Chapitre 8 : Vecteurs
norme (la longueur AB). • Construire le point M' image du point M par la translation de vecteur ?. AB revient à tracer le.
VECTEURS DE LESPACE
Propriété : Soit un point A et deux vecteurs de l'espace u Méthode : Démontrer l'alignement par décomposition de vecteurs.
géométrie analytique - Des formules dans un repère
coordonnées du milieu d'un segment la distance entre deux points
Colinéarité de vecteurs dans un repère
Les points et sont-ils alignés ? En cas de difficulté
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Propriété : Soit un point de l'espace et T? un vecteur non nul de Méthode : Démontrer l'alignement par décomposition de vecteurs dans une base.
Pépinière académique de mathématiques Année 2021-2022 Stage
l'alignement de trois points. • L'égalité de deux vecteurs se traduit par une configuration de parallélogramme. ... Exercice 2 Un alignement particulier.
Vecteurs
Apr 16 2021 Multiplication par un scalaire : définition. Alignement de points et colinéarité. Damien THOMINE. Vecteurs. 16 avril 2021.
Leçon n°20 : Problèmes dalignement de parallélisme ou d
Pré-requis : Définitions du point de la droite
Vecteurs et géométrie dans lespace en Terminale Générale
Démontrer un alignement avec le calcul vectoriel . Soient deux points distincts A et B ; on définit ainsi le vecteur.
Sans titre
la colinéarité de deux vecteurs. • l'alignement de trois points. Pour déterminer si deux vecteurs u ÷ et v sont colinéaires testons le caractère numérique
Vecteurs
Damien THOMINE
16 avril 2021
Damien THOMINEVecteurs16 avril 20211 /52
Les vecteurs
Damien THOMINEVecteurs16 avril 20212 /52
Contexte
Objectif
Dans le sup
´erieur, la g´eom´etrie affine (ou euclidienne) est d´evelopp´ee`a partir de la g´eom´etrie vectorielle.Les
´el`eves de coll`ege sont familiers avec la g´eom´etrie euclidienne, mais pas avec la g´eom´etrie vectorielle.Question: comment introduire la g´eom´etrie vectorielle`a partir de la g´eom´etrie
euclidienne?Les programmes sont malheureusement peu d ´etaill´es, et peu clairs sur la question...Damien THOMINEVecteurs16 avril 20213 /52Contexte
Quelques rep
`eres4e : D
´eplacements du plan. Translations (d´efinition naturelle). Frises et pavages.2nde :Translations (d ´efinition rigoureuse). Vecteurs : d´efinition, somme et produit par un r ´eel. Colin´earit´e.´Equations r´eduites.La somme est introduiteviala composition des translations.1eS :D ´eterminant et´equations cart´esiennes de droites. Produit sca- laire.TS :M ˆeme chose, mais dans l"espace.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20214 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesD´efinitions et exemples
Actions libres et transitives
Avant toutes choses, un espace vectoriel est un groupe (pour l"addition) avec une op ´eration suppl´ementaire (multiplication par un scalaire). On va dans un premier temps r ´ecup´erer le groupe additif avant de se d´efinir la multiplication.Le plan euclidien peut ˆetre vu comme un "groupe dont on a oubli´e l"´el´ement neutre".On peut soustraire des
´el´ements (cela donnera un vecteur), mais on ne peut pas en ajouter (la somme de deux points du plan n"a pas de sens!).Pour formaliser cette id ´ee, on va parler d"action de groupe.Definition SoientGun groupe etXun ensemble. On voitGcomme un groupe de transformations (ou sym ´etries) deX. Cette action estsimplement transitivesi, pour tousx,y2X, il existe une unique transformationg2Gtelle queg(x) =y.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20216 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesD´efinitions et exemples
Actions de groupes
Exemples :G=ZetXest l"ensemble des graduations d"une droite. Transformations :translations.G=RetXest une ligne. Transformations : translations.G=R2etXest le plan euclidien. Transformations : translations/vecteurs.G=UetXest un cercle.Gest l"ensemble des permutations licites d"un cube de Rubik, etXest l"ensemble
des configurations d"un cube de Rubik.Non-exemples :G=RetX=R2, avecg(x;y) = (x+g;y). Pourquoi?G=R2etX=R, avec(g1;g2)(x) =x+g1. Pourquoi?Damien THOMINEVecteurs16 avril 20217 /52
Analyse et synth
`ese : actions de groupesD´efinitions et exemples
Le probl
`emeSi l"on conna
ˆıtG, on peut facilement construire un espaceXqui convient. Ici, on a la situation inverse : on part de l"espaceX(le plan euclidien), et l"on construire le groupeG(l"espaceR2des vecteurs). Comment faire?M
´ethode 1 (alg´ebrique): d´efinir directementGcomme´etant les "bonnes" transformations deX. La loi de groupe est la composition.M ´ethode 2 (g´eom´etrique): si un tel groupeGexiste, pour tout couple(x;y)2X2, il existe un uniqueg2Gtel queg(x) =y. On pourrait poserg=yx1:= (x;y). Cependant, plusieurs couples(x;y)correspondent au mˆeme´el´ementg, donc on identifie des couples `a l"aide d"une relation d"´equivalence. Formellement, on passe au quotient :G'X2 =. L"information sur l"action est cach´ee dans la relation, qu"il faut d ´efinir`a la main.La loi de groupe est la concat´enation : pour tousx,y2X, on ae= [xx1],
