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On dira aussi que la série converge simplement (CS) si elle converge mais pas absolument. On peut définir de même la notion de convergence de la série

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RECHERCHE SCIENTIFIQUE

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Cours Mathématiques 3, 2 année LMD-Sciences et Techniques avec les ...ches TD corrigées

Par: Beddani Abdallah

Djebar Samir

baddanixabd@yahoo.fr

Ce travail pour mes étudiants(e)

Départements - Génie Mécanique

- Génie Electrique - Génie Civile - Génie Procédés

2017/2018

Table des matières

1 Intégrales simples et multiples 3

1.1 Rappels sur l"intégrale de Riemann et sur le calcul de primitives . . . . . 3

1.1.1 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Propriétés de l"intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Calcul de primitives ( Intégrale indé...nie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Intégration par parties -Changement de variable . . . . . . . . . 8

1.3 Intégrale doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.3 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.4 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Application au calcul d"aires, de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Calcul l"aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2 Calcul de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Intégrale impropres 16

2.1 Intégrales impropres de fonctions dé...nies sur un intervalle non borné . . 16

2.1.1 Intégrale impropre de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Intégrales impropres de fonctions dé...nies sur un intervalle borné . . . . . 18

2.2.1 Intégrale absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Equation aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Dérivées d"une fonction composées de deux variables . . . . . . . 30

3.3.5 Facteur intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.6 Détermination de facteur intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Séries numériques 39

4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 Séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.2 Reste d"une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Bibliographie 59

Chapitre 1

Intégrales simples et multiples

1.1 Rappels sur l"intégrale de Riemann et sur le cal-

cul de primitives Soitfune fonction dé...nie sur[a;b], tel que pour toutx2[a;b]; f(x)0:

1.1.1 Intégrale de Riemann

On appelle subdivision4de l"intervalle[a;b]un ensemble ...ni den+1réelsfxp2[a;b]=0png; avecx0=a;xn=b;8p;xpxp+1: (4) = max0pn1(xp+1xp)s"appelle le "pas" de4: Dé...nition 1.1.1On considère une subdivision4sur[a;b]et on choisiti2[xi;xi+1[;on appelle somme de riemann relative a la subdivision4au choix des= (i)0in1la somme:

R(f;4;) =n1P

i=0f(i)(xi+1xi) 3

Géométriquement

Dé...nition 1.1.2On dit la fonctionfest intégrable au sens de Riemann silim(4)!0R(f;4;) =

Iest ...nie8;

I=bR af(x)dx=bR af

Exemple 1.1.3

xi=in;i= 0;:::;nest une subdivision de l"intervalle[0;1] f(x) =xsur l"intervalle[0;1];on a (xi+1xi) =1n;8i= 0;:::;n la somme n1P i=0in i+ 1nin =n1P i=0in2=n(n1)2n2; est une somme de Riemann da la fonctionf(x) =xsur l"intervalle[0;1]: 4

1.1.2 Sommes de Darboux

Dé...nition 1.1.4On considère une subdivision4sur[a;b]et on choisitIi+[xi;xi+1[;on choisit m i= infx2[xi;xi+1[jf(x)j M i= sup x2[xi;xi+1[jf(x)j

Les deux sommes suivantes

S(f;4) =n1P

i=0M i(xp+1xp) s(f;4) =n1P i=0m i(xp+1xp) appelées respectivement sommes de Darboux inférieure et supérieure.

Théorème 1.1.5Silim

(4)!+1S(f;4) = lim (4)!+1s(f;4)alorsfest intégrable en sens de Riemann. Proposition 1.1.6Toute fonction continue sur un intervalle I est une fonction inté- grable en sens de Riemann sur I.

Exemple 1.1.7

xi=in;i= 0;:::;nest une subdivision de l"intervalle[0;1] f(x) =xsur l"intervalle[0;1];on a (xi+1xi) =1n;8i= 0;:::;n m i= inf x2[xi;xi+1[jf(x)j=in M i= sup x2[xi;xi+1[jf(x)j=i+ 1n 5 on calcule les deux sommes de Darboux

S(f;4) =n1P

i=0M i(xp+1xp) =n1P i=0i+ 1n2=n(n+ 1)2n2 s(f;4) =n1P i=0m i(xp+1xp) =n1P i=0in2=n(n1)2n2

On remarque quelimn!+1S(f;4) = limn!+1s(f;4) =12

donc f est intégrable en sens de Riemann.

