par contre, le fait de tra-vailler sur un espace où la réciproque est vraie serait bien pratique. En effet nous pourrions mon-
trer la convergence d"une suite sans avoir à calculer la limite de cette suite. Les espaces dont la
réciproque de la propriété ci-dessus.Si dans un ensemble, toute suite de Cauchy est convergente, on dit que l"ensemble est
complet.Définition 1.41(ESPACE COMPLET)Remarque . T outespace vector ielnormé complet est appelé espace de Banac h. Les e:v:n:(Rn;k:k)dans lesquels nous travaillerons pratiquement tout le temps, sont desquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] exo7 fonction a plusieurs variables cours
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