PRODUIT SCALAIRE PDF

COURS PREMIÈRE S LES VECTEURS

Définition : Un vecteur est défini par une direction un sens et une longueur (norme) : le vecteur ?u a la direction de la droite (AB)

Première S Cours vecteurs et droites 1 I Colinéarité de deux

Remarque : un vecteur directeur d'une droite ne peut pas être nul car les points A et B sont distincts. Propriété 4. Démonstration. Une droite de vecteur

PRODUIT SCALAIRE

- Admis -. Page 3. 3. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 5) Identités remarquables. Propriétés : Pour tous vecteurs u ! et v ! on a

Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices

Composantes d'un vecteur suivant les coordonnées cartésiennes. Il s'agit d'étudier le mouvement des corps matériels en fonction du.

Première S - Colinéarité de deux vecteurs

Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs. Exemples : a) ( 2 ; – 3 ) et ( 10 ; – 15 ) sont colinéaires en effet 10

Première S - Equations cartésiennes dune droite

Toute droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Remarque : Soit un vecteur directeur de la droite (d).Tout vecteur non nul et colinéaire au vecteur

Espaces vectoriels

Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs de sorte que l'on puisse additionner (et L'élément neutre 0E s'appelle aussi le vecteur nul.

Espaces vectoriels

Si ces vecteurs sont dépendants en extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace. Allez à : Correction exercice 6. Exercice 7.

Espaces vectoriels

Exercice 8. Soit E le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs v1 = (23

Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE

On pourra rajouter des projetés orthogonaux sur le dessin pour s'aider. Exercice 4 : déterminer une valeur en radian de l'angle de vecteurs ( +?; ...

1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur

u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v

×cosu

;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

=a×a×cos60° =a 2

×0,5

a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0

est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur

u et v , on a : u .v =v .u

Démonstration : On suppose que

u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v

×cosu

;v =v ×u

×cosu

;v =v ×u

×cos-v

;u =v ×u

×cosv

;u =v .u

4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs

u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs

u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2

Démonstration pour le 2) :

u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur

u , on a : u .u =u ×u

×cosu

;u =u 2

×cos0=u

2 et u .u =u 2

On a ainsi :

u 2 =u .u =u 2

Propriété : Soit

u et v deux vecteurs. On a : u .v 1quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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×cosu

×AC

×cosBAC

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

×AC

×cosBAC

×0,5

Démonstration : On suppose que

×cosu

×cosu

×cos-v

×cosv

4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs

Démonstration pour le 2) :

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur

×cosu

×cos0=u

On a ainsi :

Propriété : Soit