[PDF] I Colinéarité de deux vecteurs II Équations de droites

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LycéeCassiniCours : Vecteurs et équations de droitesPremière S

I Colinéarité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs-→uet-→vsont colinéairess"il existe un réelknon nul tel que-→v=k-→u.

Autrement dit, deux vecteurs non nuls-→uet-→vsont colinéaires si et seulement s"ils ont la même direction.

Propriété

- Trois pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires,

- Deux droites(AB)et(CD)sont parallèles si et seulement si les vecteurs--→ABet--→CDsont colinéaires.

AB ABC

AB-→AC

AB C D AB CD

II Équations de droites

1) Vecteur directeur d"une droite

Définition

Dest une droite du plan.

On appelle vecteur directeur deDtout vecteur non nul-→uqui possède la même direction que la droiteD.

Propriété : Condition de colinéarité

-→u?xy?et-→v? x? y sont colinéaires si et seulement sixy?-x?y= 0.

2) Équation cartésienne d"une droite

Propriété

Toute droiteDadmet une équation de la formeax+by+c= 0avec(a;b)?= (0;0).

Un vecteur directeur deDest-→u(-b;a).

Cette équation est appelée équation cartésienne de la droiteD

Démonstration:

SoitA(x0;y0)un point de la droiteDet-→u(α;β)un vecteur directeur deD. Un pointM(x;y)appartient à la droiteDsi et seulement si les vecteurs--→AM?x-x0 y-y0? et-→u((α sont colinéaires, soit :

β(x-x0)-α(y-y0) = 0

soit encore :

βx-βx0-αy+αy0= 0

et donc :

βx-αy+αy0-βx0= 0

Cette équation peut s"écrire :ax+by+c= 0aveca=βetb=-αetc=αy0-βx0

Les coordonnées de

-→usont donc(α;β) = (-b;a). 1

Exemple 1.Soit une droiteDd"équation cartésienne4x-5y-1 = 0. Alors le vecteur-→ude coordonnées(5;4)

est un vecteur directeur deD.

Théorème réciproque admis

L"ensemble des pointsM(x;y)tels queax+by+c= 0avec(a;b)?= (0;0)est une droiteDde vecteur directeur-→u(-b;a).

Exemple 2.Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d"un point et d"un vecteur directeur.

On considère un repère(0;-→ı;-→?)du plan.

a. Déterminer une équation cartésienne de la droiteDpassant parA(3;1)et de vecteur directeur-→u(-1;5).

b. Déterminer une équation cartésienne de la droiteD?passant par les pointsB(5;3)etC(1;-3).

Exemple 3.Méthode : Savoir représenter une droite connaissant une équation cartésienne. Représenter les droites

d"équations :2x+ 3y-1 = 0et-x+ 2y+ 4 = 0et2x-1 = 0

3) Équation cartésienne et équation réduite

Sib?= 0, alors l"équation cartésienneax+by+c= 0de la droiteDpeut être ramenée à une équation réduite

y=-a bx-cb.

Le coefficient directeur deDest-a

bet son ordonnée à l"origine est-cbet un vecteur directeur deDest(1;-ab) Sib= 0, (on alorsa?= 0) alors l"équation réduite deDestx=-c a. Exemple 1.Soitdd"équation cartésienne4x+y-6 = 0.

Son équation réduite esty=-4x+ 6

4) Parallélisme de droites

Propriété

Les droites d"équationax+by+c= 0eta?x+b?y+c?= 0sont parallèles ssiab?-a?b= 0

Démonstration:

Les droites d"équationax+by+c= 0eta?x+b?y+c?= 0sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs-→u?-b

a? et v?-b? a sont colinéaires. Soit -ba?-a(-b?) = 0 soit encore ab ?-a?b= 0 Exemple 1.Les droites d"équations3x-y+ 5 = 0et-6x+ 2y+ 7 = 0sont parallèles.

Exemple 2.Déterminer une équation de la droiteDparallèle à la droiteD?d"équation2x-y+1 = 0et passant

par le pointA(-2;3)

III Décomposition d"un vecteur

Définition

On appelle base du plan tout couple de deux vecteurs non colinéaires.

Remarque:

Lorsqu"on considère un repère(0;-→ı;-→?)du plan, le couple de vecteurs-→iet-→jnotée(-→i;-→j)est une base du

plan.

Lorsqu"on considère un triangle non aplatiABC, le couple(--→AB;-→AC)par exemple est une base du plan

2 -→AC AB ?A B? C

Propriété admise

Soit(-→u;-→v)une base du plan. Pour tout vecteur-→w, il existe un unique couple de nombres réels(a;b)tel

que : -→u va-→u b -→v-→w

Remarque:

La décomposition-→w=a-→u+b-→vsignifie que le vecteur-→wa pour coordonnées(a;b)dans la base(-→u;-→v)._

Exemple 3.Soit un triangleABC.Dest le milieu de[BC]etEest le milieu de[BD]. Le point F est défini par :-→AF= 3--→AB+-→AC.

Démontrer que les pointsA,EetFsont alignés.

L"idée est d"exprimer le vecteur-→AEdans la base(--→AB;-→AC)car le vecteur-→AFest exprimée par définition dans

la même base.

Dest le milieu de[BC]donc--→AD=1

2(--→AB+-→AC)

Eest le milieu de[BD]donc-→AE=1

2(--→AB+--→AD)

Donc :-→AE=1

2(--→AB+12(--→AB+-→AC))

1

2--→AB+14--→AB+14-→AC

3

4--→AB+14-→AC

On a ainsi :

AE=3

4--→AB+14-→AC

et

AF= 3--→AB+-→AC

Donc :

AE=1

4-→AF

Les vecteurs

AEet-→AFsont colinéaires et donc les points A, E et F sont alignés. 3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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