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1 Fonctions affinesFonctions de référenceSeconde
FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
1 Fonctions affines
1.1 Activité
Trois taxisT1,T2etT3proposent les tarifs suivants : T1: 5?de prise en charge, puis 0,40?du kilomètre; T2: 4?de prise en charge, puis 0,50?du kilomètre; T3: 7?de prise en charge, puis 0,30?du kilomètre;1. Quel est le taxi le plus économique pour un trajet de
5 km?
10 km?
15 km?
2. On notexla distance que veut parcourir un client en taxi. Exprimer les tarifsf1(x),f2(x) etf3(x) des taxisT1,T2
etT3en fonction dex.3. Représenter dans le repère ci-dessous les courbesC1,C2etC3des fonctionsf1,f2etf3.
123456789101112131415
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Ox4. En vous basant sur le graphique, indiquez pour quelles distancesil est plus économique de prendre le taxiT1,
la taxiT2ou le taxiT3.On donnera les réponses sous forme d"intervalle.5. Un client désire faire plus de 20 km, et choisira le taxiT3. Il vous charge étudier le coût de son trajet en fonction
du nombre de la distancex. (a) Compléter le tableau ci-dessous :Distancex
202122232425304050
Coûtf3(x)
(b) La distance et le coût sont-ils des grandeurs proportionnelles?(c) À l"aide du tableau précédent conjecturer de combien augmente le coût lorsque la distance augmente de
1 km
2 km
5 km
(d) Que peut-on dire alors des grandeurs "augmentation de la distance» et "augmentation du coût»?
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1.2 Bilan et compléments Fonctions de référenceSeconde
1.2 Bilan et compléments
Définition 1
Les fonctions f , définies surR, dont l"expression peut se mettre sous la forme f(x)=mx+p où m et p sont des réels sont appeléesfonctions affines.Cas particuliers :
si m=0alors f(x)=p est diteconstante;
si p=0alors f(x)=mx est ditelinéaire.
Propriété 1
La représentation graphique d"une fonction affine dans un repère est une droite. l"origine du repère. tion est l"ensemble des points (x;f(x))=(x;mx+p) or on a vu dans le chapitreÉquations de droitesqu"un tel en- semble est une droite. On a vu aussi que l"intersection de cette droite avec l"axe des ordonnées est le point (0;p), donc elle passe par l"origine du repère sip=0.Propriété 2
Soit f une fonction déinie surR.
Si les variations des x et des f(x)sont proportion- nels, alors f est une fonction affine.Réciproquement, si f est une fonction affine, alorsles variations des x et des f(x)sont proportionnels.
Dit autrement, on a :Δf(x)
Δx=constante?f est une fonction affine.
Ou encore :
Pour tout x et x
?f(x)-f(x?) x-x?=constante?f est une fonction affine Démonstration.Sifest une fonction affine, alors f(x)-f(x?)=(mx+p)-(mx?+p)=mx-mx?= m(x-x?) donc, pourxetx?distincts,f(x)-f(x?) x-x?= m. Réciproquement, si pour toutxetx?distincts, f(x)-f(x?) x-x?=malorsf(x)-f(x?)=m(x-x?). En prenantx?=0, on obtient :f(x)-f(0)=mx? f(x)=mx+f(0). Donc, par définition,fest une fonction afine.Propriété 3
Soit f:x?→mx+p une fonction affine.
Si m>0alors f est strictement croissante surR. Si m<0alors f est strictement décroissante surR.Si m=0alors f est constante surR.
Démonstration.Sim>0
aSim=0,f(a)=f(b)=p.
