[PDF] Correction - TD n°6 - Électrostatique 1 Cartes de lignes de champ

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Physique Correction - TD n°6 - ÉlectrostatiqueCorrection - TD n°6 - Électrostatique1 Cartes de lignes de champ électrostatique

1. Une ligne de c hampe sttangen teen tout p ointau v ecteurc hampélectrique. 2.

Le signe des c hargesse détermine sac hantque les lignes de c hampd ivergentdes c hargesp ositiveset

convergent vers les charges négatives.

•Sur la figure de gauche, il y a une charge négative à gauche et une charge positive à droite. On observe

une annulation du champ (lignes de champ qui se croisent) du côté de la charge négative, à une distance

d, sachant que les deux charges sont distantes de2d. En projection sur l"axe des deux charges : 0 =

14π?0?

q1d

2+q2(3d)2?

On en déduit :

q1q 2=-19 . La charge totale est positive, ce qui est cohérent avec les lignes de champ à grande distance puisque celles-ci divergent des charges.

•Sur la figure de droite, il y a deux charges positives. On observe une annulation du champ à un quart

de la distance séparant les deux charges posée égale à4d. En projection sur l"axe des deux charges :

0 =

14π?0?

q1d

2-q2(3d)2?

On ne déduit :

q1q 2=19 . La charge totale est bien positive comme précédemment puisque celles-ci divergent des charges à grande distance. 3. P ourtrace rla carte de c hamp,on utilise les régles su ivantes:

À courte distance, les lignes de c hampcon vergentradialemen tv ersles c hargesp ositiveset div ergent

radialement des charges négatives.

À grande distance, les lignes de c hampsson tanalogues à celles pro duitespar la c hargetotale (i ci

-3q), et les lignes convergent donc globalement. On c hercheune év entuelleann ulationdu c hampqui se manifeste p arun croisemen tdes lignes de champ. On trouve que celle-ci se produit à distancedde la charge positive, et2dde la charge négative. 4.

On obtien tla figure ci-dessous :

2 Théorème de l"extremum

Démonstration par l"absurde : on suppose qu"il existe un point A extremum (maximum par exemple) de

potentiel électrostatique dans une zone de l"espace non chargée. Il existe donc nécessairement une équipoten-

tielle du champ électrostatique entourant le point A, et ne passant pas par A. Le flux de?Eà travers cette

surface équipotentielle est nécessairement positif car en tout point de celle-ci, le champ est normal à la surface,

et orienté de l"intérieur vers l"extérieur. On en déduit donc qu"il existe nécessairement une charge positive à

l"intérieur de cette surface équipotentielle. C"est absurde, ce qui démontre la proposition annoncée.MP

2- Année 2021/2022 1 Lycée Janson de Sailly

Physique Correction - TD n°6 - Électrostatique A

Surface

Equipotentielle

E

Remarque: Il est donc impossible de piéger une particule chargée dans un champ électrostatique. Néan-

moins, il est possible de réaliser un piège en utilisant un champ variant dans le temps. En effet, un potentiel

en selle de cheval se retournant dans un temps très court par rapport au temps nécessaire à la particule pour

sortir permet de réaliser un piège. C"est le principe du piège de Paul.

3 Calculs de champs

?Ecréés par des distributions de charges

Voir énoncé.

4 Champ électrique dans une cavité

1. En utilisan tle théorème de Gauss, on mon treque ?E1=ρ?O1M3ε0à l"intérieur de la sphère de rayonR1. En utilisant le théorème de superposition avec un champ ?E2créé par la boule de rayonR2et de densité

volumique de charge-ρ, on obtient?Etot(M) =?E1+?E2=ρ?O1O23ε0pour tout point M de la cavité. Le

champ y est donc uniforme. 2. Les lignes de c hampson trectilignes et horizon talesdans la ca vité.

5 Analogie entre l"électrostatique et la gravitation

1.

