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Chapitre 21

Variables aléatoires Discrètes

Table des matières

1 Généralités sur les variables aléatoires

3

1.1 définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Fonction de répartition d"une variable aléatoire.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Variable aléatoire discrète3

2.1 Définition et exemple

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 sce associé à une variable aléatoire discrète.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Image d"une variable aléatoire discrète par une fonction.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Lien entre la fonction de répartition et la loi d"une vad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Moments (Espérance et Variance)

6

3.1 Espérance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Variance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Lois usuelles9

4.1 Loi géométrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Loi de Poisson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Preuves et solutions11

5.1 Preuves

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Solutions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2Variables aléatoires DiscrètesECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Variables aléatoires Discrètes31 Généralités sur les variables aléatoires

1.1 définitionDéfinition 1. (Variable aléatoire)

Une variable aléatoire réelleXsur un espace probabilisé(Ω,A,P)est une application deΩdansRtelle que

Nous avons déjà vu que cet évènement se note? ou? des valeurs prises parXque l"on appellera support deX.

1.2 Fonction de répartition d"une variable aléatoire.Définition 2. (Fonction de répartition)

SoitXune variable aléatoire réelle sur(Ω,A,P). On appelle fonction de répartition deXla fonction réelleFX

définie deRdansRparF SoitXune variable aléatoire réelle sur(Ω,A,P)etFXsa fonction de répartition.

1.?t?R,FX(t)?[0,1]

2.FXest une fonction croissante surR

3.limt→-∞FX(t) = 0etlimt→+∞FX(t) = 1

SoitXune variable aléatoire réelle sur(Ω,A,P)etFXsa fonction de répartition.

2.?a?R,P(X > a) = 1-FX(a)

2 Variable aléatoire discrète

2.1 Définition et exemple

La notion de variable aléatoire discrète est basée sur celle d"ensemble infini dénombrable.Définition 3. (Ensemble dénombrable)

Un ensembleEest ditinfini dénombrablesi il existe une bijection deNversE. Autrement dit, siEest

infini qu"on peut numéroter les éléments deE.(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

4Variables aléatoires DiscrètesExemple 1.

N,N?,ZetN2sont infinis dénombrables.

R,R+et[0,1]sont infinis non dénombrables.Définition 4. (variable aléatoire discrète)

On dit queXest une variable aléatoire discrète siX(Ω)est fini ou infini dénombrable.Définition 5. (Loi d"une variable aléatoire)

SoitXune variable aléatoire discrète, on appelle loi de probabilité deXl"ensemble des couples?

k,P(X=k)?

tels quek?X(Ω).Exercice de cours 1.On effectue une infinité de lancer de dé et on noteXle nombre de lancers

nécessaires à l"obtention du premier1. On considère queX= 0si on obtient pas de1. Déterminer la loi

deX.Proposition 3. (Propriétés élémentaires de la loi d"une variable aléatoire.) SoitXune variable aléatoire discrète qui prend ses valeurs surN. 1.

P ourtout k?N,P(X=k)?[0,1].

2. k≥0P(X=k)converge et∞? k=0P(X=k) = 1.Proposition 4. (Caractérisation d"une loi de variable aléatoire.)(admis) Une suite(pk)k?Ndéfinit une loi de probabilité si

1.?k?I,pk≥0

2. k≥0P(X=k)converge et∞? k=0p

k= 1.Exercice de cours 2.SoitXune variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(Ω,T,P), telle

queX(Ω) =N.

On a, pour toutk?N,P(X=k) =3k-2c(k+ 1)!. Déterminerc.2.2 sce associé à une variable aléatoire discrète.

Proposition 5. (s.c.e. associé à une variable aléatoire discrète.)

SoitXune variable aléatoire discrète sur(Ω,A), la famille d"événements{[X=k],k?X(Ω)}est un système

complet d"événements. On l"appelle s.c.e. associé àX.ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Variables aléatoires Discrètes5Proposition 6. ("Découpage" d"un évènement par un s.c.e associé à une v.a.)

SoitXune variable aléatoire discrète sur(Ω,A,P)telle queX(Ω) =NetAun évènement.

La série?

n?NP(A∩(X=n))converge et :

P(A) =+∞?

n=0P(A∩(X=n)).

