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UNIVERSITÉ MOHAMED KHIDER, BISKRA
FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIEDÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
Mémoire présenté en vue de l"obtention du Diplôme:MASTER en Mathématiques
Option :Analyse
ParGAANI KHERKHACHE Salsabil
Titre :
Problème de transport
Membres du Comité d"Examen :
Dr.LAIADI AbedelkaderUMKB Président
Dr.RAHMANI NacerUMKB Encadreur
Dr.GUIDAD DaradjiUMKB Examinateur
Juin 2019
Dédicace
Je dédie ce modeste travail à :
Ma tendre mère qui m"encourager par sa présence, ses paroles,et m"a enseigné la patience. Mon chère père qui m"a inculqué la discipline, les valeurs de la réussite et du respect d"autrui. À le symbole de douceur, de tendresse, d"amour : ma grand mèreHafsa. À mes chères soeursFifi,HadiletZahrapour lesquelles je souhaite de brillantesétudes et un avenir prometteur.
Ma chère soeur "Daya", je te souhaite la succés et du bonheur. À mes frèresMarouan,Mostapha,Samo,NasroetBahi, qui sont toujours derrière moi. Mes tantesMadjda,Hassina,Hanenet mon oncleAbdelrahmanpour leurs soutien moral et ...nancier.À mes chers amis et camarades.
À vous tous je dis merci.i
REMERCIEMENTS
Je remercie d"abord et avant tout mon dieu qui m"a donné la vie, la force et le courage, ainsi que la patience pour réaliser ce travail. Je tiens à remercier sincèrement mon encadreur :Dr:RAHMANI Nacerpour sadisponibilité, sa patience, et ses judicieuses orientations, qui ont contribué à alimenter mon
réexion. Je tiens également à remercier les membres du juryDr:LAIADI Abedelkaderet Dr:GUIDAD Daradjiqui ont accepté de juger ce travail, et d"avoir consacrer leurs temps pour sa lecture. Je tiens également à remercier l"ensemble des enseignants du département de mathématiques, qui a contribué à ma formation et surtout auDr:MOKHTARI ZohirEn...n, je tiens à remercier toutes les personnes qui m"on encouragés pendant la réalisation
de ce travail, famille, collègues et amis, sans exception.Merci à tous.ii
Table des matières
Dédicacei
Remerciements ii
Table des matières iii
Liste des ...gures vi
Liste des tableaux vii
Introduction 1
1Programmation linéaire3
1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.1.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.1.2 Solution d"un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1.3 Exemple d"un programme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2 Forme standard et forme canonique d"un programme linéaire . . . . . . . . .6
1.3 Forme matricielle classique et interprétation économique . . . . . . . . . . .6
1.3.1 Forme matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.3.2 Interprétation économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.4 Les méthode de résolution d"un programme linéaire . . . . . . . . . . . . . .8
1.4.1 Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.4.2 La méthode de simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
iii1.5 La dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.5.1 Problème dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.5.2 Relation primal/dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.5.3 Interprétation économique de la dualité . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2Le problème de transport17
2.1 Positionnement de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.2 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.2.1 Variables de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2.2 Fonction Objective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2.3 Les contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2.4 Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.3 Propriétés de la matriceA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.4 Problème de transport non équilibré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.5 Dual du problème de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.6 Tableau de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.7 Réseau de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.8 Dégénérescence en problème de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3Résolution du problème de transport29
3.1 Structure de la résolution de problème de transport . . . . . . . . . . . . . .29
3.1.1 Solution de base réalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
3.1.2 Solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
3.1.3 Organigramme de résolution pour le problème de transport . . . . . .30
3.1.4 Algorithme général de résolution de problème de transport . . . . . .31
3.2 Méthodes de détermination de solution de base initiale . . . . . . . . . . . .32
3.2.1 Méthode du Coin Nord-Ouest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
3.2.2 Méthode de Coût minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3.3 Méthode d"optimisation de la solution de base . . . . . . . . . . . . . . . . .34
ivTable des matières
3.3.1 Méthode de Stepping-Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
3.3.2 Méthode de Distribution Modi...ée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
3.4 Partie pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Conclusion48
Bibliographie 49v
Table des ...gures
1.1 Représentation de la première contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.3 Résolution graphique du problème (le polygone) . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.1 Tableau de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.2 Réseau de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3.1 Organigrame de résolution le problème de transport . . . . . . . . . . . . . .30
3.2 Tableau aprés l"itération 1 du Coin nord-west . . . . . . . . . . . . . . . . .37
3.3 Tableau aprés l"itération 2 du Coin nord-west . . . . . . . . . . . . . . . . .37
3.4 Tableau aprés l"itération 3 du Coin nord-west . . . . . . . . . . . . . . . . .38
3.5 Tableau aprés l"itération 4 du Coin nord-west . . . . . . . . . . . . . . . . .39
3.6 Tableau aprés l"itération 1 du matrice minimale . . . . . . . . . . . . . . . .40
3.7 Tableau aprés l"itération 2 du matrice minimale . . . . . . . . . . . . . . . .41
3.8 Tableau aprés l"itération 3 du matrice minimale . . . . . . . . . . . . . . . .41
3.9 Tableau aprés l"itération 4 du matrice minimale . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.10 Tableau de la solution intiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
3.11 tableau après le changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
viListe des tableaux
2.1 Disponibilités des usines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.2 Coûts d"expédition (en francs par caisse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.1 problème initiale de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
3.2 Solution réalisable de base initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
3.3 Tableau après la première itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
viiIntroduction
Depuis le début 1980,HERBERT Simon a¢ rmait que :"dans la socité post-industrielle, le problème central n"est plus de savoir comment organiser e¢ cacement la production, maisde savoir comment d"organiser pour prendre des décisions, c"est à dire traiter l"information» .
