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Cours 09 - Fonctions de référence Page 1 sur 6

Seconde - Lycée Desfontaines - Melle

Cours 09 - Les fonctions de référence

I. Fonctions affines

1. Définition :

On appelle fonction affine toute fonction f définie sur IR par f(x)=mx+p où m et p sont des réels donnés.

Exemples :

Parmi les fonctions suivantes, entourer celles qui sont affines : f : x→ 2x

2-3 ; f : x→ -5x+2 ; f : x→ 3x-7 ; f : x→ 2×x+9 ;

f : x→ 3x ; f : x→ 7× 1 x -5 ; f : x→ -4

2. Représentation graphique :

Rappel : La représentation graphique d'une fonction f dans un repère ( )O;Åi;Åj est l'ensemble des points de coordonnées (x;y) tels

que y=f(x). On dit alors que la représentation graphique de f admet pour équation y=f(x). Soit f une fonction affine définie par f(x)=mx+p. La représentation graphique de f dans un repère ( )O;Åi;Åj est donc l'ensemble des points de coordonnées (x;y) tels que y=f(x) càd tels que y=mx+p.

Le "cours 07 - droites" nous permet donc de conclure que la représentation graphique de f est une droite non parallèle à

l'axe des ordonnées et que les droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont les représentations graphiques des

fonctions affines. En conclusion : soit f une fonction. Pour m et p deux réels donnés : Dire que f est une fonction affine revient à dire que f est représentée par définie par f(x)=mx+p la droite d'équation y=mx+p

3. Cas particuliers :

Soit une fonction affine f définie sur IR par f(x)=mx+p. ° Lorsque m = 0 alors f(x)=p pour tout x réel.

On dit que f est une fonction constante.

Sa représentation graphique est la droite d'équation y=p.

Elle est parallèle à l'axe des abscisses.

° Lorsque p = 0 alors f(x)=mx pour tout x réel.

On dit que f est une fonction linéaire.

Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. i→ j→

Oi→

j→ O y=mx i→ j→

0i→

j→ Y = p Cours 09 - Fonctions de référence Page 2 sur 6

4. Caractérisation d'une fonction affine :

a. Théorème caractéristique d'une fonction affine.

Théorème 1 : Si une fonction est affine alors l'accroissement de l'image est proportionnel à l'accroissement de la variable

et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient directeur càd si f(x)=mx+p alors pour tout x1 ? IR et tout x2 ? IR avec x1Þx2, on a : accroissement de l'image f( )x1-f( )x2 x1-x2 =m accroissement de la variable Démonstration : f une fonction affine définie sur IR par f(x)=mx+p.

Soient x

1 et x2 deux réels distincts alors : f( )x1-f( )x2=[ ]mx1+p-[ ]mx2+p=m( )x1-x2

On déduit donc que f

( )x1-f( )x2 (accroisst de l'image) est bien proportionnel à x1-x2 (accroisst de la variable) et le coefficient de proportionnalité est bien le coefficient directeur m.

Théorème 2 (réciproque) : Soit f une fonction définie sur Ë. Si l'accroissement de l'image est proportionnel à

l'accroissement de la variable, alors cette fonction est affine.

Démonstration :

Soit f une fonction définie sur IR telle qu'il existe un réel m tel que pour tous réels x

1 et x2 distincts, on a :

f( )x1-f( )x2 x1-x2 =m

Alors pour tout réel x ≠ 0, on obtient :

f(x)-f(0) x-0 =m donc f(x)-f(0)=mx.

D'où : f(x)=mx+f(0)=mx+p en posant f(0) = p. La relation f(x)=mx+p est donc également vraie pour

x=0. On déduit donc que f est une fonction affine.

Conséquence : Les fonctions affines sont les seules fonctions dont l'accroissement de l'image soit proportionnel à

l'accroissement de la variable. b. Application : Comment déterminer le coefficient directeur m ? :

5. Sens de variation :

Théorème 3 : Soit f une fonction affine définie par f(x)=mx+p. ° Si m > 0 alors f est strictement croissante sur IR ° Si m< 0 alors f est strictement décroissante sur IR.

