Probabilités continues
Loi d'une variable aléatoire : du discret au continu La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction définie pour tout t ? R par.
Variables aléatoires discrètes Autour de la fonction de répartition
3) Calculer la somme des sauts de F. La variable aléatoire X est-elle discrète ? Ex 3. Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions de répartition d'une
Variables aléatoires Discrètes
des valeurs prises par X que l'on appellera support de X. 1.2 Fonction de répartition d'une variable aléatoire. Définition 2. (Fonction de répartition). Soit X
Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes
c) Calculer P(X ? 3). Exercice 5.2 : Définition : La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète est la fonction réelle définie par :.
Chapitre 2 - Variables Aléatoires
Seul le dernier exemple n'est pas une variable discrète. 1 Loi de probabilité Fonction de répartition. La loi de probabilité d'une variable aléatoire
MODULE 6 VARIABLE ALÉATOIRE ALÉATOIRE
relation entre la fonction de probabilité et la variable aléatoire est examinée puis déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète.
Variables Aléatoires
Variables Aléatoires Discrètes. 2.1 Définition. 2.2 Loi de Probablité. 2.3 Fonction de Répartition 3.2 Fonction de Densité de Probabilité.
Loi dune variable aléatoire réelle
Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F donnée par discrètes d'une part et d'autre part les variables aléatoires absolument ...
Exercices et problèmes de statistique et probabilités
1. les variables aléatoires discrètes pour lesquelles l'ensemble ? est un ensemble On appelle « Fonction de répartition d'une variable aléatoire X ...
Variables aléatoires discrètes
Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble E et f une La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète X est une ...
[PDF] Variables aléatoires discrètes - Unisciel
Théorème : Si X est une variable aléatoire discrète sa fonction de répartition est une fonction en escalier croissante sur R qui vérifie :
[PDF] Variables aléatoires Discrètes
1 2 Fonction de répartition d'une variable aléatoire Définition 2 (Fonction de répartition) Soit X une variable aléatoire réelle sur (?AP) On
[PDF] Variables aléatoires discrètes - CPGE Brizeux
La fonction de répartition de X est la fonction FX de R dans [01] définie par : ?x ? RFX(x) = P(X ? x) La fonction de répartition donne donc les
[PDF] Fonction de répartition et densité
Définition 1 La fonction de répartition (f d r ) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?x]) = P(X ? x) Propriétés
[PDF] Variables Aléatoires
Lorsque la variable X ne prend que des valeurs discrètes on parle de variable aléatoire discrète Un vecteur aléatoire X : ? ? Rd est une fonction X = (X1
[PDF] Variables aléatoires discrètes Autour de la fonction de répartition
3) Calculer la somme des sauts de F La variable aléatoire X est-elle discrète ? Ex 3 Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions de répartition d'une
[PDF] Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes
c) Calculer P(X ? 3) Exercice 5 2 : Définition : La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète est la fonction réelle définie par :
[PDF] Chapitre 2 Variables aléatoires
Définition Une variable aléatoire notée (v a) est dite discrète si saut de la fonction de répartition a pour hauteur la dernière probabilité sommée
[PDF] Variables aléatoires discrètes - Mathieu Mansuy
Pour déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète X on ne donne généralement pas la fonction de répartition mais on explicitera plus simplement : (i) l
[PDF] Chapitre 14 Variables aléatoires discrètes
La fonction de répartition d'une VARD X est constante par morceaux 1 Cas d'une VARD finie : X(?) = {x1 xn} avec x1 < x2
Comment calculer la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète ?
Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?,x]) = P(X ? x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x?).Comment définir la fonction de répartition ?
b - Représentation graphique de la fonction de répartition F de X : F(x) = 1 - 1/x2 sur [1,+?[. C'est une fonction strictement croissante (de dérivée f), nulle en 1 et admettant y = 1 comme asymptote horizontale à l'infini.Comment déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire continue ?
La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction définie pour tout t ? R par FX (t) = P(X ? t). Autrement dit, FX (t) est la probabilité de l'événement ”la valeur de X est inférieure ou égale `a t”.- Définition : Variance d'une variable aléatoire discrète
Cela peut être calculé en utilisant la formule suivante : V a r ( �� ) = �� ? ( �� ? �� ) ? , ? où �� = �� ( �� ) = ? ( �� × �� ( �� = �� ) ) est l'espérance de �� et �� représente toutes les valeurs que �� peut prendre.