2.3 Image d"une variable aléatoire discrète par une fonction.

La proposition ci-dessous vous dit que siXest un variable aléatoire discrète, alorsX2aussi, de même queX+1,

X

2+ 2X-3,1X

(siXne s"annule pas), etc. Bref pour tout fonction réellef,f(X)est aussi une variable

aléatoire discrète.Proposition 7. (Image d"une variable aléatoire discrète par une fonction.)

Soitfune fonction deRdansRetXune variable aléatoire discrète définie surΩ. AlorsY=f(X)est une

variable aléatoire discrète définie surΩetY(Ω) ={f(k),k?X(Ω)}.

La proposition ci-dessous vous dit que siXest un variable aléatoire, la loi def(X)se déduit de celle deX.

Par exemple, siX(Ω) =R,P(X2= 4) =?

x?R,x2=4P(X=x) =P(X= 2) +P(X=-2) mais siX(Ω) =R+,P(X2= 4) =? x?R+,x2=4P(X=x) =P(X= 2).Proposition 8. (Loi def(X)) Soitfune fonction deRdansRetXune variable aléatoire discrète définie surΩ. ?y?Y(Ω),P(Y=y) =?

x?X(Ω),f(x)=yP(X=x)Exercice de cours 3. Fonction de répartition deX2etf(X)lorsquefest une bijection croissante

surR

SoitXune variable aléatoire,

1.

Exp rimerFX2en fonction deFX.

2.

Si fune bijection croissante surR, exprimerFf(X)en fonction defXet def-1.2.4 Lien entre la fonction de répartition et la loi d"une vad

Dans cette partie, on utilise l"abréviation "vad" pour "variable aléatoire discrète".Proposition 9. (De la fonction de répartition d"une vad à sa loi)

SoitXune vad (variable aléatoire discrète) à valeur dansN.

Pour toutn?N,P(X=n) =FX(n)-FX(n-1)(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

6Variables aléatoires DiscrètesProposition 10. (De la loi d"une vad à sa fonction de répartition)

SoitXune vad (variable aléatoire discrète)à valeur dansN.

Pour toutn?N,FX(n) =n?

k=0P(X=k)

3 Moments (Espérance et Variance)

3.1 EspéranceDéfinition 6. (Espérance)

SoitXune variable aléatoire discrète définie sur(Ω,A,P)

On dit queXadmet une espérance si la série?

k?X(Ω)kP(X=k)convergeabsolument. Dans ce cas on appelle espérance deXsa somme :E(X) =? k?X(Ω)kP(X=k)(qui est la somme de la série lorsqueX(Ω)est infini). On découvre doncqu"une variable aléatoire peut ne pas avoir d"espérance!si la série? k?X(Ω)kP(X=k)ne

converge pas. Donc pour une variable aléatoire discrète non finieX, avant de calculer son espérance, on s"assure

en général que cette espérance existe. En pratique : ce que vous devez retenir absolument! SiX(Ω)est fini,Xadmet toujours une espérance qui vaut donc :E(X) =? k?X(Ω)kP(X=k) SiX(Ω) =N,Xadmet une espérance si est seulement si la série? k≥0kP(X=k)converge. Dans ce cas, on a :E(X) =+∞? k=0kP(X=k). SiX(Ω) =N?,Xadmet une espérance si est seulement si la série? k≥1kP(X=k)converge. Dans ce cas, on a :E(X) =+∞? k=1kP(X=k) SiX(Ω) =N\ {0,1},Xadmet une espérance si est seulement si la série? k≥2kP(X=k)converge. Dans ce cas, on a :E(X) =+∞? k=2kP(X=k) etc.Proposition 11. (Linéarité de l"espérance)

SoitXetYdes variables aléatoires discrètes qui admettent une espérance etaetbdeux réels. AlorsaX+bet

X+Yadmettent une espérance et on a :

1.E(aX+b) =aE(X) +b

2.E(X+Y) =E(X) +E(Y)ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Variables aléatoires Discrètes7Proposition 12. (Théorème de transfert) Soitfune fonction définie surRetXune variable aléatoire, si la série? k≥0f(k)P(X=k)converge alors la variable aléatoiref(X)admet une espérance et

E(f(X)) =∞?

k=0f(k)P(X=k).

3.2 VarianceDéfinition 7. (Moment d"ordre2, variance, écart-type.)

SoitXune variable aléatoire discrète sur(Ω,A,P). Sous réserve d"existence, on appelle :

Moment d"ordre2deXle nombreE(X2).