[yx1]1= [xy1]et[zy1][yx1] = [zx1].Loi de Chasles .M ´ethode 3 (analytique): On part de l"intuition qu"il manque un´el´ement neutre 'aX. Fixonsx02X. Alors, pour toutx2X, il existe un uniqueg2Gtel quex=g(x0). On obtient donc une bijection entreXetG(qui d´epend dex0!). Il reste`a d´efinir`a la main la loi de groupe.On peut passer d"un point de vue `a un autre.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20218 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesD´efinitions et exemples
Exemple 1 : les translations du plan
Xest le plan euclidien.G'R2sera un espace vectoriel.M ´ethode 1: d´efinir le groupeGdes translations du plan euclidien. Un vecteur est une translation. La loi de groupe est la composition.M ´ethode 2: d´efinir une relation d"´equivalence sur les couples de points. La loi de groupe est la concat´enation.M
´ethode 3: fixer une origine. Tout point deXdevient un´el´ement d"un groupe, si l"on d ´efinit la bonne loi de groupe.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20219 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesD´efinitions et exemples
Exemple 2 : les entiers relatifs
On se donne une droite gradu
´ee et orient´ee.Xest l"ensemble des graduations.G'Z.M ´ethode 1: d´efinir le groupeGdes translations de la droite qui pr´esevent les graduations. Un entier relatif est une translation. La loi de groupe est la composition.M ´ethode 2: d´efinir une relation d"´equivalence sur les couples de points. La loi de groupe est la concat´enation.M
´ethode 3: fixer une origine. Toute graduation correspond alors`a un entier relatif.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202110 /52
Analyse et synth
`ese : actions de groupesD´efinitions et exemples
Exemple 3 : les angles orient
´es
Comment d
´efinir un angle orient´e? ici,Xest le cercle, ou de fac¸on´equivalente l"ensemble des directions (et sens) du plan.M ´ethode 1: un angle orient´e est une rotation vectorielle. Ajouter deux angles, c"est composer les rotations.M ´ethode 2: d´efinir une relation d"´equivalence sur les couples de directions. La loi de groupe est la concat´enation.M
´ethode 3: fixer une origine. Toute point du cercle correspond alors`a un angle orient ´e (cercle trigonom´etrique).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202111 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesComparaison des approches D´efinition alg´ebriqueDefinition
Un vecteur est une transformation du plan : une translation.Propri
´et´e-d´efinition: Pour tous pointsAetB, il existe une unique translation envoyantAsurB.Avantages:Pr
´esentation g´eom´etrique : lien avec les transformations du plan.Point de vue alg ´ebrique : composition de transformations, frises et pavages.Objet d´efini de fac¸on intrins`eque. Pas de d´ependance en fonction du rep`ere.Relation de Chasles explicite.
Inconv
´enients:Choix de d
´efintion non standard.Difficult
´es usuelles dans la manipulation des transformations du plan (obligation de les expliciter, d"expliciter leur propri´et´es...).Quelle d
´efinition pour la multiplication par un scalaire?Damien THOMINEVecteurs16 avril 202113 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesComparaison des approches D´efinition g´eom´etriqueDefinition
Un vecteur est une classe d"
´equivalence pour une relation d´equivalence sur les paires de points. D ´efinition(-propri´et´e?): un vecteur!ABest une quatit´e qui a une direction, une longueur et un sens. Deux vecteurs non nuls!AB,!CDsont´equivalents si et seulement si(AB)et(CD)sont parall`eles,AB=CDet(A;B),(C;D)sont dans le mˆeme sens.Avantages:Pr ´esentation g´eom´etrique intuitive, en lien avec la physique.Objet d´efini de fac¸on intrins`eque. Pas de d´ependance en fonction du rep`ere.Relation de Chasles explicite.
Multiplication par un scalaire intuitive.
Lien facile entre les notions d"alignement et de colin´earit´e.Inconv
´enients:Notion de sens difficile
`a formaliser.Obligation de manipuler des classes d" ´equivalence, sans pouvoir le mentionner.Choix du point de d´epart du vecteur.Point de base et sens g
´eom´etrique de la somme.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202114 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesComparaison des approches D´efinition analytiqueDefinition
On se place dans un rep
`ere. Les vecteurs ont eux aussi des coordonn´ees, que l"on peut manipuler directement.Avantages:Lien avec le sup´erieur et l"alg`ebre lin´eaire.G
´eom´etrie analytique.Sens intuitif aux op
´erations (somme, multiplication par un scalaire).Inconv´enients:L"objet (vecteur) et ses propri
´et´es (somme, colin´earit´es) sont-ils ind´ependants du rep `ere?Distinction entre point et vecteur moins nette.Perte de sens g
´eom´etrique des op´erations.Le lien entre propri ´et´es g´eom´etriques et coordonn´ees peutˆetre d´elicat (par exemple : lien entre colin ´earit´e et alignement).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202115 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesQue d´emontrer?
