Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables
Démontrer la proposition 2.2 (ou au moins l'une des deux propriétés la démonstration étant la même que pour les limites dans R). La définition de la limite d'
TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles
TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles. Exercice 1. qui conduisent à deux valeurs différentes de la limite. La fonction f(x ...
Fonctions de plusieurs variables
1 nov. 2004 1.2 Différentiabilité d'une fonction de deux variables ... en (0 0)
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
Concrètement on dessine sur une page en 2 dimensions. Tant qu'on considère des fonctions de R dans R tout va bien (un graphe est alors une courbe
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Par contre on peut intégrer une fonction de deux variables sur un du champ pr`es de l'axe de la bobine `a l'aide de développements limités).
Fonctions de deux variables
Exo 2. Dessinez le domaine de définition de f := (xy) ?? x ln(x + y) ? y. ? y ? x. Page 5. Graphe. Le graphe Grf d'une fonction f de deux variables
Fonctions de 2 et 3 variables
Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous la contrainte c. Limite de la méthode : pas toujours réalisable.
Fonctions de plusieurs variables
gaz est une fonction de deux variables : sa température T et le volume V Un développement limité `a l'ordre 1 de la fonction f au point x0 est une ...
Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs
Limites et continuité. Dérivées partielles. 2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire.
Fonctions à deux variables
5 juil. 2013 calcul reliées aux fonctions à deux variables que vous ... Une fonction f : Df ? R2 admet en un point M(a b) une limite finie l ? R si.
Notes du cours MTH1101 - Calcul I
Partie II: fonctions de plusieurs variables
Guy Desaulniers
D´epartement de math´ematiques et de g´enie industriel´Ecole Polytechnique de Montr´eal
Automne 2022
Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesTable des mati`eres1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 2/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres
1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 3/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction de plusieurs variables Une fon ctionfdenvariablesa ssigne` ach aquevec teur (x1,x2,...,xn) de son domaine de d´eifinitionD⊆Rnune valeur r´eelle unique, not´eef(x1,x2,...,xn) : f:D→R (x1,x2,...,xn)→f(x1,x2,...,xn).4/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : domaine et image Dest appel´e led omainede d ´eifinitiond efet l'imageIdefsurD est l'ensemble des valeurs que peut prendrefsurD:Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesIl existe plusieurs fa¸cons de repr´esenter des fonctions de plusieurs
variables :Alg´ebriquementGraphiquement
Num´eriquement
Repr´esentation alg´ebrique
f(x1,x2,x3) =5x21ex2+x3q x21+x22+x23.
6/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRepr´esentation graphique Pour une fonctionf(x,y) de 2 variables, on dessine unesurface au dessus de son domaine de d´eifinitionD.Pour chaque couple (x0,y0)∈D, un seul point (x0,y0,z0)
appartient `a cette surface {(x,y,z)|(x,y)∈D,z=f(x,y)}.7/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesSurface def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy,x,y∈[-3,3] 8/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : courbes de niveau Les c ourbesd en iveaud 'unef onctionf(x,y)de 2 va riabless ontl es courbes d'´equationsf(x,y) =ko`uk∈I.Remarques Des courbes de niveau rapproch´ees indiquent une fortevariation de la fonction dans cette r´egion.Des courbes de niveau ´eloign´ees indiquent que la fonction est
relativement constante dans cette r´egion. 9/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesCourbes de niveau def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy, k∈ {0,2.5,...,17.5,20}10/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRepr´esentation num´eriqueA l'aide d'un tableau :
