5. Quelques lois discrètes PDF Quelques lois discr`etes. MTH2302D

5. Quelques lois discrètes

Quelques lois discr`etes. MTH2302D Si X suit une loi de Bernoulli de param`etre p alors on note ... La fonction de répartition de la loi binomiale est.

1 Lois discrètes

1 Lois discrètes 1.2 Loi Binomiale de paramètres (n ?)

Probabilités continues

Loi d'une variable aléatoire : du discret au continu Quelle est la fonction de répartition de la loi de X ? 15 / 99. Page 20. Deuxi`eme partie II.

C- Lois usuelles

C.1- Lois discrètes- Loi de Bernoulli. • Loi : • Moments. E: Tirage dans une urne de Fonction indicatrice de A : 1 ( ) ... Fonction de répartition.

Variables Aléatoires

Variables Aléatoires Discrètes. 2.1 Définition. 2.2 Loi de Probablité. 2.3 Fonction de Répartition. 3. Variables Aléatoires Continues. 3.1 Définition.

Variables aléatoires discrètes Autour de la fonction de répartition

Ex 4. Soit X une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur [01]. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y dans les cas suivants

Lois de probabilité usuelles (rappels) ? ? Université Paris

Fonction de répartition d'une loi discrète Si X est une variable aléatoire de densité f sa fonction ... Espérance et variance dans le cas discret.

Chapitre 2 - Variables Aléatoires

Seul le dernier exemple n'est pas une variable discrète. 1 Loi de probabilité Fonction de répartition. La loi de probabilité d'une variable aléatoire

Cours dintroduction

Loi discrète uniforme . A.2 Lois discrètes classiques . ... La fonction de répartition F et la loi de probabilité P admettent les représentations ...

Probabilités et variables aléatoires

lois les plus utilisées sont décrites : discrètes de Bernoulli; bino- Calculons la fonction de répartition de X. Comme X est positive on a.

[PDF] Fonction de répartition et densité

Nous avons vu au chapitre sur les lois discr`etes la définition générale d'une variable aléatoire X Dans ce chapitre nous avons abordé le cas - facile

[PDF] 5 Quelques lois discrètes - GERAD

Quelques lois discr`etes MTH2302D Si X suit une loi de Bernoulli de param`etre p alors on note La fonction de répartition de la loi binomiale est

Fonction de répartition

A part les lois géométriques les fonctions de répartitions des lois discrètes classiques n'ont pas d'expression analytique simple Lois continues La fonction

[PDF] Variables Aléatoires

La loi de probabilité d'une variable aléatoire permet de connaitre les La fonction de répartition d'une variable discrète est constante par morceaux

[PDF] Variables aléatoires discrètes Autour de la fonction de répartition

1) Calculer la fonction de répartition de Z 2) Si la loi de X a pour densité f est-ce que la loi de Z est encore à densité ?

[PDF] Correction TD no 3

Notons FY la fonction de répartition de Y et FX celle de X Alors aléatoire discrète suivant une loi Binomiale de paramètres n et p ?]0 1[

[PDF] Loi de probabilité continue

Elle est intimement liée à la fonction de répartition de la loi normale (centrée réduite) Clear[x] Integrate[Exp[-x 2] {

[PDF] 1 Lois discrètes

1 Lois discrètes 1 2 Loi Binomiale de paramètres (n ?) notée Bin(n ?) La densité et la fonction de répartition de la loi N(0 1) sont notées par

[PDF] Variables aléatoires discrètes - CPGE Brizeux

est une probabilité sur (X(?)P(X(?)) appelée loi de probabilité de X La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète X est une fonction

[PDF] loi de probabilite dune variable aleatoire discrete

A définition d'une variable aléatoire discrète Une loi de probabilité discrète est définie par les C Fonction de répartition F Définition