1.1.3 Propriétés de l"intégrale de Riemann

Soientfetgdeux fonctions,2Reta;b;c2R(acb)on a:

1) Si la fonctionfintégrable sur les intervalles[a;c]et[c;b]elle est intégrable sur

l"intervalle[a;b]et on a b R af(x)dx=cR af(x) +bR cf(x)dx

2) Si la fonctionfest intégrable sur l"intervalle[a;b]etf0alors

b R af(x)dx0

3) Si les fonctionsfest intégrable sur l"intervalle[a;b]et2Ralors la fonctionf

est intégrable sur l"intervalle[a;b] b R af(x)dx=bR af(x)dx

4) Si les fonctionsfetgsont intégrables sur l"intervalle[a;b]

b R a(f(x) +g(x))dx=bR af(x) +bR ag(x)dx

Soitfune fonction intégrable sur[a;b]

Valeur moyenne

On appelle moyen defdans[a;b]le nombrem=1bab

R af(x)dx: Exemple 1.1.8On calcule le moyen des carrés des réels copmris entre 0 et 1. 1R

0x2dx=1R

0mdx=)m=13

Valeur e¢ cace

On appelle valeur e¢ cace defdans[a;b]le nombrevtel quev2=1bab R a(f(x))2dx: Exemple 1.1.9On calcule la valeur e¢ cace de la fonctionf(x) =pxdans[0;1] 1R

0xdx=1R

0v2dx=)v=1p2:

1.2 Calcul de primitives ( Intégrale indé...nie)

Dé...nition 1.2.1Soitfune fonction continue sur I. On dit queF:I!Rest une primitive defsurIssi la dérivée deFdonnef (F0=f). On prend alors l"habitude de noter toute primitive de f sous forme

F(x) =Z

f(x)dx et s"appelle aussi intégrale indé...nie def. Remarque 1.2.2La primitive d"une fonction s"il existe n"a pas unique. Exemple 1.2.31. Soitf:R!Rdé...nie parf(x) =x. AlorsF:R!Rdé...nie par

F(x) =x22est une primitive de f,

aussi la fonction dé...nie parF(x) =x22+ 2est une primitive de f . 7

1.2.1 Primitives des fonctions usuelles

La fonctionfLa primitive defdé...nie par:(k2R)l"intervalle I f(x) =c F(x) =cx+kR f(x) =x;2Rf1gF(x) =1+1x+1+kR=f0gsi1 Rsi1 f(x) =1xF(x) =Injxj+k]1;0[ou]0;+1[ f(x) =exF(x) =ex+kR f(x) = sinx F(x) =cosx+kR f(x) = cosx F(x) = sinx+kR Proposition 1.2.4Soient f et g deux fonctions continues et2Ron a: Z f(x) +g(x)dx=Z f(x) +Z g(x)dx;Z f(x)dx=Z f(x)dx:

1.2.2 Intégration par parties -Changement de variable

Intégration par parties

Théorème 1.2.5Soientuetvdeux fonctions dérivables. On a Z u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)Z u

0(x)v(x)dx

Preuve.On a(u(x)v(x))0=u0(x)v(x) +u(x)v0(x)

alorsZ (u(x)v(x))0dx=Z u

0(x)v(x)dx+Z

u(x)v0(x)dx donc u(x)v(x) =Z u

0(x)v(x)dx+Z

u(x)v0(x)dx c"est à dire Z u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)Z u

0(x)v(x)dx

Exemple 1.2.6calculonsZ

x 2exdx On a Z x

2exdx=x2exZ

2xexdx=Z

2exdx=x2ex2Z

xe xdx Z xe xdx=xexZ e xdx=xexexdx alorsZ x

2exdx=x2ex2Z

xe xdx=x2ex2xex+ 2ex+c;c2R

Changement de variable

Théorème 1.2.7Soientuune fonction dérivable etfune fonction continue avec

F(x) =Z

f(x)dx On a Z u

0f(u)dx=Z

f(u)du=F(u)

Exemple 1.2.8Calculons la primitive

K(x) =Z

tanxdx=Zsinxcosxdx: on choisitu(x) = cosx;f(x) =1x;u0(x) =sinx;F(x) =Injxj+c;c2R: R sinxcosxdx=Z u

0f(u)dx=Z

f(u)du=F(u) =lnjcosxj+c;c2R:

K(x) =Zsinxcosxdx=lnjcosxj+c;c2R:

1.3 Intégrale doubles

Soitf:D!Rune fonction dé...nie sur un domaineDR2 L"intégrale surDdef:D!R, s"appelle une intégrale double, on la noteRR Df= RR

Df(x;y)dxdy:

1.3.1 Théorème de Fubini

Théorème 1.3.1Soitf:D!Rune fonction continue.