Propriété 4
Soit f:x?→mx+p une fonction affine avec m?=0.Alors :
1. f(x)=0pour x0=-p
met2. Le signe de f(x)selon les valeurs de x est donné
par le tableau suivant :Si m>0
x -∞x0+∞Signe de f(x)-0+
Si m<0
x -∞x0+∞Signe de f(x)+0-
Démonstration.1.
f(x)=0?mx+p=0 ?mx=-p ?x=-p mcarm?=02.Sim>0 alorsfcroissante donc
xSim<0 alorsfdécroissante donc
x1.3 ExercicesFonctions de référenceSeconde
1.3 Exercices
EXERCICE1
Voici les tarifs pratiqués par deux agences d location de voitures pour des véhicules identiques (tarifs journa- liers, assurance comprise) :agence A : Forfait de 50?plus 0,42?par km;
agence B : Forfait de 40?plus 0,50?par km
1. Quelle est l"agence la plus économique selon que
l"on désire faire un parcours de50 km?150 km?300 km?
2. On appellexla distance que l"on désire parcourir.
Déterminer selon les valeurs dexl"agence la pluséconomique.
EXERCICE2
Les tarifs mensuels d"un abonnement pour un télé- phone mobile sont les suivants : Forfait d"une heure 15 ?plus 0,30?par minute supplémentaire.1. Compléter le tableau suivant, où la durée est la du-
rée totale des communications du mois en minuteDurée
4580120
Coût
2. Existe-t-il une fonction affinefqui à une durée de
communicationxassocie le coûtf(x)?EXERCICE3
Soitfune fonction affine.
vants :1.f(1)=2 etf(4)=82.f(-1)=4 etf(2)=33.f(5)=-1 etf(3)=3
4.f(-4)=5 etf(1)=7
EXERCICE4
Étudier le signe deP(x)=(2x+1)(-x+2).
On pourra étudier le signe de chacun des facteurs et faire un tableau de signes.EXERCICE5
On pourra étudier le signe de chacun des facteurs et faire un tableau de signes.EXERCICE6
Après avoir précisé les éventuelles valeurs interdites, résoudre les inéquations suivantes :2. (x-2)(π-x)(3x+5)>0
3. (1+x)2(5-x) 4. 4-x8-x≥1-3x2+x
EXERCICE7
On donnef(x)=(3x+4)(2x-3)-(2x-3)(3x+4).
Résoudref(x)>0.
On pourra commencer par factoriser.
EXERCICE8
Résoudre les inéquations suivantes :
2 Fonction carrée
Définition 2
Toute fonction f définie surRqui peut s"écrire sous la forme f(x)=x2est appeléefonction carrée. La courbe représentative d"une fonction carrée est ap- pelée uneparabole.123456789
1 2 3-1-2-3O
?i ?j xyEXERCICE9
1. Factorisera2-b2
(a) Quel est le signe dea-b? (b) Quel est le signe dea+b? (c) En déduire le signe dea2-b2. (d) En déduire les variations def(x)=x2surR+.Propriété 5
Soit f une fonction carrée.
f est strictement décroissante surR-et est strictement croissante surR+et admet comme minimum 0. x-∞0+∞ f(x)=x2 0Page 3 sur 7
3 Fonction cubeFonctions de référenceSeconde
3 Fonction cube
Définition 3
Toute fonction f définie surRqui peut s"écrire sous la forme f(x)=x3est appeléefonction cube. 12345-1 -2 -3 -4 -51 2 3-1-2-3O ?i ?j xy
EXERCICE10
1. Montrer quea3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
(a) Quel est le signe dea-b? (b) Quel est le signe deab? En déduire le signe de a2+ab+b2.
(c) Endéduirelesignede(a-b)(a2+ab+b2)puis celui dea3-b3. (d) En déduire les variations def(x)=x3surR+.Propriété 6
Soit f une fonction cube.
f est strictement croissante surR. x-∞0+∞ f(x)=x304 Fonction inverse
Définition 4
Toutefonction f définiesurR?=]-∞; 0[?]0;+∞[qui peut s"écrire sous la forme f(x)=1 xest appeléefonc- tion inverse. pelée unehyperbole. 12345-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4 5-1-2-3-4-5O ?i ?j xy
EXERCICE11
1. Montrer que1a-1b=b-aab.
2. Soit 0 (a) Quel est le signe deb-a? (b) Quel est le signe deab? (c) En déduire le signe de b-a abpuis celui de1a- 1 b. (d) En déduire les variations def(x)=1 xsur ]0;+∞[. 3. Mêmes questions sia Propriété 7
Soit f une fonction inverse.