Variance deXle nombreV(X) =E?

(X-E(X))2?

Écart-type deXle nombreσ(X) =?V(X).Proposition 13. (Critère pour déterminer si une vad admet une variance)(admis)

Xadmet une variance si et seulement si elle admet un moment d"ordre2, c"est-à-dire si et seulement si la série?

k?X(Ω)k

2P(X=k)converge.

En pratique : ce que vous devez retenir absolument!

SiX(Ω)est fini,Xadmet toujours une variance.

SiX(Ω) =N,Xadmet une variance si est seulement si la série? k≥0k2P(X=k)converge. SiX(Ω) =N?,Xadmet une variance si est seulement si la série? k≥1k2P(X=k)converge. SiX(Ω) =N\ {0,1},Xadmet une variance si est seulement si la série? k≥2k2P(X=k)converge. etc.Proposition 14. (Formule de Koenig-Huygens)(admis) SiXadmet une variance alors elle admet une espéranceet on a :

V(X) =E(X2)-E(X)2

La première partie de cette proposition est importante! Elle a pour conséquence quesi une variable aléatoire

n"admet pas d"espérance, elle n"admet pas de variance.

Maisune v.a. peut admettre une espérance et ne pas admettre de variance.(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

8Variables aléatoires DiscrètesProposition 15. (Deux dernières petites choses sur la variance.)

SoitXune variable aléatoire admettant une variance. 1. Si V(X) = 0alorsXest une variable aléatoire certaine. 2.

P ourtout a,b?R,aX+badmet une variance etV(aX+b) =a2V(X).ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Variables aléatoires Discrètes94 Lois usuelles

4.1 Loi géométrique

Il faut connaître PAR COEUR cette loi, son espérance et sa variance!!Définition 8. (Loi géométrique)

Soitp?[0,1], on dit que la variable aléatoireXsuit une loi géométrique de paramètrep, et on noteX ?→ G(p),

lorsqueX(Ω) =N?ouNet?k?N?,P(X=k) = (1-p)k-1p.

En conséquence, siX(Ω) =N,P(X= 0) = 0.

La proposition ci-dessous vous montre quand est-ce que la loi géométrique est utilisée : c"est loi du rang d"ap-

parition du premier succès lors de la répétition d"une infinité d"épreuves identiques et indépendantes (ou de la

répétition jusqu"au premier succès, ce qui revient au même).Proposition 16. (La loi géométrique est la loi du rang du premier succès)(admis)

Si on effectueune infinité d"épreuves identiques et indépendantesoù chaque épreuve a deux issues :

Le succès, avec la probabilitép

L"échec, avec le probabilité1-p

et si on noteXla variable aléatoire égale aurang d"apparition du premier succès, c"est-à-dire au nombre

d"épreuves nécessaires à l"obtention du premier succès.

AlorsX ?→ G(p)

Attention :La loi géométrique est la loi du rang d"apparition du premier succès lors de la répétition d"une

infinitéd"épreuvesidentiques et indépendantes. Nous avons déjà rencontré des expérience ou le nombre de

lancers maximal était fixé à l"avance. Par exemple : on lance 10 fois un dé, on noteXle rang d"apparition du

premier6,Xprend la valeur0si on n"obtient aucun6. Dans ce cas,Xne suit pas la loi géométrique ci-dessus

puisque déjà on n"a pasX(Ω) =N?ouN(on aX(Ω) =J0,10K(mais elle suit une loi très proche, appelée loi

géométrique tronquée).

Dans l"exemple 1 vu au début de ce chapitre, la variable aléatoireXcomptant le rang du premier1obtenu lors

d"une infinité de lancers de dé suit la loi géométriqueG?16 .Proposition 17. (Espérance et Variance d"une loi géométrique)(Voir la preuve) SiX ?→G(p), alorsXadmet une espérance et une variance et on a :

E(X) =1p

etV(X) =1-pp

2(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

10Variables aléatoires Discrètes4.2 Loi de Poisson

Il faut connaître PAR COEUR cette loi, son espérance et sa variance!!Définition 9. (Loi de Poisson)

Soitλ?R?+, on dit que la variable aléatoireXsuit une loi de Poisson de paramètreλ, et on noteX ?→P(λ),

lorsqueX(Ω) =Net?k?N,P(X=k) =e-λλkk!.Proposition 18. (Espérance et Variance de la loi de Poisson)(Voir la preuve)

SiX ?→P(λ), alorsXadmet une espérance et une variance et on a :

E(X) =λetV(X) =λECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Variables aléatoires Discrètes115 Preuves et solutions

5.1 PreuvesPreuve de la proposition1

1.

