mathsbdp.fr chap9. Étude graphique et algébrique de fonctions
Étude graphique et algébrique de fonctions 2nde. I) Rappels. II) Fonction paire et impaire. Soit une fonction définie sur un ensemble E symétrique par
Comment reconnaître un type de fonction à partir dune table de
Modélisation algébrique et graphique en contexte général Lien web: Démonstration Geogebra exemples de fonctions linéaires.
CyCle 4 - Mathématiques
lien entre forme algébrique et représentation graphique. Thème B - Organisation et gestion de données fonctions. La plupart des notions travaillées dans ce
MAT-4171-2 Modélisation algébrique et graphique en contexte
Le but du cours Modélisation algébrique et graphique en contexte fondamental 1 est de rendre graphique exprimant un lien de dépendance entre quantités ...
Utiliser les distances algébriques en optique
Revoir les conventions graphiques (comment représenter un axe optique une lentille
Comment reconnaître un type de fonction à partir dune table de
Modélisation algébrique et graphique en contexte général Lien web: Démonstration Geogebra exemples de fonctions linéaires.
Rentrée septembre 2017 Les maths en Seconde avec des élèves
représenter choisir un cadre(numérique
Importance du changement de registre en mathématiques
18 mai 2020 conversion du registre algébrique au registre graphique. ... rétro-activement le changement de registre saisir le lien entre le point A et ...
Les méthodes graphiques dans lhistoire et dans lenseignement
13 avr. 2020 algébriques entre méthodes numériques et méthodes graphiques. ... fera aisément le lien entre le problème inverse des tangentes et la ...
Programme de mathématiques de première générale
Explicitant les liens entre les différentes notions ainsi que leurs objectifs important de diversifier les registres (algébrique
Chapitre
LES MTHODES GRAPHIQUES DANS
LÕHISTOIRE ET DANS LÕENSEIGNEMENT
Dominique TOURNÈS
Les figures sont souvent mal vues des mathmaticiens et enseignants actuels. Si elles sont, la rigueur, reconnues pour leur valeur heuristique, elles sont plus difficilement acceptes en tant quÕlment constitutif dÕune dmonstration. Les constructions gomtriques auraient-elles donc moins de ralit mathmatique que les expressions algbriques formelles ? Ë travers lÕtude de quelques exem- ples tirs de lÕhistoire, je souhaite mettre en vidence la tension, la dialectique, les que les praticiens des mathmatiques, entre preuves gomtriques et preuves algbriques, entre mthodes numriques et mthodes graphiques. JÕexaminerai ensuite la situation dans les programmes en vigueur au lyce et je prsenterai le projet de recherche en cours lÕIREM de la Runion pour mettre au point, dans sur des mthodes graphiques. Pour ne pas me disperser, jÕillustrerai mon propos en me limitant deux sujets autour desquels on peut organiser une grande partie de lÕenseignement ce niveau : 1) la rsolution des quations du second et du directeurs pour dvelopper, en fait, des considrations de porte plus gnrale. PREMIéRE PARTIE : QUELQUES CONSIDRATIONS HISTORIQUES SUR LA DIALECTIQUE ENTRE PENSE GOMTRIQUE ET PENSEALGBRIQUE
doctorat intitule Images, écritures et espace de médiation : étude anthropolo-2 Chapitre
gique des pratiques graphiques dans une communauté de mathématiciens 1 avoir constat que les figures taient nombreuses dans les brouillons des math- maticiens et au tableau lors des sminaires, mais quasiment absentes dans les publications finales, elle a interrog 41 mathmaticiens pour en savoir plus sur le statut des figures. Une rponse typique est la suivante 2 " B : Les mathématiques arrivent au moment où on s'affranchit des images. C'est-à-dire qu'on sort de l'activité psychique personnelle pour rentrer dans l'activité socialement échangeable sous la forme la plus conventionnelle, c'est-à-dire écrite, par rapport à ce qui est des mathématiques, au moment où précisément, ça prend sa forme symbolique, et donc on s'est affranchi des images. Et en fait, c'est une forme, pour moi, de libération. [...] Beaucoup de choses peuvent se dessiner, et puis, il y a très peu de choses qui finalement deviennent des maths à partir du dessin. Donc l'épreuve de vérité, c'est quand c'est devenu une formule. » Cette citation me semble assez caractristique de lÕvolution historique gn-rale des mathmatiques depuis lÕAntiquit, volution qui va dÕune pense gom-