f est strictement décroissante sur]- ∞; 0[et f est strictement décroissante sur]0;+∞[ x-∞0+∞ f(x)=1x Page 4 sur 7
5 Fonction valeur absolue Fonctions de référenceSeconde
5 Fonction valeur absolue
5.1 Généralités
Définition 5
On appelle fonctionvaleur absoluela fonction, notée |x|, définie surRpar?|x|=x si x≥0 Exemples.
|-3|=3
|5|=5
|0|=0
EXERCICE12
1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
x -5-4-3-2-1012345 |x| 2. Àl"aidedecetableau,tracerlareprésentationgraphiquedelafonctionvaleurabsoluedanslerepèreci-dessous:
12345
-11 2 3 4 5-1-2-3-4-5O ?i ?j xy Propriété 8
Soit f la fonction valeur absolue.
f est strictement décroissante surR-et est strictement croissante surR+et admet comme minimum 0. x-∞0+∞ f(x)=|x| 0 est strictement croissante surR+. absolue est strictement décroissante surR-. Par ailleurs|x| ≥0 et|0| =0 donc 0 est bien le mini- mum de la fonction. Propriété 9
On a les propriétés suivantes :
Pour tout réel x,|x|≥0
Pour tout réel x et pour tout x??=0,|x|
|x?|=???xx???? Pour tous réels x et x?,|x×x?|=|x|×|x?| triangulaire). |x|=0?x=0
|x|=|y|?x=y ou x=-y
On l"admettra.
Page 5 sur 7
5.2 Valeur absolue, distance entre deux nombres, intervalleFonctions de référenceSeconde
5.2 Valeur absolue, distance entre deux nombres, intervalle
5.2.1 Activité
1. Placer sur la droite des réels ci-dessous les pointsA,B,C,D,EetFdont les abscisses respectives sont 1,-3, 5,
-1, 2 et 3 : O?ix 2. (a) Sur le modèle de la première ligne, compléter le tableau suivant :
PointM
PointNDistanceMNxM-xN|xM-xN|
BABA=4-3-1=-4|-4|=4
AB AC CA EF FE BD DB (b) Que constate-t-on? 3. (a) Représenter sur la droite des réels ci-dessous l"intervalle [1; 5] :
O?ix (b) Quel est le centreade cet intervalle? (c) Que peut-on dire sur l"ensemble des réelsxappartenant à cet intervelle en terme de distance àa?
(d) En déduire une façon de noter l"ensemble desx?[1; 5] utilisant une valeur absolue. 4. Mêmes questions pour l"intervalle ]-2; 3[
5.2.2 Bilan
Définition 6
Soient x et y deux réels quelconques.
On appelle distance entre x et y le nombre|x-y|.
Exemples.
|x|=|x-0|est la distance entrexet 0.
|5-3|=2 donc la distance entre 5 et 3 est 2.
|4+3|=|4-(-3)|=7 donc la distance entre 4 et-3 est 7. Définition 7
Soit I=[a;b]un intervalle (b>a).
On appelle :
centre de l"intervalleI le nombrea+b
2; amplitudedel"intervalleI lenombreb-a (onparle
aussi de rayon d"un intervalle). Remarque.Cette définition est aussi valable pour un intervalle ouvertI=]a;b[ ou ouvert d"un seul côtéI=]a;b], etc. Exemples.L"intervalle [1; 5] a pour centre1+5
2=3 et pour ampli-
tude 5-3=2. L"intervalle ]-3; 2[ a pour centre-3+2
2= -0,5 et pour
amplitude 2-(-3)=5. L"intervalle [-6;-2[ a pour centre-6-2
2= -4 et pour
amplitude-2-(-6)=4. Propriété 10
Soit I=[a;b]un intervalle (a centre de I etβson amplitude. Alors : 2 On l"admettra.