Probabilites continues
Julie Delon
1/99Plan du cours
PART 1: Introduction
PART 2: Esperance, variance, quantiles
PART 3: Lois usuelles
PART 4: Loi normale et cie
PART 5: Lois jointes, independance
PART 6: Theoremes limites
2/99Premiere partie I
Introduction
3/99Du discret au continu
Denition
Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire discreteprend ses valeurs dans un ensemble ni ou denombrablelance de de,X( ) =f1;2;3;4;5;6gnombre de photons emis par une source lumineuse pendant 1s,X( ) =N4/99Du discret au continu
Denition
Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire continuepeut prendre une innite non denombrable de valeurs, par exemple dans un intervalle ou sur toutR.taille des individus d'une population,X( ) = [0;M]temps d'attente a la poste,X( ) =R+taux de cholesterol,X( ) =R+poids a la naissance,X( ) = [0;m]... 4/99 Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu0246810121416051020:15/99
Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu051015051020:15/99
Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu051015051020:15/99
Loi d'une variable aleatoire continue
SiXa une loi continue, la probabilite queXprenne une valeur bien preciseaest en general nulle.On ne peut donc pas denir la loi deXen se contentant de donner ses probabilites elementairesP[X=a] pour touta.SiXdesigne le taux de cholesterol d'un individu, alorsP[X= 0:53969252982mgjl] = 0.On s'interesse plut^ot a la probabilite queXsoit dans un intervalle donne [a;b], ou
qu'il soit inferieur a une valeur donneea. 6/99Du discret au continu
Exercice
On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la loi deX? Comment peut-on la representer graphiquement? Quelle est la probabilite de l'evenementf3 X2 g?7/99Densite de probabilite
Denition
Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive fX:R!R+telle que
P(aXb) =Z
b a fX(x)dxpour tousa;b2R;ab:
Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-
pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +11fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99
Densite de probabilite
Denition
Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive fX:R!R+telle que
P(aXb) =Z
b a fX(x)dxpour tousa;b2R;ab:
Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-
pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +11fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99
Calculer la loi d'une variable a densite, c'est calculer sa densite! 9/99P[X=x]
Si la variable aleatoireXa une densitefX, alors pour toute valeura, la probabilite queXprenne la valeuraest0!!!P(X=a) =P(aXa) =Z
a a fX(x)dx= 0
On s'interesse plut^ot a la probabilite queXprenne ses valeurs dans un intervalle donne [a;b] 10/99Decrire une loi
M^eme terminologie que pour des distributions discretes : dyssymetrie (skewness), moyenne, variance, median, mode, quantiles, etc. 11/99Exercice
Exercice
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des densites de probabilite?1f(x) =8 :x+ 1 si1x01xsi 0x11
0 sinon.2f(x) =(
x2si 0x10 sinon.3f(x) =(
2cos(x) si 0x2
0 sinon.4f(x) =(
34(1x2) si1x1
0 sinon.
12/99Fonction de repartition
Denition
Lafonction de repartitiond'une variable aleatoireXest la fonction denie pour tout t2Rpar FX(t) =P(Xt):
Autrement dit,FX(t) est la probabilite de l'evenement "la valeur deXest inferieure ou egale at".F XF XFigure:Exemples de fonctions de r epartitiond'une va riablediscr eteet d'une va riablecontinue. 13/99Proprietes de la Fonction de repartition
FX(t)2[0;1] pour toutt2R;F
Xest une fonctioncroissantelim
x!1FX(x) = 0 et limx!+1FX(x) = 1pour toutaProposition
Si la fonction de repartitionFXest derivable, alorsXest une variable a densite et sa densite est la derivee deFX: fX=F0XExercice
On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la fonction de repartition de la loi deX?15/99Deuxieme partie II
Esperance, variance, quantiles
16/99Esperance
Denition
SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, son esperance estE[X] =Z
R tfX(t)dt;
lorsque cette integrale est bien denie.Si l'integrale precedente n'est pas convergente, alors l'esperance deXn'est pas denie.
E[X] est une moyenne ponderee des valeurs que peut prendreX. 17/99Proprietes de l'esperance
Proposition
Soient X et Y deux variables aleatoires et2Run nombre reel, on a alorsE() =E(X) =E(X)E(X+) =E(X) +E(1X+2Y) =1E(X) +2E(Y)BAttention cependant, meme si l'esperance admet beaucoup de proprietes qui la
rendent agreable, elle ne respecte pas en general la multiplication (E(XY)6=E(X)E(Y)), sauf pour des variables independantes. 18/99Proprietes de l'esperance
Proposition
SoientXune variable aleatoire continue de densitefX, etg:R!Rune fonction quelconque. L'esperance deg(X) se calcule ainsi :E(g(X)) =Z
R g(x)fX(x)dx:BIl se peut tres bien queE(g(X)) n'existe pas alors queE(X) existe! 19/99Esperance
Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?1050510051020:10:150:220/99Esperance
Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?105051000:10:20:30:420/99Variance
Denition
SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, sa variance estVar[X] =E[(XE[X])2] =Z
R (tE[X])2fX(t)dt =E[X2]E[X]2=Z R t2fX(t)dt Z R tfX(t)dt
2lorsque ces integrales sont bien denies.La variance est un nombre positif, qui peut ^etre inni m^eme si l'esperance existe.
Denition
L'ecart-typed'une variable aleatoireXest la racine carree de sa variance : (X) =pVar(X):21/99Proprietes de la variance
Proposition
Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() =Var(X+) =Var(X) =22/99Proprietes de la variance
Proposition
Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() = 0Var(X+) =Var(X)Var(X) =2Var(X)22/99
Variance
Que pouvez-vous dire des variances de ces densites?105051000:10:20:30:423/99Quantile
Denition
Lesquantilesd'une distributionfsont les valeurs permettant de diviser le support dela distribution en intervalles de poids egaux.On parle de q-quantile lorsqu'on divise le poids de la distribution en q intervalles. Il y
en aq1Par exemple2-quantile = median
3-quantile = tercile
4-quantile = quartile
10-quantile = decile
Lesq-quantiles de la distributionfXde fonction de repartitionFXsont les valeurs F 1 Xiq ;i2 f1;:::;q1g 24/99Exercice
Exercice
SoitXune variable aleatoire de densite
fX(x) =(
43x1=3si 0x1
0 sinon.1Quelle est la fonction de repartition deX?2Quelle est l'esperance deX?3Quelle est la variance deX?4Quelle est la probabilite de l'evenementf13
X12 g?5Quelles sont les terciles de la loi deX?25/99 Decrire une loi : relation entre moyenne et median 26/99Cas des lois symetriques
Si une loi est symetrique par rapport a la valeur, sa moyenne et sa mediane concident et valent. Dans ce cas, soniemeq-quantile et son (qi)emequantile sont symetriques l'un de l'autre par rapport aa: F1 Xiq =F1 Xqiq F 1X(110)F
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