Comment calculer la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète ?
Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?,x]) = P(X ? x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x?).
Comment définir la fonction de répartition ?
b - Représentation graphique de la fonction de répartition F de X : F(x) = 1 - 1/x² sur [1,+?[. C'est une fonction strictement croissante (de dérivée f), nulle en 1 et admettant y = 1 comme asymptote horizontale à l'infini.
Quels sont les lois discrètes ?
La loi uniforme discrète décrit un tirage aléatoire à n résultats possibles équiprobables : pile ou face, dé, roulette de casino, tirage d'une carte. La loi triangulaire discrète décrit la somme de deux uniformes indépendantes de même paramètre : résultat du jet de deux dés.
Une loi de probabilité est dite continue quand l'expérience aléatoire associée à cette loi peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle défini, ouvert ou non. Pour une loi continue : la notion de distribution de probabilité n'a plus de sens. car elle donne la probabilité qu'un sujet prenne une valeur donnée.

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5. Quelques lois discretes

MTH2302D

S. Le Digabel,

Ecole Polytechnique de Montreal

A2017 (v2)

MTH2302D: Lois discretes1/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Plan

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes2/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes3/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Epreuve de BernoulliDenition

Uneepreuve de Bernoulliest une experience aleatoire dont le resultat peut ^etre soit unsucces, soit unechec, mais pas les deux simultanement.Exemple 1 On lance une piece une fois et on note le resultat. On appelle succes le fait d'obtenir PILE et echec le fait d'obtenir FACE.Exemple 2 On choisit au hasard une piece produite en serie et on la teste pour detecter les defectuosites. La piece peut ^etre defectueuse (succes) ou conforme (echec).

MTH2302D: Lois discretes4/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Bernoulli

Contexte

Lors d'une epreuve de Bernoulli, soitpla probabilite d'un succes et q= 1pla probabilite d'un echec.

SoitXle nombre de succes. AlorsRX=f0;1get

X(x) =1psix= 0,

psix= 1. SiXsuit une loi de Bernoulli de parametrepalors on note XBernoulli(p)(ou Bern(p)).MTH2302D: Lois discretes5/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Bernoulli (suite)

Theoreme

La fonction de repartition d'une variableXBernoulli(p)est F

X(x) =8

>:0six <0,

1psi0x <1,

1six1:MTH2302D: Lois discretes6/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Esperance et variance

SiXBernoulli(p), alors

1.E(X) =p.

2.V(X) =p(1p).MTH2302D: Lois discretes7/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes8/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale

Contexte

On eectuenrepetitions independantes d'une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp.

SoitXle nombre de succes parmi lesnresultats.

AlorsXsuit uneloi binomialede parametresnetp, denote

XB(n;p).

On aRX=f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes9/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

La fonction de masse d'une variable aleatoireXB(n;p)est p

X(x) =n

x p x(1p)nx pourx2 f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes10/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

La fonction de repartition de la loi binomiale est F

X(x) =xX

k=0 n k! p k(1p)nksix2 f0;1;2;:::;ng.

Siax < a+ 1avecaentier, alorsFX(x) =FX(a).

Comme le calcul deFX(x)est fastidieux lorsque quenest grand, on utilise souvent en pratique une table de loi binomiale (disponible sur le site w ebdu cours ).Exemple 3 Prouver queFX(n) = 1.MTH2302D: Lois discretes11/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Autres caracteristiques

SiXB(n;p), alors :

1.E(X) =np.

2.V(X) =np(1p).

3.Mediane :~x=bnpc.

4.Mode :x=b(n+ 1)pc.Exemple 4

Demontrer que E(X) =np.MTH2302D: Lois discretes12/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 5

Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont defectueux. On pige avec remise 7 articles du lot.

Calculer

1.La probabilite d'observer exactement un article defectueux.

2.La probabilite d'observer au moins 4 articles defectueux.

3.La moyenne et la variance du nombre d'articles defectueux.MTH2302D: Lois discretes13/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale : calcul avec des logiciels

Excel :

X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 0).

X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 1).