Prenons un p ointMau centre de la tranche enz= 0. Le plan qui contient ce plan et est perpendiculaire

à l"axezest un plan de symétrie. Les plans perpendiculaires aux axesxetyet contenant ce point sont

aussi des plans de symétries. Donc le champ électrique doit appartenir à ces trois plans, donc à leurMP

2- Année 2021/2022 2 Lycée Janson de Sailly

Physique Correction - TD n°6 - Électrostatiqueintersection qui est réduite au pointM: le champ électrique est donc nul au centre. On peut aussi

arriver au même résultat en remarquant que par symétrie on doit avoir?E(z) =-?E(-z), donc enz= 0

on a?E(0) =-?E(0)c"est-à-dire?E(0) = 0. 2.

En un p ointMhors de l"axe, il y a deux plans de symétrie, celui contenantMet parallèle au plan de la

feuille, et celui contenantMet perpendiculaire à l"axe vertical. Le champ électrique appartient à leur

intersection, c"est-à-dire l"axe(Mz). Commeρ >0, le champ est dirigé vers leszpositifs siMest dans

le demi-planz >0, et vers lesznégatifs dans le cas contraire. 3. Les lignes parten tde part et d"autre du plan z= 0.Oz d

M( )zz

Lignes de champsSurface de gauss

dS4.On applique le théorème de Gauss sur la surface parallélépip édiqueci-dessus, qui con tientle p ointM

sur sa face droite et passe par le centrez= 0sur sa face gauche. ?E·?dS=Qint? 0 ?E·?dS=? bord droit ?E·?dS=?

EdS=E?

dS=E×S

D"autre part,Qint=ρ×V=ρSz.

d"oùE(z) =ρz?

0. C"est-à-dire?E(M) =ρz?

0?ez. On notera que cette expression est valable pour toutz, positif ou négatif. 5. On place main tenantune particule de c harge-qnégative au pointM. L"équation du mouvement

s"obtient à partir du principe fondamental de la dynamique, où la seule force en présence est la force

électrostatique?Fe=-q?E, donc

m d2zdt2?ez=-q?E=-qρ?

0z ?ez

d"où¨z+ω20z= 0 avecω20=ρqm?

0La solution de cette équation différentielle d"ordre deux à coefficients constants est un mouvement

d"oscillations sinusoïdalesà la pulsationω0du type z(t) =z0cos(ω0t)

On se propose maintenant d"utiliser les résultats précédents pour déterminer, à l"aide d"une analogie, la

période d"oscillation du système Solaire dans la Galaxie. On rappelle que la force gravitationnelle exercée par

une massem1sur une massem2s"écrit :

F1→2=-Gm1m2r

212?u
12MP

2- Année 2021/2022 3 Lycée Janson de Sailly

Physique Correction - TD n°6 - Électrostatique6.On v oitsur l"expression ci-dessus que les analogies son tles suiv antes:

q←→m

14π?0←→ -G7.De façon analogue au problème électrostatique précéden t,sac hantqu"on p eutassimiler notre galaxie à

un plan infini de masse homogène, notre système solaire va avoir un mouvement périodique de part et

d"autre du plan médian de la galaxie dont la périodeΩ0est donnée par l"analogue duω0de la question 5.

Comme(-q)←→moùmest la masse de notre système solaire et?0←→ -1/(4πG), celle-ci s"écrit

0=?4πμG

Et en particulier cette fréquence ne dépend plus de la masse du système solaire. Autrement dit, tous

les astres oscillent à la même pulsation de part et d"autre du plan de la galaxie. La période d"oscillation

Ts"en déduit simplement par

T=2πΩ

0=?π

μG ?50millions d"années6 Champ créé par deux fils parallèles de charges opposées

En utilisant le théorème de superposition, et le résultat du potentiel créé par un fil infini, on obtient

V(M) =λ2πε0ln?r2r

1? .MP

2- Année 2021/2022 4 Lycée Janson de Sailly

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