trique vers une pense algbrique. Chez Euclide et les mathmaticiens grecs, la primaut revient aux figures. Alors que, chez les gyptiens et les Babyloniens, la figure tait un simple schma servant de guide des calculs portant sur des nombres ou des grandeurs lis des lments de cette figure, chez les Grecs, la figures portent en elles davantage de sens que le discours qui tente de dcrire leur construction et leurs proprits. La diagonale du carr existe : tout le monde la voit comme rsultat dÕune construction lmentaire incontestable. Pourtant, aucun nombre ne peut la dcrire, son rapport au ct du carr est irrationnel, contraire la raison, Ç indicible È au-del du simple programme de construction qui lÕa lorsquÕil sÕagit de construire un triangle quilatral sur un segment donn, Euclide utilise, sans dmontrer leur existence, les points dÕintersection des deux cercles tracs. LÕexistence de ces points fait partie de la figure : cÕest ce que lÕon voit, qui va de soi et quÕon ne dit pas. Les grandeurs et les lignes sont implicitement des objets continus. Tout repose sur ce principe de continuit. LA CONSTRUCTION DES QUATIONS PAR INTERSECTION DE LIGNES Jusque vers 1750, les mathmatiques vont tre domines par cette pense formuls en langage gomtrique. Les rsoudre consistera obtenir leurs 1Muriel Lefebvre, Images, écritures et espace de médiation : étude anthropologique des pratiques
Pasteur, Strasbourg, 2001.
2 Les mthodes graphiques dans lÕhistoire et dans lÕenseignement 3 solutions comme intersection de lignes traces dÕun mouvement continu. de Descartes en 1637, ne change rien de fondamental cette conception. Au XI e 3 sa construction par lÕintersection de deux courbes gomtriques (en gnral deux rellement. Chez al-Khayyam, comme chez la plupart de ses successeurs jusquÕ Bolzano, toutes les tentatives pour prouver cette existence reviennent montrer toutes deux tant supposes traces dÕun mouvement continu. Encore et toujours ce principe implicite de continuit !Chez Descartes
4 , lÕquation dÕune courbe appara"t clairement comme un outil dÕanalyse au service de la gomtrie, une sorte de programme cod permettant de raliser la construction de la courbe par points partir de sous-programmes l- mentaires de construction pour lÕaddition, la soustraction, la multiplication, la naire et des compas cartsiens conus pour lÕinsertion de n moyennes proportion- nelles 5 . CÕest dÕailleurs lÕune des raisons pour lesquelles une quation ne suffit pas fournit quÕune construction par points, par opposition au trac dÕun mouvement formule algbrique pour exprimer les racines dÕune quation nÕest pas considr comme satisfaisant : cela ne suffit pas prouver lÕexistence de ces racines, ni dterminer leur grandeur, tant quÕon nÕa pas Ç traduit È cette formule en une
construction gomtrique. des coefficients de lÕquation (on y reviendra dans la seconde partie), Descartes se penche sur les formules de Cardan et, loin de suggrer que lÕon puisse sÕen servir pour un calcul numrique par extraction la main des racines carres et des racines cubiques, il transforme ces formules en programme de construction tionnelles lorsque lÕquation a une seule racine relle, la trisection dÕun angle constructions de base Ð lÕinsertion des deux moyennes et la trisection de lÕangle Ð 3 Roshdi Rashed & Bijan Vahabzadeh, Al-Khayyam mathématicien, Paris : Blanchard, 1999. 4Ren Descartes, La Géométrie, appendice au Discours de la méthode, Leyde, 1637 ; rd., New
York : Dover, 1954.
5Op. cit., p. 297-298 et p. 370-371.