Remarque.Dans le cas oùI=]a;b[, on ax?]a;b[?|x-α|<β 2 Exemples.
x?]-3; 2[?|x-(-0,5)|<2,5
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3. Mêmes questions sia Propriété 7
Soit f une fonction inverse.
f est strictement décroissante sur]- ∞; 0[et f est strictement décroissante sur]0;+∞[ x-∞0+∞ f(x)=1x Page 4 sur 7
5 Fonction valeur absolue Fonctions de référenceSeconde
5 Fonction valeur absolue
5.1 Généralités
Définition 5
On appelle fonctionvaleur absoluela fonction, notée |x|, définie surRpar?|x|=x si x≥0 Exemples.
|-3|=3
|5|=5
|0|=0
EXERCICE12
1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
x -5-4-3-2-1012345 |x| 2. Àl"aidedecetableau,tracerlareprésentationgraphiquedelafonctionvaleurabsoluedanslerepèreci-dessous:
12345
-11 2 3 4 5-1-2-3-4-5O ?i ?j xy Propriété 8
Soit f la fonction valeur absolue.
f est strictement décroissante surR-et est strictement croissante surR+et admet comme minimum 0. x-∞0+∞ f(x)=|x| 0 est strictement croissante surR+. absolue est strictement décroissante surR-. Par ailleurs|x| ≥0 et|0| =0 donc 0 est bien le mini- mum de la fonction. Propriété 9
On a les propriétés suivantes :
Pour tout réel x,|x|≥0
Pour tout réel x et pour tout x??=0,|x|
|x?|=???xx???? Pour tous réels x et x?,|x×x?|=|x|×|x?| triangulaire). |x|=0?x=0
|x|=|y|?x=y ou x=-y
On l"admettra.
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5.2 Valeur absolue, distance entre deux nombres, intervalleFonctions de référenceSeconde
5.2 Valeur absolue, distance entre deux nombres, intervalle
5.2.1 Activité
1. Placer sur la droite des réels ci-dessous les pointsA,B,C,D,EetFdont les abscisses respectives sont 1,-3, 5,
-1, 2 et 3 : O?ix 2. (a) Sur le modèle de la première ligne, compléter le tableau suivant :
PointM
PointNDistanceMNxM-xN|xM-xN|
BABA=4-3-1=-4|-4|=4
AB AC CA EF FE BD DB (b) Que constate-t-on? 3. (a) Représenter sur la droite des réels ci-dessous l"intervalle [1; 5] :
O?ix (b) Quel est le centreade cet intervalle? (c) Que peut-on dire sur l"ensemble des réelsxappartenant à cet intervelle en terme de distance àa?
(d) En déduire une façon de noter l"ensemble desx?[1; 5] utilisant une valeur absolue. 4. Mêmes questions pour l"intervalle ]-2; 3[
5.2.2 Bilan
Définition 6
Soient x et y deux réels quelconques.
On appelle distance entre x et y le nombre|x-y|.
Exemples.
|x|=|x-0|est la distance entrexet 0.
|5-3|=2 donc la distance entre 5 et 3 est 2.
|4+3|=|4-(-3)|=7 donc la distance entre 4 et-3 est 7. Définition 7
Soit I=[a;b]un intervalle (b>a).
On appelle :
centre de l"intervalleI le nombrea+b
2; amplitudedel"intervalleI lenombreb-a (onparle
aussi de rayon d"un intervalle). Remarque.Cette définition est aussi valable pour un intervalle ouvertI=]a;b[ ou ouvert d"un seul côtéI=]a;b], etc. Exemples.L"intervalle [1; 5] a pour centre1+5
2=3 et pour ampli-
tude 5-3=2. L"intervalle ]-3; 2[ a pour centre-3+2
2= -0,5 et pour
amplitude 2-(-3)=5. L"intervalle [-6;-2[ a pour centre-6-2
2= -4 et pour
amplitude-2-(-6)=4. Propriété 10
Soit I=[a;b]un intervalle (a centre de I etβson amplitude. Alors : 2 On l"admettra.