L"optimisation est un outil dans la science de décision et dans l"analyse des systèmes phy- siques. A...n de l"utiliser, nous devons d"abord identi...er un objectif. Ceci est une mesurequantitative de la performance du système. Cet objectif pouvvant être : béné...ce, temps,
énergie potentielle. L"objectif dépend de certains caractéristique du système appelées des
variables ou des inconnes. Le but est de trouver des valeurs de variables qui optimisent l"objectif. Souvent les variablessont restreintes, ou contraintes, d"une certaine manière la densité l"énergie ou le taux d"intérêt
ne pouvent pas être négatifs. On appelle programmation, le problème mathématique qui consiste à optimise (maximise ou minimise) une fonction linéaire de plusieurs variables qui sont relieés par des relations appelleés contraintes. La programmation linéaire a un champ d"application trés vaste : de l"indistre du pétrole au compagnies de transport.Ce baisse des coûts des matrieles informatiques aux performances des logiciels disponibles. Le problème de transport est depuis longtemps un sujet d"intérêt majeur dans le domainede l"indistrie et le domaine de ...nancé. Dans ce cadre plusieurs méthode et modèles ont été
proposés pour réduire le charge de calculeet linéariser le problème de choix optimal. Tout les
modèles ne permettent pas de calculer de manière explicite la perte que poura subir. Nous proposons une approche s"appelle méthode de Coût minimum pour déterminé la solution de1Introduction
base réalisable en fonction des coûts.Ce mémoire est devisé en trois chapitre :
Dans le premier chapitre, nous rappelons les concepts de base de la programmation linéaire et les méthodes de résolution d"un programme linéaire comme la méthode de simplexe et la résolution graphique. Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté les concepts de base sur le problème de transport. Dans la troisième chapitre est consacré a la résolution du problème de transport par la méthode de détermination de solution de base initiale et les méthodes d"optimisation de la solution de base.2Chapitre 1
Programmation linéaire
1.1 Notions de base
La programmation linéaire est un outil trés puissant de la recherche opérationnelle.c"est un
outil générique qui peut résoudre un grand nombre de problème. En mathématiques, les problèmes de programmation linéaire(PL) sont des problèmes d"op- timisation (maximisation ou minimisation) de fonction à objectif linéaire sous des contraintes ayant la forme d"inéquation linéaire.1.1.1 Modélisation
La modélisation d"un problème de programmation linéaire consiste a identi...er :-Variable de décision :une variable de décision est toute quatité utilise à la résolution
du problème, et dont on doit determiner la valeur. On notexjles variable de décision avecj= 1;:::;n-La fonction objectif :On appelle fonction objectif l"expression qui modélise la quantité
à optimiser en fonction des variable du problème z=nX j=1c jxj=c1x1+c2x2+:::+cnxn c j: c"est le coe¢ cient de contribution de la variablexjdans la fonction objectif.3Chapitre 1.Programmation linéaire
-Les contraintes :On appelle contrainte toute relation limitant le choix des valeurs pos- sibles pour une variable n X j=1a ijxj;=;bii= 1;:::;m les nombreaijetbides constantes réelles etmle nombre des contraintes. Laforme plus général d"un problème de programmation linéaire que nous neterons (PL) est suivante : optimise z=Pn j=1cjxj sous contraintes Pn j=1aijxj;=;bii= 1;:::;m x j0j= 1;:::;n1.1.2 Solution d"un problèmeDé...nition 1.1(Région réalisable)Ensemble des points qui satisfont aux contraintes du
problème.[7]X=fx2Rn:Axb;x0gDé...nition 1.2(Solution admissible ou réalisable)Une solution est réalisable si les
valeurs numériquesx1;:::;xnsatisfont à l"ensemble des contraintes du problème.[7] x2XDé...nition 1.3(Solution optimale)Une solution réalisablexest optimale si la valeur qu"elle donne à la fonction coût (objectif) estaux valeurs données par les autres solutions réalisables.(Pas nécessairement unique).[7]1.1.3 Exemple d"un programme linéaire
Une usine fabrique deux produitsA1etA2à l"aide de trois matières premièresB1;B2etB3dont on dispose en quantité limitée. On se pose le problème de l"utilisation optimale de ce4
Chapitre 1.Programmation linéaire
stock de matières premières c"est-à-dire la détermination d"un schéma, d"un programme de
fabrication tel que :[9]-les contraintes de ressources en matières premières soient respectées.