Bien se rapp elerque FXest une probabilité.

2. 3. Comme FXest croissante surR, elle admet une limite en-∞et+∞. lim et lim Or

4.FXest croissante donc elle admet une limite à gauche et à droite en tout point.

Soitt0?R. Montrons queFXest continue à droite ent0, c"est-à-dire quelim t→t+ 0F

X(t) =FX(t0).

On sait quelim

t→t+ 0F

X(t)existe et quelim

t→t+ 0F

X(t) = limn→+∞FX?

t 0+1n

Orlimn→+∞FX?

t 0+1n = lim n→+∞P? = lim n→+∞P? n? k=1? P k=1? (retour à la proposition 1)Preuve de la proposition17

Prouvons déjà queXadmet une variance en prouvant qu"elle admet un moment d"ordre2, c"est-à-dire en prouvant

que la série? k≥0k

2P(X=k)converge (et au passage on calculera sa somme qui sera doncE(X2)).

Pour cela, nous allons calculer sa somme partielle puis faire tendrenvers+∞.(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

12Variables aléatoires DiscrètesPour toutn≥0,

n k=0k

2P(X=k) =n?

k=0k

2(1-p)k-1p

=pn? k=1k

2(1-p)k-1ça ressemble à la dérivée seconde d"une série géométrique, on va s"y ramener.

=pn? k=1(k(k-1) +k)(1-p)k-1 =pn? k=1k(k-1)(1-p)k-1+pn? k=1k(1-p)k-1 =p(1-p)n? k=2k(k-1)(1-p)k-2+pn? k=1k(1-p)k-1

Orlimn→+∞n

k=2k(k-1)(1-p)k-2=2(1-(1-p))3=2p

3(somme de la dérivée seconde d"une série géométrique)

et :limn→+∞n k=1k(1-p)k-1=1(1-(1-p))2=1p

2(somme de la dérivée d"une série géométrique)

Donclimn→+∞n

k=0k

2P(X=k) =p(1-p)×2p

3+p×1p

2=2-pp

2.

DoncXadmet un moment d"ordre2etE(X2) =2-pp

2.

DoncXadmet une variance et une espérance.

Calculons son espérance :

Pour toutn≥0,n?

k=0kP(X=k) =n? k=0k(1-p)k-1p=pn? k=1k(1-p)k-1

DoncE(X) = limn→+∞pn?

k=1k(1-p)k-1=p×1(1-(1-p))2=1p

Et enfin,V(X) =E(X2)-E(X)2=2-pp

2-1p

2=1-pp

2.

(retour à la proposition 17)ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Variables aléatoires Discrètes13Preuve de la proposition18

Prouvons déjà queXadmet une variance en prouvant qu"elle admet un moment d"ordre2, c"est-à-dire en prouvant

que la série? k≥0k

2P(X=k)converge (et au passage on calculera sa somme qui sera doncE(X2)).

Pour cela, nous allons calculer sa somme partielle puis faire tendrenvers+∞.

Pour toutn≥0,

n k=0k

2P(X=k) =n?

k=0k

2e-λλkk!

=e-λn? k=0k

2λkk!ça ressemble à une série exponentielle. On va s"y ramener

On va simplifier lek2et lek!parkpour cela on prend soin de ne pas diviser par0en enlevant le terme de rang0

de la somme. Ce rang est de toute façon nul. n k=0k

2P(X=k) =e-λn?

k=1k

2λkk!

=e-λn? k=1kλ k(k-1)! =e-λn? k=1(k-1 + 1)λk(k-1)! =e-λn? k=1(k-1)λk(k-1)!+λk(k-1)! =e-λn? k=1(k-1)λk(k-1)!+e-λn? k=1λ k(k-1)! =e-λn? k=2(k-1)λk(k-1)!+e-λn? k=1λ k(k-1)! =e-λn? k=2λ k(k-2)!+e-λn? k=1λ k(k-1)! =e-λn-2? k ?=0λ k?+2k ?!+e-λn-1? k ?=0λ k?+1k =λ2e-λn-2? k ?=0λ k?k ?!+λe-λn-1? k ?=0λ k?kquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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