Remarque.Dans le cas oùI=]a;b[, on ax?]a;b[?|x-α|<β 2 Exemples.
x?]-3; 2[?|x-(-0,5)|<2,5
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Propriété 7
Soit f une fonction inverse.
f est strictement décroissante sur]- ∞; 0[et f est strictement décroissante sur]0;+∞[ x-∞0+∞ f(x)=1xPage 4 sur 7
5 Fonction valeur absolue Fonctions de référenceSeconde
5 Fonction valeur absolue
5.1 Généralités
Définition 5
On appelle fonctionvaleur absoluela fonction, notée |x|, définie surRpar?|x|=x si x≥0Exemples.
|-3|=3
|5|=5
|0|=0
EXERCICE12
1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
x -5-4-3-2-1012345 |x|2. Àl"aidedecetableau,tracerlareprésentationgraphiquedelafonctionvaleurabsoluedanslerepèreci-dessous:
12345-11 2 3 4 5-1-2-3-4-5O ?i ?j xy
Propriété 8
Soit f la fonction valeur absolue.
f est strictement décroissante surR-et est strictement croissante surR+et admet comme minimum 0. x-∞0+∞ f(x)=|x| 0 est strictement croissante surR+. absolue est strictement décroissante surR-. Par ailleurs|x| ≥0 et|0| =0 donc 0 est bien le mini- mum de la fonction.Propriété 9
On a les propriétés suivantes :
Pour tout réel x,|x|≥0
Pour tout réel x et pour tout x??=0,|x|
|x?|=???xx???? Pour tous réels x et x?,|x×x?|=|x|×|x?| triangulaire).|x|=0?x=0
|x|=|y|?x=y ou x=-y
On l"admettra.
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5.2 Valeur absolue, distance entre deux nombres, intervalleFonctions de référenceSeconde
5.2 Valeur absolue, distance entre deux nombres, intervalle
5.2.1 Activité
1. Placer sur la droite des réels ci-dessous les pointsA,B,C,D,EetFdont les abscisses respectives sont 1,-3, 5,
-1, 2 et 3 : O?ix2. (a) Sur le modèle de la première ligne, compléter le tableau suivant :
PointM
PointNDistanceMNxM-xN|xM-xN|
BABA=4-3-1=-4|-4|=4
AB AC CA EF FE BD DB (b) Que constate-t-on?3. (a) Représenter sur la droite des réels ci-dessous l"intervalle [1; 5] :
O?ix (b) Quel est le centreade cet intervalle?(c) Que peut-on dire sur l"ensemble des réelsxappartenant à cet intervelle en terme de distance àa?
(d) En déduire une façon de noter l"ensemble desx?[1; 5] utilisant une valeur absolue.4. Mêmes questions pour l"intervalle ]-2; 3[
5.2.2 Bilan
Définition 6
Soient x et y deux réels quelconques.
On appelle distance entre x et y le nombre|x-y|.
Exemples.
|x|=|x-0|est la distance entrexet 0.
|5-3|=2 donc la distance entre 5 et 3 est 2.
|4+3|=|4-(-3)|=7 donc la distance entre 4 et-3 est 7.Définition 7
Soit I=[a;b]un intervalle (b>a).
On appelle :
centre de l"intervalleI le nombrea+b
2;amplitudedel"intervalleI lenombreb-a (onparle
aussi de rayon d"un intervalle). Remarque.Cette définition est aussi valable pour un intervalle ouvertI=]a;b[ ou ouvert d"un seul côtéI=]a;b], etc.Exemples.L"intervalle [1; 5] a pour centre1+5
2=3 et pour ampli-
tude 5-3=2.L"intervalle ]-3; 2[ a pour centre-3+2
2= -0,5 et pour
amplitude 2-(-3)=5.L"intervalle [-6;-2[ a pour centre-6-2
2= -4 et pour
amplitude-2-(-6)=4.Propriété 10
Soit I=[a;b]un intervalle (a centre de I etβson amplitude. Alors : 2 On l"admettra.
Remarque.Dans le cas oùI=]a;b[, on ax?]a;b[?|x-α|<β 2 Exemples.
x?]-3; 2[?|x-(-0,5)|<2,5
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x?]-3; 2[?|x-(-0,5)|<2,5
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