4 Chapitre
rentrent dans son schma gnral de lÕintersection dÕune parabole fixe et dÕun cercle 6Depuis Descartes jusque vers le milieu du XVIII
e lution des quations algbriques va se faire ainsi par intersection de deux courbes choisies parmi les plus simples possibles, la notion de Ç simplicit È variant dÕailleurs dÕun auteur lÕautre suivant les points de vue adopts. Avec le dveloppement du calcul infinitsimal, la situation se complexifie, mais ne change pas fondamentalement de nature. DÕun ct, lÕoutil algbrique se perfectionne et se gnralise, au point que lÕon en vient accepter des expressions par ailleurs, on cherche toujours construire par des mouvements continus siens Ð les nouvelles courbes transcendantes qui apparaissent en grand nombre dans les applications. Parmi les nouveaux procds de construction, on peut citer, par exemple, le mouvement tractionnel, partir duquel Leibniz conoit lÕide plus gnralement, de tracer les courbes intgrales des quations diffrentielles 7 Mme dans ce domaine du calcul infinitsimal en pleine expansion, onalgbrique ne suffit pas prouver lÕexistence dÕune intgrale dÕune quation dif-
frentielle tant quÕon nÕa pas tir une construction gomtrique de cette expres- sion. CÕest le trac de la courbe, autrement dit la figure, qui est le but recherch, pas la formule algbrique ! On rencontre un excellent exemple de cette dmarche dans un trait de Vincenzo Riccati 8 , paru Bologne en 1752, dont on pourrait traduire le titre par Ç De lÕemploi du mouvement tractionnel pour la constructiondes quations diffrentielles È. Riccati sÕintresse lÕquation diffrentielle
abdq (f"q)b 2 +q 2 =dx Elle est intgrable par quadratures. Pour quation dÕune courbe intgrale, il trouve x="logz"a b f 2 +b 2 ( +logz+a b f 2 +b 2 o lÕon utilise le logarithme de sous-tangente ab f 2 +b 2 . Cette formule obtenue, la rsolution nÕest pas du tout, contrairement au point de vue qui serait adopt 6Op. cit., p. 397-401.
7 Gottfried Wilhelm Leibniz, Ç Supplementum geometri¾ dimensori¾ seu generalissima omnium tetragonismorum effectio per motum : similiterque multiplex constructio line¾ ex data tangentium conditione È, Acta eruditorum, sept. 1693. 8 Vincenzo Riccati, De usu motus tractorii in constructione aequationum differentialium commen- tarius, Bononi¾ : Ex typographia L¾li a Vulpe, 1752. Les mthodes graphiques dans lÕhistoire et dans lÕenseignement 5 aujourdÕhui, considre comme acheve. Dans un esprit encore cartsien, Riccaticrit
9 expose une construction par points de la courbe intgrale partir de la courbe logarithmique. Par ailleurs, il compare cette solution avec une seconde construction, de type tractionnel, beaucoup plus simple et, surtout, conduisant autrac de la courbe dÕun trait continu, ce qui met en vidence que lÕapproche
algbrique nÕest pas forcment la meilleure ! UN BASCULEMENT SOUDAIN DE LA GOMTRIE VERS LÕALGéBREse par les traits dÕEuler, premiers traits qui sont centrs sur les fonctions plutt
que sur les courbes, sur les algorithmes algbriques plutt que sur la construction des figures. Rsoudre une quation algbrique ou une quation diffrentielle, cela ne se fait plus par le trac et lÕintersection de lignes, mais par le calcul dÕexpres- sions algbriques reprsentant les solutions en des sens de plus en plus larges : on accepte dsormais une expression algbrique infinie, un algorithme infini tel une srie, un produit infini ou une fraction continue, comme dcrivant parfaitement la solution cherche tout en assurant son existence, sans quÕil soit nullement besoin de revenir la gomtrie. Le support des figures et de lÕintuition gomtrique tant soudain vacu, les discussions vont dsormais porter sur le sens de ces algorithmes infinis dont on peut douter de la validit dans la mesure o ils sont, doutes, exprims notamment par Abel, conduiront Cauchy, puis Weierstrass, laborer une thorie des limites et de la convergence permettant lÕacceptation en mathmatiques, sous certaines conditions, de ces processus infinis. se fier lÕintuition gomtrique. Il reste quand mme la question des imaginaires, un peu contre-courant, pour laquelle la reprsentation gomtrique et le retour des figures sont le seul moyen convaincant trouv pour lgitimer ces critures formelles un peu mystrieuses contenant des racines carres de nombres ngatifs. Mais lÕvolution dÕensemble est irrversible et tout cela trouvera sa conclusion dans les dbats sur les fondements de la fin du XIX e refondation des mathmatiques sur lÕarithmtique plutt que sur la gomtrie. Les objets premiers sont nouveau les nombres entiers, et non plus les figures, dans une sorte de curieux retour lÕancienne conception pythagoricienne selon laquelle Ç tout est nombre È. CÕest sur ce schma que nous vivons encore aujourdÕhui : dans nos tudes universitaires, on part de lÕensemble des entiers naturels, introduit par les axiomes de Peano, puis, partir des entiers naturels, on construit successi- 9Op. cit., p. 26.
