[PDF] [PDF] Cours sur les fonctions de plusieurs variables Groupe B1 Semestre 4

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Florent ARNAL

Cours sur les fonctions de plusieurs

variables

Groupe B1Semestre 4

Universit´e de Bordeaux

Adresse

´electronique :florent.arnal@u-bordeaux.fr

Site internet : http ://flarnal.e-monsite.com

2018

Table des mati`eres

I G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

II Fonctions deR2dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

II.1 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

II.2 Continuit´e et d´erivabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II.3 Extremum d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.4 D´eriv´ees partielles d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III Fonctions deRndansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.2 Laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

IV Fonctions deR3dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV.1 Divergent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV.2 Rotationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

V Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

I G´en´eralit´es

D´efinition 1 :Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 1. On appelle fonction r´eelle denvariables toute applicationftelle que : f:Rn→R x= (x1,x2,...,xn)?→f(x) =f(x1,x2,...,xn).

Remarque 1 :L"ensemble des r´eels (x1,x2,...,xn)?Rntels quef(x1,x2,...,xn) existe correspond `a l"ensemble de

d´efinition def.

Exemple 1La fonctionf: (x,y)?→xsin(xy)

x2+y2est une fonction r´eelle de deux variables d´efinie surR2\ {(0;0)}. D´efinition 2 :On appelle surface repr´esentative d"une fonctionf:X?R2→Rl"ensemble

Σ ={(x,y,z)?X×R/z=f(x,y)}

Figure1 - Surface de la fonctionf: (x,y)→sin(x+y)

II Fonctions deR2dansR

II.1 Limites

D´efinition 3 :Soitfune fonction d´efinie au voisinage de (a,b). On dit que la limite de la fonctionfquand (x,y) tend vers (a,b) est?si :

pour toutε >0,il exister >0 tel que, pour tout (x,y) appartenant au disque de centre (a,b) et de rayonr,

|f(x,y)-?|< ε.

On note : lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =?.

Remarque 2 :On d´efinit les limites o`u?= +∞de mani`ere analogue ...

En outre, les propri´et´es li´ees aux comparaisons, compositions, ... sont transposables aux fonctions deR2dansR.

Exercice 1D´eterminer les limites suivantes :lim(x,y)→(0,0)1x2+y2etlim(x,y)→(0,0)x

2+y2x4+y4.

florent.arnal@u-bordeaux.frPage 1

II.2 Continuit´e et d´erivabilit´e

D´efinition 4 :On dit quef:U →Rest continue en un pointa? Usif→af(a). On dit quefest continue surUsifest continue en tout pointa? U. Remarque 3 :Les th´eor`emes usuels sur la continuit´e demeurent vrais ...

D´efinition 5 :

Soientfune fonction d´efinie sur un disque ouvert de centrex0= (a,b) et-→u= (h,k)?R2\{(0;0)}.

On dit quefest d´erivable enx0suivant le vecteur-→u= (h,k) si l"application -→u:?R→R t?→f(a+th,b+tk)est d´erivable en 0.

Dans ce cas, on appelle d´eriv´ee defenx0suivant le vecteur-→u= (h,k), not´eeD-→uf(x0),le r´eel d´efini par :

D -→uf(x0) = limt→0f(a+th,b+tk)-f(a,b) t Exercice 2Soitx0= (a,b)etfla fonction d´efinie par :f(x,y) =xy2.

1. Montrer quefest d´erivable enx0selon le vecteur-→u= (h,k).

2. D´eterminer la d´eriv´ee defenx0= (a,b)suivant-→i= (1,0)et-→j= (0,1).

D´efinition 6 :

Soientfune fonction d´efinie sur un disque ouvert de centrex0= (a,b) et-→u= (h,k)?R2\{(0;0)}.

•La d´eriv´ee partielledefenx0par rapport `ax,not´ee∂f ∂x(a,b), correspond `a la d´eriv´ee defenx0= (a,b) suivant le vecteur-→i. •La d´eriv´ee partielledefenx0par rapport `ay,not´ee∂f ∂y(a,b), correspond `a la d´eriv´ee defenx0= (a,b) suivant le vecteur-→j.

Ainsi :∂f

∂x(a,b) = limt→0f(a+t,b)-f(a,b)tet∂f∂y(a,b) = limt→0f(a,b+t)-f(a,b)t florent.arnal@u-bordeaux.frPage 2

Exercice 3D´eterminer les d´eriv´ees partielles de la fonction d´efinie surR2parf(x,y) =x+y2.

Remarque 4 :Dans la pratique, on d´erive par rapport `a une variable, en consid´erant les autres comme constantes.

En consid´erant la fonctionf: (x,y)?→x2-2xy, on a : ∂x?x2-2xy?=..................

Remarque 5 :Les r`egles de calcul sont les mˆemes que pour les d´eriv´ees des fonctions d"une variable.