1) Cas oùD= [a;b][c;d]; abetcd, on a:

Df(x;y)dxdy=bR

a dR cf(x;y)dy dx=dR c bR af(x;y)dx dy:

2)Cas oùD=f(x;y)2R2;axb;u(x)yv(x)g;oùu;v: [a;b]!Rsont

continues, alors: RR

Df(x;y)dxdy=bR

a" v(x)R u(x)f(x;y)dy# dx Proposition 1.3.2Sif(x;y) =g(x)h(y)avecD= [a;b][c;d]; abetcd, on a: RR

Df(x;y)dxdy=

bR ag(x)dx dR ch(y)dy

Exemple 1.3.3On calculeI=RR

D(xy)dxdy;oùD= [1;2][3;5]

I= 2R 1xdx 5R 3ydy

32162= 12:

Exemple 1.3.4On calculeI=RR

Ddxdy;oùD=f(x;y)2R2;0x1;0y

1xg RR

Ddxdy=1R

0 1xR 0dy dx=1R

0(1x)dx=12

1.3.2 Changement de variable

SoientUetVdeux ouverts deR2et

':U!V (u;v)!(x;y) 10 une application de classeC1;et4 UetDV

La matrice jacobien de'estj(') =0

@x@u@x@v @y@u@y@v1 A det(j(')) = @x@u@x@v @y@u@y@v

Si'(4) =D, on obtient:

Df(x;y)dxdy=RR

4f('(u;v))det(j('))dudv

1.3.3 Coordonnées polaires

': (r;)!(x;y) = (rcos;rsin)

La matrice jacobien de'estD(x;y)D(r;)=0

cosrsin sin rcos1 A et

D(x;y)D(r;)=r

Si'(4) =D, on obtient:

Df(x;y)dxdy=RR

4f(rcos;rsin)jrjdrd

Exemple 1.3.5On calculeI=RR

D11 +x2+y2dxdyoùD=f(x;y)=x2+y21g

et4=f(r;)=0r1et02g I=RR

D11 +x2+y2dxdy=RR

4r1 +r2drd=ln2

1.4 Intégrales triples

Soitf:D!Rune fonction dé...nie sur un domaineDR3 L"intégrale surDdef:D!R, s"appelle une intégrale double, on la noteRRR Df= RRR

Df(x;y;z)dxdydz:

1.4.1 Théorème de Fubini

Théorème 1.4.1Soitf:D!Rune fonction continue.

1) Cas oùD= [a;b][c;d][s;t]; ab,cdetst, on a:

RRR

Df(x;y;z)dxdydz=bR

a dR cf(x;y)dy dx=bR a dR c tR sf(x;y;z)dz dy dx:quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Par: Beddani Abdallah

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Ce travail pour mes étudiants(e)

Départements - Génie Mécanique

2017/2018

Table des matières

1 Intégrales simples et multiples 3

1.1 Rappels sur l"intégrale de Riemann et sur le calcul de primitives . . . . . 3

1.1.1 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Propriétés de l"intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Calcul de primitives ( Intégrale indé...nie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Intégration par parties -Changement de variable . . . . . . . . . 8

1.3 Intégrale doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.3 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.4 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Application au calcul d"aires, de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Calcul l"aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2 Calcul de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Intégrale impropres 16

2.1 Intégrales impropres de fonctions dé...nies sur un intervalle non borné . . 16

2.1.1 Intégrale impropre de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Intégrales impropres de fonctions dé...nies sur un intervalle borné . . . . . 18

2.2.1 Intégrale absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Equation aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Dérivées d"une fonction composées de deux variables . . . . . . . 30

3.3.5 Facteur intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.6 Détermination de facteur intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Séries numériques 39

4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 Séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.2 Reste d"une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Bibliographie 59

Chapitre 1

Intégrales simples et multiples

1.1 Rappels sur l"intégrale de Riemann et sur le cal-

1.1.1 Intégrale de Riemann

R(f;4;) =n1P

Géométriquement

Iest ...nie8;

Exemple 1.1.3

1.1.2 Sommes de Darboux

Les deux sommes suivantes

S(f;4) =n1P

Théorème 1.1.5Silim

Exemple 1.1.7

S(f;4) =n1P

On remarque quelimn!+1S(f;4) = limn!+1s(f;4) =12

1.1.3 Propriétés de l"intégrale de Riemann

Soientfetgdeux fonctions,2Reta;b;c2R(acb)on a:

1) Si la fonctionfintégrable sur les intervalles[a;c]et[c;b]elle est intégrable sur

2) Si la fonctionfest intégrable sur l"intervalle[a;b]etf0alors

3) Si les fonctionsfest intégrable sur l"intervalle[a;b]et2Ralors la fonctionf

4) Si les fonctionsfetgsont intégrables sur l"intervalle[a;b]

Soitfune fonction intégrable sur[a;b]

Valeur moyenne

On appelle moyen defdans[a;b]le nombrem=1bab

0x2dx=1R

0mdx=)m=13

Valeur e¢ cace

0xdx=1R

0v2dx=)v=1p2:

1.2 Calcul de primitives ( Intégrale indé...nie)

F(x) =Z

F(x) =x22est une primitive de f,

1.2.1 Primitives des fonctions usuelles

1.2.2 Intégration par parties -Changement de variable

Intégration par parties