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5. Quelques lois discrètes

Quelques lois discr`etes. MTH2302D Si X suit une loi de Bernoulli de param`etre p alors on note ... La fonction de répartition de la loi binomiale est.



1 Lois discrètes

1 Lois discrètes 1.2 Loi Binomiale de paramètres (n ?)



Probabilités continues

Loi d'une variable aléatoire : du discret au continu Quelle est la fonction de répartition de la loi de X ? 15 / 99. Page 20. Deuxi`eme partie II.



C- Lois usuelles

C.1- Lois discrètes- Loi de Bernoulli. • Loi : • Moments. E: Tirage dans une urne de Fonction indicatrice de A : 1 ( ) ... Fonction de répartition.



Variables Aléatoires

Variables Aléatoires Discrètes. 2.1 Définition. 2.2 Loi de Probablité. 2.3 Fonction de Répartition. 3. Variables Aléatoires Continues. 3.1 Définition.



Variables aléatoires discrètes Autour de la fonction de répartition

Ex 4. Soit X une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur [01]. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y dans les cas suivants 



Lois de probabilité usuelles (rappels) ? ? Université Paris

Fonction de répartition d'une loi discrète Si X est une variable aléatoire de densité f sa fonction ... Espérance et variance dans le cas discret.



Chapitre 2 - Variables Aléatoires

Seul le dernier exemple n'est pas une variable discrète. 1 Loi de probabilité Fonction de répartition. La loi de probabilité d'une variable aléatoire 



Cours dintroduction

Loi discrète uniforme . A.2 Lois discrètes classiques . ... La fonction de répartition F et la loi de probabilité P admettent les représentations ...



Probabilités et variables aléatoires

lois les plus utilisées sont décrites : discrètes de Bernoulli; bino- Calculons la fonction de répartition de X. Comme X est positive on a.



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Nous avons vu au chapitre sur les lois discr`etes la définition générale d'une variable aléatoire X Dans ce chapitre nous avons abordé le cas - facile 



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Quelques lois discr`etes MTH2302D Si X suit une loi de Bernoulli de param`etre p alors on note La fonction de répartition de la loi binomiale est



Fonction de répartition

A part les lois géométriques les fonctions de répartitions des lois discrètes classiques n'ont pas d'expression analytique simple Lois continues La fonction 



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La loi de probabilité d'une variable aléatoire permet de connaitre les La fonction de répartition d'une variable discrète est constante par morceaux



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1) Calculer la fonction de répartition de Z 2) Si la loi de X a pour densité f est-ce que la loi de Z est encore à densité ?



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Notons FY la fonction de répartition de Y et FX celle de X Alors aléatoire discrète suivant une loi Binomiale de paramètres n et p ?]0 1[



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Elle est intimement liée à la fonction de répartition de la loi normale (centrée réduite) Clear[x] Integrate[Exp[-x 2] { 



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1 Lois discrètes 1 2 Loi Binomiale de paramètres (n ?) notée Bin(n ?) La densité et la fonction de répartition de la loi N(0 1) sont notées par 



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est une probabilité sur (X(?)P(X(?)) appelée loi de probabilité de X La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète X est une fonction 



[PDF] loi de probabilite dune variable aleatoire discrete

A définition d'une variable aléatoire discrète Une loi de probabilité discrète est définie par les C Fonction de répartition F Définition

  • Comment calculer la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète ?

    Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?,x]) = P(X ? x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x?).

  • Comment définir la fonction de répartition ?

    b - Représentation graphique de la fonction de répartition F de X : F(x) = 1 - 1/x2 sur [1,+?[. C'est une fonction strictement croissante (de dérivée f), nulle en 1 et admettant y = 1 comme asymptote horizontale à l'infini.

  • Quels sont les lois discrètes ?

    La loi uniforme discrète décrit un tirage aléatoire à n résultats possibles équiprobables : pile ou face, dé, roulette de casino, tirage d'une carte. La loi triangulaire discrète décrit la somme de deux uniformes indépendantes de même paramètre : résultat du jet de deux dés.
  • Une loi de probabilité est dite continue quand l'expérience aléatoire associée à cette loi peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle défini, ouvert ou non. Pour une loi continue : la notion de distribution de probabilité n'a plus de sens. car elle donne la probabilité qu'un sujet prenne une valeur donnée.

Simulation des lois usuelles avec Matlab1/25

1 Lois discrètes

1.1 Loi de Bernoulli de paramètreθ, notéeBer(θ)

?x? {0,1}, P(X=x) =θx(1-θ)1-x

E[X] =θ V ar[X] =θ(1-θ)

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] = 1-θ+θt.