I R : p

X(x) =dbinom(x,n,p).

X(x) =pbinom(x,n,p).MTH2302D: Lois discretes14/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale : traces enR

SoitXB(n= 50;p= 0:2).

Fonction de massepX(x):

x=seq(0,50,1); px=dbinom ( x=x, size=50, prob=0.2 ); plot ( x, px, type="h", xlab="x", ylab="p(x)", main="fonction de masse de XB(n=50,p=0.2)"). I

Fonction de repartitionFX(x):

x=seq(0,50,0.1);

Fx=pbinom ( q=x, size=50, prob=0.2 );

plot ( x, Fx, type="s", xlab="x", ylab="F(x)", main="fonction de repartition de XB(n=50,p=0.2)").MTH2302D: Lois discretes15/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 fonction de masse de X~B(n=50,p=0.2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes16/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~B(n=50,p=0.2) x

F(x)MTH2302D: Lois discretes17/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Proportion de succes

SoitXB(n;p)et^p=Xn

laproportion de succesparmi lesn epreuves.

Alors^pest une variable aleatoire et

1.E(^p) =p.

2.V(^p) =p(1p)n

.Exemple 6 Un procede de fabrication produit 5% d'articles non conformes. Un echantillon de 50 unites de cet article est preleve. Quelle est la probabilite qu'il y ait plus de 7% d'articles non conformes dans l'echantillon?

MTH2302D: Lois discretes18/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes19/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique

Contexte

On repete continuellement et de facon independante une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp. SoitXle nombre d'epreuves necessaires pour obtenir un premier succes. AlorsXsuit uneloi geometriquede parametrep, denote

XGeom(p).

On aRX=f1;2;3;:::g.MTH2302D: Lois discretes20/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

La fonction de masse d'une variable aleatoireXGeom(p)ou

XG(p)est

X(x) = (1p)x1ppourx= 1;2;3;:::.

La fonction de repartition d'une variable aleatoireXGeom(p) est F

X(x) =(1(1p)asix2[a;a+ 1[aveca2Neta1,

0sinon.MTH2302D: Lois discretes21/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

Exemple 7

Montrer quepXest une fonction de masse.Exemple 8

Montrer queFX(x) = 1(1p)xsixest entier.MTH2302D: Lois discretes22/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

SiXGeom(p)alors

1.E(X) =1p

2.V(X) =1pp

2.MTH2302D: Lois discretes23/46

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Comment calculer la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète ?

Comment définir la fonction de répartition ?

Quels sont les lois discrètes ?

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5. Quelques lois discretes

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Ecole Polytechnique de Montreal

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1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

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1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

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Epreuve de BernoulliDenition

MTH2302D: Lois discretes4/46

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Loi de Bernoulli

Contexte

SoitXle nombre de succes. AlorsRX=f0;1get

X(x) =1psix= 0,

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Bernoulli (suite)

Theoreme

X(x) =8

1psi0x <1,

1six1:MTH2302D: Lois discretes6/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Esperance et variance

SiXBernoulli(p), alors

1.E(X) =p.

2.V(X) =p(1p).MTH2302D: Lois discretes7/46

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1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes8/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale

Contexte

SoitXle nombre de succes parmi lesnresultats.

XB(n;p).

On aRX=f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes9/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

X(x) =n

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

X(x) =xX

Siax < a+ 1avecaentier, alorsFX(x) =FX(a).

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Autres caracteristiques

SiXB(n;p), alors :

1.E(X) =np.

2.V(X) =np(1p).

3.Mediane :~x=bnpc.

4.Mode :x=b(n+ 1)pc.Exemple 4

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 5

Calculer

1.La probabilite d'observer exactement un article defectueux.

2.La probabilite d'observer au moins 4 articles defectueux.

3.La moyenne et la variance du nombre d'articles defectueux.MTH2302D: Lois discretes13/46

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Loi binomiale : calcul avec des logiciels

Excel :

X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 0).