° Si m = 0 alors f est constante sur IR

Démonstration :

Soient x

1 et x2 deux réels tels que x1 f ( )x1-f( )x2=[ ]mx1+p-[ ]mx2+p=mx1-mx2=m( )x1-x2. Or x1° Si m > 0 alors f

( )x1-f( )x2<0 (produit de deux facteurs de signes contraires), et donc f est strictement croissante sur IR.

° Si m < 0 alors f

( )x1-f( )x2>0 (produit de deux facteurs de même signe), et donc f est strictement décroissante sur IR.

° Si m = 0 alors f

( )x1-f( )x2=0 (produit par zéro), et donc f est constante sur IR. A B

OI→

J→

A B

OI→

J→

Soit f une fonction affine définie sur IR par f(x)=mx+p et soit la représentation graphique de f dans un repère. Soient A( )xA;yA et B( )xB;yB deux points distincts de Ι.

Alors : m= f( )xB-f( )xA

xB-xA = yB-yA xB-xA xB yB=f()xB yA=f()xA x B-xA yB-yA xA Cours 09 - Fonctions de référence Page 3 sur 6 II. Fonctions carré et inverse : x→x2 et x→ 1 x

Fonction carré

Définition :

On appelle fonction carré, la fonction définie sur IR par f(x) = x2

Parité :

La fonction carré est paire.

Sa représentation graphique, dans un repère

orthogonal, est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Sens de variation :

° La fonction carré est strictement

décroissante sur ]- ∞ ; 0] càd si x

1x22Ã0.

° La fonction carré est strictement

croissante sur [0 ; + ∞[ càd si 0

Âx1

Tableau de variation :

Représentation graphique

La représentation graphique de la fonction carré est une parabole. Elle a pour équation y =x2

Fonction inverse

Définition :

On appelle fonction inverse la fonction définie sur IR * par f(x) = 1 x

Parité :

La fonction inverse est impaire.

Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.

Sens de variation :

La fonction inverse est strictement

décroissante sur ]- ∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[ càd si x

1 x 1 > 1 x 2 si 0 1 x 2

Tableau de variation :

Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole. Elle a pour équation y = 1 x x f 0

0 +∞

2 3 4-1-2-32

345678910110 1

1 x f 0 0 1 1 y Cours 09 - Fonctions de référence Page 4 sur 6

III. Exercices

Exercice 1 :

Dans un repère orthogonal ( )O;Åi;Åj (unités : 2 cm pour 1 unité sur l"axe des abscisses et 1 cm pour unité sur l"axe

des ordonnées), représenter graphiquement les fonctions affines f, g, h, l et k définies sur Ë par :

f(x)=3x-4 ; g(x)=- 1

3 x+ 7

3 ; h(x)= 2

3 x-4 ; l(x)=-2 ; k(x)=-5x.

Exercice 2 :

Dans un repère, on considère les points A(-4;-1) et B(2;2).

Justifier que la droite (AB) est la représentation graphique d"une fonction affine. Déterminer alors cette fonction affine.

Exercice 3 :

Soit f une fonction affine telle que f(-1)=3 et f(2)=1. Déterminer f.

Exercice 4 :

Déterminer l"équation des droites D1, D2 et D3 représentées ci-contre et en déduire, lorsque c"est le cas, l"expression des fonctions affines qu"elles représentent.

Exercice 5 :

On considère les fonctions affines suivantes définies par : f(x)=4x-6 ; g(x)=- 5

4 x+2 ; h(x)=-7 ; i(x)=3x ; j(x)= -3x+8

5 .