Par exemple, pour un produit, on a :∂

∂x(fg) =∂f∂xg+f∂g∂x

D´efinition 7 :On dit qu"une applicationf:U →Rest de classeC1si ses d´eriv´ees partielles existent et sont

continues. Remarque 6 :Les fonctions polynomiales et rationnelles sont de classeC1.

Th´eor`eme-D´efinition 1:(admis)

•Sifest de classeC1sur un disque ouvert alorsfest d´erivable en toutx0du disque suivant tout vecteur-→u= (h,k). On a :

D -→uf(x0) =h∂f ∂x(x0) +k∂f∂y(x0)

•On dit alors quefest diff´erentiable enx0.

Exercice 4D´eterminer la diff´erentielle enx0def: (x,y)?→xetg: (x,y)?→y.

Remarque 7 :L"application diff´erentielle defenx0= (a,b) est l"application lin´eaire, `a valeurs dansR, not´ee df(x0)

d´efinie sur l"espace vectorielR2par : df(x0) =h∂f ∂x(x0) +k∂f∂y(x0).

On note usuellement : df=∂f

∂xdx+∂f∂ydy. florent.arnal@u-bordeaux.frPage 3

II.3 Extremum d"une fonction

D´efinition 8 :Soitfune fonction de classeC1sur un disque ouvert contenantx0.

Le gradient defau pointx0est le vecteur

gradf(x0) =((∂f ∂x(x0) ∂f ∂y(x0))) Exercice 5D´eterminer le gradient enx0= (a,b)def: (x,y)?→xy2. Th´eor`eme 1:Soitfune fonction de classeC1sur un disque ouvertU.

Sifadmet un extremum local enx0? Ualors

gradf(x0) =-→0

Ce th´eor`eme indique que les extrema d"une fonction ne peuvent seproduire qu"en un point o`u le gradient s"annule

(point critique). Par contre, la r´eciproque est fausse.

En un point critique, il n"y a pas n´ecessairement un extremum pour lafonction. Consid´erons par exemple la fonction

d´efinie parf(x,y) =x2-y2.

L"origineO(0; 0) est donc un point critique, mais ce n"est pas un point ou la fonction admet un extremum comme le

montre la repr´esentation graphique defdonn´ee ci-dessous. La surface d"´equationz=x2-y2pr´esente une allure de

"point selle" ou de col au voisinage de l"origine.

Figure2 - Surface d"´equationz=x2-y2.

florent.arnal@u-bordeaux.frPage 4 Exercice 6Consid´erons la fonction d´efinie surR2par :f(x,y) =x2+y2-2x+ 2y+ 4. Montrer quefadmet un extremum que l"on d´eterminera.

II.4 D´eriv´ees partielles d"ordre2

D´efinition 9 :Soitf: (x1,x2)→f(x1,x2) une fonction d´efinie sur un disque ouvertU.

Pouri,j=1 ou 2, l"applicationDj(Dif), si elle existe, est appel´ee d´eriv´ee partielle d"ordre 2 defen sai-`eme puis

j-`eme variable. Celle-ci est not´eeDj,if.

Remarque 8 :Lorsqu"on convient de noterxetyles variables def, on note :∂2f∂x∂you∂2f∂x2.

Exercice 7D´eterminer les d´eriv´ees partielles d"ordre2de la fonctionfd´efinie surR2parf(x,y) =xexy.

D´efinition 10 :On dit qu"une applicationf:U →Rest de classeC2si toutes les d´eriv´ees partielles jusqu"`a ordre

2 defexistent et sont continues surU.

florent.arnal@u-bordeaux.frPage 5

Th´eor`eme 2:(Th´eor`eme de Schwarz)

Sif:U →Rest de classeC2alors

2f ∂x∂y=∂2f∂y∂x

III Fonctions deRndansR

III.1 G´en´eralit´es

D´efinition 11 :Soitfune fonction d´efinie sur un ouvertUdeRn,a? U. La d´eriv´ee partielle defau point

a= (a1,a2,...,an) par rapport `a lai-`eme variable est d´efinie, si elle existe, par : ∂f ∂xi(a1,a2,...,an) = limt→0f(a1,a2,...,ai+t,...,an)-f(a1,a2,...,ai,...,an)t

D´efinition 12 :Soitfune fonction d´efinie sur un ouvertUdeRn,a? U. On suppose quefadmet des d´eriv´ees

partielles par rapport `a chaque variable au pointa.

On appelle diff´erentielle defenaet on note df(a) l"application lin´eaire deRndansRd´efinie par :

df(a) : (h1,h2,...,hn)?→∂f(a) ∂x1h1+...+∂f(a)∂xnhn. Remarque 9 :La diff´erentielle defenaest donc une forme lin´eaire deRndansR.