6 Chapitre
vement les nombres relatifs, rationnels, rels et complexes. La gomtrie plane appara"t alors en tant quÕtude de lÕensemble des couples de nombres rels, cÕest- -dire comme un produit driv. La position la plus extrmiste, exprime par JeanDieudonn lÕpoque des mathmatiques modernes, a consist sÕcrier Ç Ë bas
Euclide ! È et publier, en guise de provocation, un livre de gomtrie sans
aucune figure 10 . On aboutit ainsi la conception exprime par le mathmaticien cit au dbut : " Les mathématiques arrivent au moment où on s'affranchit des images. [...] l'épreuve de vérité, c'est quand c'est devenu une formule. » Plus de figures, plus de courbes, mais des nombres, des coordonnes, des fonctions et des formules ! LE CAS DE LA MTHODE DÕEULER POUR LES QUATIONS DIFFRENTIELLES penchons-nous sur le cas de lÕexpression et de la justification de la mthode celui de la rsolution des quations algbriques. dition, celui consacr au calcul intgral, a paru en 1798 11 . CÕest un trait lÕanalyse par Cauchy. Voyons comment Lacroix prsente lÕvolution du calcul infinitsimal 12 " On découvrit le Calcul différentiel pour mener des tangentes aux courbes, c'est-à-dire, pour résoudre le Problme direct des tangentes. On s'occupa ensuite du Calcul intégral, pour parvenir aux équations primitives des courbes par les propriétés de leurs tangentes ; mais les progrès et les nom- breuses applications de ce Calcul ont fait abandonner la dénomination de mthode inverse des tangentes qui ne convenait qu'à un seul de ses usages. Dans les premiers tems on chercha à déterminer par les aires ou même par les arcs de quelques courbes connues, l'ordonnée de la courbe demandée ; depuis on a laissé ces constructions de côté, parce que, quelqu'élégantes qu'elles fussent dans la théorie, elles étoient toujours moins commodes et sur- tout moins exactes dans la pratique, que les formules approximatives qui ont pris leur place. » Ainsi, il est clair que le contexte et le vocabulaire de la gomtrie (courbes, tangentes, aires et arcs, cÕest--dire quadrature et rectification des courbes, constructions...) sont en voie progressive de disparition. Ë la suite dÕEuler, on 10Jean Dieudonn, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Paris : Hermann, 1964.
11Sylvestre-Franois Lacroix, Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, vol. 2, Paris :
Duprat, an VI (1798).
12Op. cit., p. 296.
