Fonctions de 2 et 3 variables PDF Objectif : chercher les extremums d'

Démontrer la proposition 2.2 (ou au moins l'une des deux propriétés la démonstration étant la même que pour les limites dans R). La définition de la limite d'

TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles

TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles. Exercice 1. qui conduisent à deux valeurs différentes de la limite. La fonction f(x ...

Fonctions de plusieurs variables

1 nov. 2004 1.2 Différentiabilité d'une fonction de deux variables ... en (0 0)

Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R

Concrètement on dessine sur une page en 2 dimensions. Tant qu'on considère des fonctions de R dans R tout va bien (un graphe est alors une courbe

Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Par contre on peut intégrer une fonction de deux variables sur un du champ pr`es de l'axe de la bobine `a l'aide de développements limités).

Fonctions de deux variables

Exo 2. Dessinez le domaine de définition de f := (xy) ?? x ln(x + y) ? y. ? y ? x. Page 5. Graphe. Le graphe Grf d'une fonction f de deux variables

Fonctions de 2 et 3 variables

Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous la contrainte c. Limite de la méthode : pas toujours réalisable.

Fonctions de plusieurs variables

gaz est une fonction de deux variables : sa température T et le volume V Un développement limité `a l'ordre 1 de la fonction f au point x0 est une ...

Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs

Limites et continuité. Dérivées partielles. 2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire.

Fonctions à deux variables

5 juil. 2013 calcul reliées aux fonctions à deux variables que vous ... Une fonction f : Df ? R2 admet en un point M(a b) une limite finie l ? R si.

Fonctionsde2et3variables

AdministrationÉconomiqueetSociale

Mathématiques

XA100M

fonction,onnote f:RR!R: fonction,onnote f:RRR!R: en(x;y;z). noteD(f).

Exemple

Soit f:RR!R (x;y)7!1 xy: couples(x;y)telsquexy6=0.Ainsi

D(f)=f(x;y)2RR:x6=yg:

Ona f(2;3)=1 23=1:

Exemple

Soit g:RRR!R (x;y;z)7!8 :yz xsix6=0

0sinon.

couples(x;y;z).Ainsi

D(g)=RRR:

Ona g(2;3;1)=31 2=3

2etg(0;32;12)=0:

2Extremumssouscontrainte:méthode

f:RR!R (x;y)7!f(x;y) unefonctiondedeuxvariableset c:RR!R (x;y)7!c(x;y) unedeuxièmefonctiondedeuxvariables. celuipourlequelf(x;y)estmaximum.

Uncouple(x

0 ;y 0 )deD(f)estunmaximumsouslacontrainte c(x;y)=0si c(x 0 ;y 0 )=0; f(x;y)f(x 0 ;y 0 celuipourlequelf(x;y)estminimum.

Uncouple(x

0 ;y 0 )deD(f)estunminimumsouslacontrainte c(x;y)=0si c(x 0 ;y 0 )=0; f(x;y)f(x 0 ;y 0 souslacontraintec. f(x;y)deviennentalors

1.soitg(y)=f(h(y);y)danslepremiercas;

2.soitg(x)=f(x;h(x))danslesecondcas.

Exemple

Onconsidèrelafonction

f(x;y)=2xy c(x;y)=2x+3y6: y=22 3x: f(x;y)=f x;22 3x =2x 22
3x etondoitétudierlesextremumsde g(x)=2x 22
3x

Oncalcule

g 0 (x)=8 3x+4:

Ainsig

0 (x)>0pourx<3 2etg 0 (x)<0pourx>3

2etgaun

maximumatteintenx=3

2.Onaalors

y=22 33
2=1: unmaximum,cemaximumestatteinten 32
;1etvaut f 3 2;1 =3:

2x+3y6=0.

3Dérivéespartiellespremièreset

deuxvariablesSoit f:RR!R (x;y)7!f(x;y) unefonctionà2variables. (x;y)si,ladérivéedelafonction f y :R!R x7!f(x;y) existeenx.Onnote @f @x:RR!R (x;y)7!f 0y (x;y):

Pourcalculer@f

considérantycommeunnombreconstant. (x;y)si,ladérivéedelafonction f x :R!R y7!f(x;y) existeeny.Onnote @f @y:RR!R (x;y)7!f 0x (x;y):

Pourcalculer@f

considérantxcommeunnombreconstant.

Exemple

Soit f:RR!R (x;y)7!x 2 p y+y: Ona

D(f)=f(x;y)2RR:y0g:

Siyestconstant,ladérivéedex

2 p y+yparrapportàxest2xp y donc@f @x(x;y)=2xp y:

Sixestconstant,ladérivéedex

2 p y+yparrapportàyest x 21
2p y +1donc @f @y(x;y)=x 2 1 2p y+1: f(x;y)2RR:y>0g6=D(f):

àlapremièreoudeuxièmevariable.

Onnote

2 f @x 2 @x @f @x deuxièmedefparrapportàx.

Onnote

2 f @x@y=@ @x @f @y deuxièmedefparrapportà(x;y).

Onnote

2 f @y@x=@ @y @f @x deuxièmedefparrapportà(y;x).

Onnote

2 f @y 2 @y @f @y deuxièmedefparrapportày. troisvariablesSoit f:RRR!R (x;y;z)7!f(x;y;z) unefonctionà3variables. (x;y;z)si,ladérivéedelafonction f y;z :R!R x7!f(x;y;z) existeenx.Onnote @f @x:RRR!R (x;y;z)7!f 0y;z (x;y;z):

Pourcalculer@f

Demême@f

sibestl'unedeslettresx,yetz, 2 f @a@b=@ @a @f @b deuxièmedefparrapportà(a;b).

Exemple

Soit f(x;y;z)=p y+pquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Exemple

D(f)=f(x;y)2RR:x6=yg:

Exemple

0sinon.

D(g)=RRR:

2etg(0;32;12)=0:

2Extremumssouscontrainte:méthode

Uncouple(x

Uncouple(x

1.soitg(y)=f(h(y);y)danslepremiercas;

2.soitg(x)=f(x;h(x))danslesecondcas.

Exemple

Onconsidèrelafonction

Oncalcule

Ainsig

2etgaun

2.Onaalors

2x+3y6=0.

3Dérivéespartiellespremièreset

Pourcalculer@f

Pourcalculer@f

Exemple

D(f)=f(x;y)2RR:y0g:

Siyestconstant,ladérivéedex

Sixestconstant,ladérivéedex

àlapremièreoudeuxièmevariable.

Onnote

Onnote

Onnote

Onnote

Pourcalculer@f

Demême@f

Exemple