Introduction
Afin de comparer ces approches, nous allons r
´esumer avec chacune d"elle ce qu"il
faudrait d ´efinir ou d´emontrer pour d´efinir proprement les vecteurs, leur somme, la multiplication par un r ´eel, et le lien entre alignement et colin´earit´e.Il est ´evident qu"en pratique, il est impossible de d´emontrer toutes ces propri´et´es devant une classe. De plus, l"approche choisie en pratique est mixte.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202117 /52
Analyse et synth
`ese : actions de groupesQue d´emontrer?
D´efinition alg´ebrique´
Etant donn´es deux pointsAetB, d´efinition de la translation envoyantAsurB(ou translation de vecteur!AB). Attention : translation de vecteur nul, parall´elogrammes plats.Propri´et´e: unicit´e de la translation envoyantAsurB: si la translation de vecteur!CDenvoieAsurB, alors elle est la mˆeme transformation que la translation de
vecteur!AB.´El´ement neutre, inverse.Propri
´et´e: la compos´ee de deux translations est une translation.Multiplication par un scalaire : d
´efinition.Alignement de points et colin
´earit´e.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202118 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesQue d´emontrer?
D´efinition g´eom´etrique´
Etant donn´es deux pointsAetB, d´efinition du vecteur!AB.On a en fait d ´efini une relation d"´equivalence (r´eflexive, sym´etrique, transitive).Propri ´et´e: pour tout pointAet tout vecteur!CD, il existe un unique pointBtel que!AB=!CD.D´efinition:!AB+!BC=!AC.Propri
´et´e: la somme ainsi d´efinie ne d´epend pas du point de baseA.Multiplication par un scalaire : d
´efinition (facile!).Alignement de points et colin ´earit´e (facile!).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202119 /52Analyse et synth
`ese : actions de groupesQue d´emontrer?
D´efinition analytiqueD
´efinition des coordonn´ees d"un point. Existence et unicit´e de ces coordonn´ees.D ´efinition des coordonn´ees d"un vecteur. Si l"on dispose de la d´efinition g ´eom´etrique du vecteur :ind´ependance de ces coordonn´ees en fonction du repr ´esentant.Somme, multiplication par un scalaire : d´efinitions (facile!).Somme, multiplication par un scalaire :ind´ependance de ces op´erations en
fonction du repr´esentantAlignement de points et colin
´earit´e (difficile!).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202120 /52Les vecteurs par la relation d"
´equivalenceVecteurs : une d
´efinition
Informellement, un vecteur est d
´efini par :sa direction (la droite par laquelle il est port ´e);son sens (son orientation le long de la drotie); sa longueur.Formellement, on identifie les couples de points(A;B)et(C;D)tels que :les droites(AB)et(CD)sont parall`eles;(A;B)et(C;D)sont dans le mˆeme sens;AB=CD...
... siA6=BetC6=D. On d´efinit`a par le vecteur nul. On note la classe d"´equivalence!AB=!CD.Proposition: On d´efinit ainsi une relation d"´equivalence.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202121 /52
Les vecteurs par la relation d"
´equivalenceVecteurs : une autre d
´efinition
Plus souvent, on rencontre par exemple :Definition (D´efinition-Propri´et´e)Un vecteur
!ABest une quatit´e qui a une direction, une longueur et un sens. Deux vecteurs non nuls!AB,!CDsont´equivalents si et seulement si(AB)et(CD)sont parall `eles,AB=CDet les paires de points(A;B)et(C;D)sont dans le mˆeme sens.Quelle est la d ´efinition? Quelle est la propri´et´e?Quel est l"int ´erˆet de cette approche?Damien THOMINEVecteurs16 avril 202122 /52Les vecteurs par la relation d"
´equivalenceSomme de vecteurs
La somme de vecteurs est d
´efinie par leur concat´enation (relation de Chasles).Informellement,!AB+!BC=!AC.Formellement : soient
!u,!vdeux vecteurs, etAun point du plan.SoitBtel que!AB=!u.
quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] LES VECTEURS (alignement de points)
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[PDF] LES VECTEURS (exercice basique)
[PDF] Les Vecteurs (pour demain)
[PDF] Les vecteurs (premieres s )
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[PDF] Les vecteurs , démonstration des droites parallèles
[PDF] Les vecteurs , translation
[PDF] Les vecteurs - démontrer sans repere
[PDF] Les Vecteurs - Devoirs Maison URGENT (un exercice) - Je but sur une question, la première qui semble facile
[PDF] Les vecteurs -_-
[PDF] Les vecteurs 1ère s
[PDF] Les vecteurs 2nd
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