Les mthodes graphiques dans lÕhistoire et dans lÕenseignement 7sÕintresse de plus en plus des formules approximatives, cÕest--dire des
dveloppements en srie, mieux adapts, plus fconds, tant pour les questions thoriques que pour les questions numriques. Le calcul infinitsimal nÕest plus li une figure gomtrique, une courbe quÕil faudrait construire ou dont il fau- Pourtant, la gomtrie est encore solidement ancre chez Lacroix. LorsquÕil parle de la mthode dÕEuler, il crit 13 " Ce qui précède fait voir que les équations différentielles à deux variables sont toujours possibles [...] : la même chose se prouve aussi par des considé- rations géométriques. [...] On voit, qu'en continuant ce procédé, on tracera un polygone qui différera d'autant moins de la courbe à laquelle appartient l'équation proposée, qu'on en multipliera les côtés. Il résulte aussi de cette construction qu'une équation différentielle du premier ordre représente une infinité de courbes, puisqu'on peut prendre le premier point M où on voudra. » Rien nÕa chang ici par rapport la conception originelle leibnizienne selon laquelle une courbe est un polygone ayant une infinit de cts infiniment petits. Ayant ralis une construction qui nÕest rien dÕautre que la mthode dÕEuler dans dj affirm, en 1694 14 " Nous obtiendrons de la sorte un polygone [...] remplaçant la courbe incon- nue, c'est-à-dire une courbe Mcanique tenant lieu de courbe Gomtrique, du même coup nous voyons bien qu'il est possible de faire passer la courbe Géométrique par un point donné [...], puisque une telle courbe est la limite où en définitive sÕeffacent progressivement les polygones convergents. »Avec Euler
15 , puis Cauchy 16 , il nÕy aura plus ce support gomtrique. La mthode dÕEuler-Cauchy sera dfinie par des formules algbriques et prsente dÕemble comme une mthode dÕapproximation numrique dont la prcision dpend du pas de la subdivision choisie. Chez Cauchy, il y aura mme une preuve de la convergence assortie dÕune valuation de lÕerreur commise. L encore, on glisse insensiblement du cadre gomtrique vers le cadre algbrique, du cadre 13Op. cit., p. 287.
14 Gottfried Wilhelm Leibniz, La naissance du calcul différentiel, introduction, traduction et notes par Marc Parmentier, Paris : Vrin, p. 304. 15 Leonhard Euler, Institutionum calculi integralis volumen primum, Saint-Petersbourg, 1769,sectio secunda, caput VII : Ç De integratione ¾quationum differentialium per approximationem È.
16Augustin-Louis Cauchy, Équations différentielles ordinaires. Cours inédit (fragment), intro-
duction de Christian Gilain, Paris : tudes vivantes & New York : Johnson Reprint Corporation, 1981.8 Chapitre
graphique vers le cadre numrique. Le trait dÕEuler et le cours de Cauchy ne sÕappuient plus sur le support dÕune figure. Alors que, auparavant, on construisait une figure par des procds gomtriques afin de mesurer sur elle les valeurs numriques dont on avait besoin pour la pratique, de nos jours, cÕest le contraire : on fait calculer par nos ordinateurs des valeurs numriques qui servent ensuite tablir des reprsentations graphiques, non pour calculer, mais pour visualiser les rsultats du calcul. Le graphique a chang de place et de fonction.SECONDE PARTIE : LES MTHODES GRAPHIQUES DANS
LÕENSEIGNEMENT
Actuellement, avec lÕapparition des calculatrices graphiques, des grapheurs et enseignement organis de logique formelle et lÕaffaiblissement continu de la place mthodes graphiques soit, de fait, inluctable. Il y a l, dÕune part, une faon dÕexploiter pleinement les outils modernes et de former les jeunes leur utili- sation, dÕautre part, la possibilit de favoriser lÕapprentissage dÕautres types de raisonnement, davantage fonds sur lÕinduction, lÕexprimentation, lÕobservation. dans les classes de lyce : en lÕabsence dÕune construction rigoureuse des nombres continuit, de drive et dÕintgrale, il nÕy a plus aucun moyen de dmontrerlÕexistence des solutions des quations algbriques et diffrentielles rencontres