x3 4 50.022.5 21.0 19.8
y0.521.6 20.7 19.61.021.1 20.7 19.9
1.520.9 21.1 20.6
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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres
1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 12/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition intuitive : limite d'une fonction de 2 variables La l imited ef(x,y) quand (x,y) tend vers (a,b)va utL(i.e., lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =L) si les valeurs def(x,y) peuvent ˆetre rendus aussi proche que l'on veut deLen prenant (x,y) suiÌifiÌisammentproche de (a,b) (mais pas ´egal `a (a,b)).D´eifinition formelle : limite d'une fonction de 2 variables
lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =Lsi, pour toutϵ >0, il existeδ >0 tel que |f(x,y)-L|< ϵ∀(x,y)∈D∩Bδ(a,b), o`uBδ(a,b) ={(x,y)|(x-a)2+ (y-b)2< δ2}.13/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesPour montrer qu'une limite n'existe pas, il suiÌifiÌit de montrer que la
limite est difff´erente le long de deux chemins se rendant en (a,b).Quelques loislim(f(x,y) +g(x,y)) = limf(x,y) + limg(x,y)lim(f(x,y)-g(x,y)) = limf(x,y)-limg(x,y)limf(x,y)g(x,y) = limf(x,y)limg(x,y)limcf(x,y) =climf(x,y) o`uc∈Rlim
f(x,y)g(x,y)=limf(x,y)limg(x,y)si limg(x,y)̸= 014/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction continue Une fonctionfde 2 variables estc ontinuee n( a,b)si lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =f(a,b).Une fonctionfestcon tinuesu rs ond omaineDsi elle est continue en tout point (a,b)∈D.15/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRemarques
Une fonctionf(x,y) est discontinue en (a,b) d`es que lim(x,y)→(a,b)f(x,y) n'existe pas ou que lim (x,y)→(a,b)f(x,y)̸=f(a,b).La surface d'une fonction discontinue contient n´ecessairement un trou ou une fracture. 16/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesPar les lois sur les limites et la d´eifinition de la continuit´e, il
d´ecoule que les sommes, les difff´erences, les produits et les quotients de fonctions continues sont aussi continues sur leur domaine de d´eifinition.En particulier, tout polynˆome est une fonction continue et toute fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est continue sur son domaine. 17/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesProposition
Sifest une fonction continue de 2 variables etgune fonction continue d'une variable d´eifinie sur l'image def, alors la fonction compos´eeh=g◦fd´eifinie parh(x,y) =g(f(x,y)) est aussi continue.Remarque Toutes les d´eifinitions et r´esultats pr´ec´edents se g´en´eralisent aux fonctions de plus de 2 variables. 18/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres
1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 19/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRappel : d´eriv´ee d'une fonction d'une variableSoitf(x) :D⊆R→Reta∈D, alors
f ′(a) =dfdx x=a= limh→0f(a+h)-f(a)h si la limite existe. f ′(a) = taux de variation defau pointx=a = pente de la tangente defau pointx=a f(a+h)-f(a)h sihest petit20/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) :D⊆R2→Ret (a,b)∈D. Lad ´eriv´eep artielled ef par rapport `axen (a,b)es t f x(a,b) =∂f∂x(a,b) = limh→0f(a+h,b)-f(a,b)h si la limite existe. Cette d´eriv´ee donne le taux de variation defpar rapport `ax(en gardanty=bifixe) au point (x,y) = (a,b).De mˆeme, la
d ´eriv´eep artielled efpar rapport `ayen (a,b)es t f y(a,b) =∂f∂y(a,b) = limh→0f(a,b+h)-f(a,b)h .21/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesLorsqueyest ifixe `ab, on peut voirf(x,y) comme une fonction d'une seule variableg(x) =f(x,b). Dans ce cas, fx(a,b) =g′(a).En posantG(y) =f(a,y), on trouve aussify(a,b) =G′(b).Par cons´equent, une d´eriv´ee partielle n'est rien de plus que la