1. Donner, en justifiant, le sens de variation de chacune de ces fonctions.

2. Déterminer, en fonction de x, le signe de chacune de ces fonctions.

3. Représenter graphiquement les fonctions f et g.

4. Résoudre graphiquement f(x)>0 et g(x)<0.

Exercice 6 :

Une agence propose deux types de contrat de location d"une voiture pour une journée : Premier type : un montant fixe de 40€ et 0.20€ par kilomètre. Deuxième type : un montant fixe de 20€ et 0.30€ par kilomètre.

Pour x kilomètres parcourus, le prix à payer est noté f(x) pour le premier type de contrat et g(x) pour le second.

1. Donner les expressions de f(x) et g(x). Construire dans un même repère orthogonal (unités : 1 cm pour 50 kms sur

l"axe des abscisses et 1 cm pour 20€ sur l"axe des ordonnées), les représentations graphiques de ces fonctions pour x

positif.

2. Indiquer, en utilisant le graphique, le contrat le plus avantageux suivant le nombre de kilomètres parcourus.

3. Retrouver ces résultats par le calcul.

Activité 1 :

Soit f la fonction carré définie par f(x)=x2; Notons , sa courbe représentative dans un repère ( )O;Åi;Åj orthonormal.

1. Déterminer l"ensemble de définition de f.

2. Etudier la parité de f. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire?

3. (a) Soient x

1 et x2 deux réels. Montrer que f( )x1-f( )x2=( )x1-x2( )x1+x2

(b) En déduire le sens de variation de f sur [0;+õ[. (c) Déduire de 2. et de 3.b. le sens de variation de f sur ]-õ;0]. (d) Dresser le tableau de variations de f.

4. Compléter le tableau suivant :

x 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 f(x)

5. En utilisant le tableau de variation de f et le tableau de valeurs, tracer soigneusement , sur [0;+õ[ puis sur ]-õ;0].

On choisira comme unité du repère 2 cm et on placera l"origine du repère au centre de la page.

2 3 4 5 6-1-2-3-42

3 -1 -20 1 1 xy D1 D2 D3 Cours 09 - Fonctions de référence Page 5 sur 6

Exercice 7 :

En utilisant les propriétés de la fonction carré, que peut-on dire de x2 si x est un réel tel que :

(a) x>3 (b) 1ÂxÂ2 (c) x<-3 (d) -3Activité 2 :

Soit f la fonction carré définie par f(x)= 1 x ; Notons $ sa courbe représentative dans un repère ( )O;Åi;Åj orthonormal.

1. Déterminer l"ensemble de définition de f.

2. Etudier la parité de f. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire?

3. (a) Soient x

1 et x2 deux réels non nuls. Ecrire f( )x1-f( )x2 sous la forme d"un quotient.

(b) En déduire le sens de variation de f sur ]0;+õ[. (c) Déduire de 2. et de 3.b. le sens de variation de f sur ]-õ;0[. (d) Dresser le tableau de variations de f.

4. Compléter le tableau suivant :

5. En utilisant le tableau de variation de f et le tableau de valeurs, tracer soigneusement $ sur ]0;+õ[ puis sur ]-õ;0[.

On choisira comme unité du repère 2 cm et on placera l"origine du repère au centre de la page.

Exercice 8 :

En utilisant les propriétés de la fonction inverse, que peut-on dire de 1 x si x est un réel tel que : (a) x>3 (b) 1ÂxÂ2 (c) x<-3 (d) -3Exercice 9 :

Dans chacun des cas suivants, comparer 1

a et 1 b :

1. a=2 et b=5. 2. a=-2 et b=-3. 3. a=-1 et b=3.

Exercice 10 :

Associer à chaque phrase la fonction qui lui correspond : (a) Doubler 1. x→2x+3 (b) Prendre la moitié 2. x→2(x+3) (c) Doubler puis ajouter 3 3. x→2x (d) Ajouter 3 puis doubler 4. x→2(x-4) (e) Soustraire 4 puis doubler 5. x→ x 2 (f) Soustraire 4 puis prendre la moitié 6. x→2x-4 (g) Doubler puis soustraire 4 7. x→ x-4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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