Remarque 10 :Pour tout indicei, on note dxila forme lin´eaire d´efinie par dxi:h= (h1,h2,...,hn)?→hi.

La diff´erentielle defs"´ecrit dans cette base : df(a) =n? i=1∂f(a) ∂xidxicar dxi(h) =hi. Ainsi, pour une fonctionfd´efinie surR3, on a : df=∂f

Remarque 11 :La d´efinition du gradient vue pr´ec´edemment se g´en´eralise au cas de fonctions denvariables.

Ainsi, dans le cas de 3 variables, on a, au pointx0= (a,b,c) : gradf(x0) =(((∂f ∂x(a,b,c) ∂f ∂y(a,b,c) ∂f ∂z(a,b,c))))

III.2 Laplacien

D´efinition 13 :L"op´erateur laplacien, ou simplement le laplacien, est un op´erateurdiff´erentiel, not´e Δ, ´egal `a la

somme de toutes les deuxi`emes d´eriv´ees partielles non mixtes d"une variable d´ependante. Ainsi :

Δf(x1,x2,...,xn) =n?

i=1∂ 2f ∂x2i(x1,x2,...,xn) florent.arnal@u-bordeaux.frPage 6 Exercice 8D´eterminer le laplacien de la fonction d´efinie parf(x,y) = ln?x2+y2.

IV Fonctions deR3dansR3

IV.1 Divergent

D´efinition 14 :Une fonctionf:Rn→Rntelle que f(x1,x2,···,xn) = (f1(x1,x2,···,xn),···,fn(x1,x2,···,xn)) o`ufi:Rn→Rest appel´ee champ vectoriel. Exemple 2f(x,y,z) =?x3-6xyz,y3+ 6xyz,z3-6xyz?not´ee ´egalement f(x,y,z) =?x3-6xyz??i+?y3+ 6xyz?-→j+?z3-6xyz?-→k . est champ de vecteurs deR3dansR3.

D´efinition 15 :La divergence d"un champ de vecteursf:R3→R3, not´e div(f), est un champ scalaire donn´e par

la relation : div(f) =∂f1 ∂x+∂f2∂y+∂f3∂z.

En reprenant l"exemple pr´ec´edent, on a :

div(f) =····················································································.

IV.2 Rotationnel

D´efinition 16 :Soitf:R3→R3tel quef(x,y,z) = (f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z))) o`ufi:Rn→R. Le

rotationnel d"un champ de vecteursf, not´e-→rotf, est d´efini par : rot(f) =?∂f3 ∂y-∂f2∂z? j+?∂f2∂x-∂f1∂y? -→k florent.arnal@u-bordeaux.frPage 7

Remarque 12 :

•Le rotationnel est un op´erateur qui transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs.

•On note parfois :-→rot(f) =??????-→

i-→j-→k ∂x∂∂y∂∂zf

1f2f3??????

voire-→rot(f) =((∂ ∂x∂ ∂y∂ ∂z)) ?((((((f 1 f 2 f

3))))))

L"op´erateur

∂x-→i+∂∂y-→j+∂∂z-→kest souvent appel´e nabla et not´e-→?.

On a donc :

gradf=-→?(f) divf=-→?.f rotf=-→? ?f Exercice 9Soitfun champ de vecteurs deR3de classeC2. Calculer div?-→rot(f)? florent.arnal@u-bordeaux.frPage 8

V Exercices

Exercice 1: On consid`ere la fonctionf: (x,y)?→xy ?x2+y2.

1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDdef.

2?x2+y2.

3. En d´eduire lim

(x,y)→(0;0)f(x,y).

Exercice 2: Soitf: (x,y)?→x2y

x4+y2pour (x,y)?= (0,0) etf(0,0) = 0.

1. D´eterminer

∂f ∂x,∂f∂y.

2. En consid´erantf?x,x2?, montrer quefn"est pas continue en (0,0).

Exercice 3: Etudier les extrema (locaux et globaux) de la fonctionfd´efinie surR2par : f(x,y) =x2-4x+ 3 +y2+ 6y

Exercice 4: Soitfla fonction d´efinie par

f(x,y) =xarctany x+ lnyx

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer la diff´erentielle def.

3. Calculer les d´eriv´ees partielles d"ordre 2 et v´erifier que :

∂2f ∂x∂y=∂2f∂y∂x.

Exercice 5: D´eterminer les ´eventuelles fonctionsfde classeC1solutions des syst`emes suivants :

∂f ∂x(x,y) =xy2et∂f∂y(x,y) =x2y. ∂f ∂x(x,y) =xx2+y2et∂f∂y(x,y) =-yx2+y2. Exercice 6: Pour les fonctions suivantes, d´eterminer le divergent et le rotationnel.

•f(x,y,z) =?xy,-y2,z2?

•f(x,y,z) =?2x-y,-yz2,-y2z?

florent.arnal@u-bordeaux.frPage 9quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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