mme que lÕexistence des primitives des fonctions continues. Dans ces conditions, il est assez ridicule de se livrer des simagres comme celle induite par le docu- ment dÕapplication des programmes de srie S qui prcise 17 " Dans la rédaction de la solution à un problème, une simple référence au tableau de variation suffit pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution d'une équation du type f(x)=k sur un intervalle. Il n'est pas besoin d'évoquer la continuité. » Un autre exemple est fourni par les querelles qui ont divis les professeurs de terminale S pour savoir sÕil tait possible de prouver rigoureusement lÕexistence de la fonction exponentielle partir de la mthode dÕEuler ou celle de la fonction logarithme partir de la quadrature de lÕhyperbole. Quelle preuve pourrait-on envisager, dans lÕun ou lÕautre cas, alors quÕon ne dispose dÕaucun fondement solide sur lequel btir ? 17 Inspection gnrale de mathmatiques, Application des programmes de mathématiques (seconde, premières ES et S, terminales ES et S), 2005, p. 10. Les mthodes graphiques dans lÕhistoire et dans lÕenseignement 9 Ne serait-il pas moins hypocrite de revenir une intuition gomtrique de la continuit et de lÕintersection des courbes dans le cas de la rsolution des qua- tions algbriques, du polygone dÕEuler-Cauchy dans le cas des quations diff- rentielles, conformment ce que nous avons vu plus haut dans notre panorama de lÕvolution historique de ces notions ? PuisquÕon ne dispose pas, au lyce, dÕune thorie des nombres rels et des limites, ne serait-il pas plus formateur de XIX e de faon cohrente et productive ? Les programmes actuels vont dans ce sens, le disent plus ou moins dans leurs introductions, mais nÕosent pas franchir vritablement le pas dans le dtail de leurs contenus, sans doute au nom dÕune certaine orthodoxie quÕil serait mal vu de transgresser. Voici, par exemple, ce quÕon peut lire dans lÕintroduction du cycle terminal STI 18 " Les représentations graphiques tiennent une place importante : en effet, outre leur intérêt propre, elles permettent de donner un contenu intuitif et concret aux objets mathmatiques étudiés dans les différentes parties du pro- gramme ; leur mise en oeuvre développe aussi les qualités de soin et de préci- sion et met l'accent sur des réalisations combinant une compétence manuelle et une réflexion théorique. Plus largement, on développera une vision go- service de l'intuition et de l'imagination son langage et ses procédés de représentation. » CÕest dans cet esprit que jÕai entrepris une recherche-action dans une classe de terminale S afin dÕlaborer et dÕexprimenter une progression accordant une large place aux mthodes graphiques 19 . Il sÕagit, en quelque sorte, de faire revivre aux cadre dans leurs recherches et leurs raisonnements. Ë titre dÕexemples, je vais prsenter ici deux des activits que jÕai mises au point. RSOLUTION DES QUATIONS AVEC DES DROITES, DES CERCLES ET UNEPARABOLE FIXE
dÕun compas et dÕune parabole fixe, donne par son trac sur une feuille de papier ou sur un transparent, ou matrialise par un dcoupage dans du carton ou du 18 " Sciences et technologies industrielles », 2002, p. 7. 19LÕexprimentation sÕest droule au lyce Le Verger (Sainte-Marie, La Runion), dans la classe
de M. Jean-Claude Lise, que je remercie pour son accueil et sa collaboration.10 Chapitre
lÕaide de droites, de cercles et dÕune parabole donne (qui dtermine lÕunit de
longueur et qui a pour quation y=x 2 ). Globalement, jÕai suivi les conseils de Joseph-Balthazar Brard, qui, dans ses Opuscules mathématiques de 1810,crivait
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] lien internet
[PDF] lien social définition paugam
[PDF] lien social durkheim
[PDF] lien social paugam
[PDF] Lien sur un film
[PDF] lien traduction
[PDF] lienmini.fr magnard
[PDF] liens de parenté chez les vertébrés tp corrigé
[PDF] liens entre le dopage et la chimie
[PDF] Liens entre le théâtre de l'absurde et le tragique
[PDF] liens entre les deux guerres mondiales
[PDF] liens entre œuvres histoire des arts
[PDF] liens la rochelle
[PDF] liens synonyme