d´eriv´ee d'une fonction d'une seule variable. 22/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesCalcul d'une d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) une fonction de deux variables.Pour calculerfx(x,y), on consid`ereycomme une constante et on d´erive par rapport `ax.Pour calculerfy(x,y), on consid`erexcomme une constante eton d´erive par rapport `ay.D´eifinition : d´eriv´ee partielle d'une fonction denvariablesSoitf(x1,...,xn) :D⊆Rn→Ret⃗a= (a1,...,an)∈D. Alors
f xi(⃗a) = limh→0f(a1,...,ai-1,ai+h,ai+1,...,an)-f(a1,...,an)h si la limite existe. 23/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesApproximation d'une d´eriv´ee partielle Si la fonction n'est pas connue sous forme analytique, on peut quand mˆeme faire des approximations des d´eriv´ees partielles lorsque la fonction est connue num´eriquement ou graphiquement par courbes de niveau. On peut alors utiliser l'une des formules d'approximation suivantes, appel´ees formules aux difff´erences ifinies (hest petit) :f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a,b)h f x(a,b)≈f(a,b)-f(a-h,b)h f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a-h,b)2h24/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ees partielles d'ordre sup´erieur Les d´eriv´ees partielles sont aussi des fonctions qui peuvent ˆetre d´eriv´ees pour obtenir des d ´eriv´eesp artiellesd 'ordresu p´erieurOrdre 2 :fxx(x,y) =∂2f∂x2(x,y)
f yy(x,y) =∂2f∂y2(x,y) f xy(x,y) =∂2f∂y∂x(x,y) f yx(x,y) =∂2f∂x∂y(x,y) Ordre 3 :fxxx(x,y),fyyy(x,y),fxxy(x,y),fxyx(x,y),...Th´eor`emeSifxyetfyxsont continues, alorsfxy=fyx.25/46
Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesTable des mati`eres1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 26/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesPlan tangent `a une surface Soitf(x,y) une fonction de deux variables. L'´equation du plan tangent `a la surfacez=f(x,y) au point (x0,y0,z0) (o`u z0=f(x0,y0)) est donn´ee par :
z=z0+fx(x0,y0)(x-x0) +fy(x0,y0)(y-y0).Approximation lin´eaire Le plan tangent peut servir d'approximation def(x,y) autour de (x0,y0). On parle d'approximationl in´eaireou d el in´earisationd e f(x,y). f(x,y)≈L(x,y) =f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0).27/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesD´eifinition intuitive : fonction difff´erentiable
Une fonctionf(x,y) qui peut ˆetre approxim´ee convenablement par un plan autour d'un point (x0,y0) est dited ifff´erentiablee n( x0,y0).Th´eor`eme Sifxetfyexistent `a proximit´e de (x0,y0) et sont continues en (x0,y0), alorsf(x,y) est difff´erentiable en (x0,y0).28/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesD´eifinition : difff´erentielle Soitf(x,y) une fonction difff´erentiable en (x0,y0). Alors la difff´erentielle def(x,y) en (x0,y0)es td onn´eep ar: dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.Remarque La difff´erentielle mesure la difff´erence entre l'approximation propos´ee parL(x,y) au point (x0+dx,y0+dy) etf(x0,y0), i.e.,L(x,y) =z0+dz.29/46
Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesFonctions denvariablesSoitf(⃗x) =f(x1,x2,...,xn) une fonction denvariables et
a= (a1,a2,...,an) un point du domaine de d´eifinition def(⃗x). Posonsz=f(⃗x).L'´equation du plan tangent def(⃗x) en⃗aest donn´ee par : z=f(⃗a) +nX i=1∂f∂xi(⃗a)(xi-ai).La difff´erentielle def(⃗x) en⃗aest donn´ee par : dz=nX i=1∂f∂xi(⃗a)dxi.30/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesTable des mati`eres1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 31/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesRappel Siy=f(x) o`ux=g(t), alorsy=f(g(t)) est une fonction detet dydt =dydx dxdt .Cas 1 Siz=f(x,y) o`ux=g(t) ety=h(t), alorsz=f(g(t),h(t)) est une fonction detet dzdt =∂z∂xdxdt +∂z∂ydydt .32/46Fonctions de plusieurs variables
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