-le béné...ce réalisé par la vente de la production soit maximum.Modèle mathématique :-Données numériques des contraintes. La disponibilité en matières premières est de18unités
deB1,8unités deB2et14unités deB3.-Caractéristiques de fabrication. Elles sont données dans le tableau ci-dessous :
B 1B 2B 3A 1112A 2311
-Hypothèses de linéarité du modèle. La fabrication est à rendement constant, c"est-à-dire
que pour fabriquerx1unités deA1, il faut1x1unités deB1;1x1unités deB2et2x1unités deB3;de même pour la fabrication dex2unités deA2.-Linéarité de la fonction économique. On suppose que le béné...ce peut s"exprimer à l"aide
des béné...ces unitairesc1;c2sous la forme :Z(x1;x2) =c1x1+c2x2-Réalisation d"un schéma de production. Un schéma de production est un couple(x1;x2);x1
etx2désignant respectivement les quantités deA1etA2fabriquées donc vendues, qui doit véri...er les contraintesx10;x20:Deux questions se posent : un tel schéma est-ilréalisable?A-t-on su¢ samment de matières premières pour assurer une telle production?-Le programme linéaire :
8 >>>>>>>>>:Z(x1;x2) =c1x1+c2x2 x10;x20
x1+ 3x218
x 1+x282x1+x2145
Chapitre 1.Programmation linéaire
oùZest une fonction économique ou fonction objectif qu"il faut maximiser.1.2 Forme standard et forme canonique d"un programme
linéaireDé...nition 1.4(forme canonique) Un programme linéaire est sous forme canonique lorsque
toutes ses contraintes sont des inégalités et toute ses variable sont non-négative.[4] max Pn j=1cjxj sous Pn j=1aijxjbi x j0Dé...nition 1.5(forme standard) Un programme linéaire est sous forme standard lorsque toutes ses contraintes sont des égalités et toute ses variable sont non-négatives.[4] max Pn j=1cjxj sous Pn j=1aijxj=bi x j01.3 Forme matricielle classique et interprétation éco-
nomique1.3.1 Forme matricielle
Forme canonique : Forme standard :
8>>>><
>>>:Max z=cTx Axb x08 >>>:Max z=cTx Ax=b x0 oùx2Rnle vecteur des variables,c2Rnle vecteur coût ou pro...t associé aux variables, b2Rmle second membre des contraintes etA2Rnm.[4]6Chapitre 1.Programmation linéaire
Proposition 1.1Chaque programme linéaire en forme standard s"écrit en forme canonique et inversement.[11]Proof.a)Axb;x0(forme canonique),
Pn j=1aijxjbii= 1;:::;m, Pn j=1aijxj+ei=bio¼uei=biPn j=1aijxj0e i:variable d"´ecart.SoitIm=0 BBBB@1 0
0 11 CCCCAla matrice d"identité d"ordrem,e=0
B BBB@e 1 e m1 CCCCAle vecteur d"´ecart.AlorsAxb;x0,(A;Im)0
B @x e1 C A=b;0 B @x e1 CA0(forme standard).Posonsz(x;e) =c0
B @x e1 CA,o¼uc= (c;0) = (c1;:::;cn;0;:::;0|{z}
mfois):b)Ax=b(forme standard)() AxbAxb()Ax < b
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] exos corrigés problème d'affectation recherche opérationnelle
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