1.2 Loi Binomiale de paramètres(n,θ), notéeBin(n,θ)

?k? {0,1,...,n}, P(X=k) =Cknθk(1-θ)n-k

E[X] =nθ V ar[X] =nθ(1-θ)

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] = (1-θ+θt)n.

Exemple

On considèreuneurnecontenantNboules,N1boulerouges,N2=N-N1boules noires. On en tire par hasardnboules avec remise. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Posonsp=N1

N, on a :

P(X=k) =Cknpk(1-p)n-k,?k? {0,1,...,n}.

Propriétés

Ê.Ë.Ê. SiXsuit une loiBin(n,θ), alorsn-Xsuit une loiBin(n,1-θ). loiBer(θ), alorsSn=X1+...+Xnsuit une loiBin(n,θ).

KD.GHORBANZADEH

2/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4n=20;

5theta=0.2;

6nb=2000;

7R=binornd(n,theta,nb,1);

8hist(R)

9x=0:1:max(R);

10p1=nb*binopdf(x,n,theta);

11hold on

12plot(x,p1,'*k','linewidth',1);

13box off

14hold off

rhbino.m

0123456789100

50
100
150
200
250
300
350
400
450

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 1 - simulation de la loiBin(n,θ)

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab3/25

1.3 Loi géométrique de paramètreθ, notéeG´eo(θ)

?k?N?, P(X=x) =θ(1-θ)k-1

E[X] =1

θV ar[X] =1-θθ2

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =θt

1-(1-θ)t.

?Remarque Dans certains ouvrages la loiG´eo(θ)est présentée sous la forme : ?k?N, P(X=x) =θ(1-θ)k.

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4theta=.13;

5nb=500;

6R = geornd(theta,nb,1);

7hist(R)

8x=0:1:max(R);

9p1=2*nb*geopdf(x,theta);

10hold on

11plot(x,p1,'*k');

12box off

13hold off

rhgeo.m

KD.GHORBANZADEH

4/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

0510152025303540450

50
100
150
200
250

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 2 - simulation de la loiG´eo(θ)

1.4 LoiBinomialeNégativede paramètres(n,θ),notéeBN(n,θ)

?n?N?,?k?N, P(X=k) =Ckn+k-1θn(1-θ)k

E[X] =n

θV ar[X] =n(1-θ)θ2

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =?θt

1-(1-θ)t?

n

Propriété

SiX1,...,Xnsont des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi G´eo(θ), alorsSn=X1+...+Xnsuit une loiBN(n,θ).

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab5/25

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4theta=.3;

5N=5;

6nb=500;

7R = nbinrnd(N,theta,nb,1);

8hist(R)

9x=0:1:max(R);

10p1=3.2*nb*nbinpdf(x,N,theta);

11hold on

12plot(x,p1,'*k');

13box off

14hold off

rhbineg.m

0510152025303540450

20 40
60
80
100
120
140

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 3 - simulation de la loiBN(n,θ)

KD.GHORBANZADEH

6/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

1.5 Loi de Poisson de paramètreλ, notéeP(λ)

?k?N, P(X=k) =e-λλk k!

E[X] =λ V ar[X] =λ

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =eλ(1-t).

Propriété

SiX1,...,Xnsont des variables aléatoires indépendantes de lois respectives : P(λ1),...,P(λn), alorsSn=X1+...+Xnsuit une loiP(n? k=1λ k).

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4lambda=7;

5nb=1000;

6R = poissrnd(lambda,nb,1);

7hist(R)

8x=0:1:max(R)+1;

9p1=1.7*nb*poisspdf(x,lambda);

10hold on

11plot(x,p1,'*k','linewidth',1);

12box off

13hold off

rhpois.m

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab7/25

0246810121416180

50
100
150
200
250
300
350

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 4 - simulation de la loiP(λ)

1.6 Loi Uniforme sur un ensemble de cardinal fini

?k? {1,...,N}, P(X=k) =1 N

E[X] =N+ 1

2V ar[X] =N2-112.

1.7 Loi d'une variable aléatoire presque sûrement égale à une

valeur constantex0

P(X=x0) = 1

E[X] =x0V ar[X] = 0

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =tx0.

KD.GHORBANZADEH

8/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

2 Lois continues

2.1 Loi Uniforme sur l'intervalle[a,b], notéeU([a,b])

densit´efX(x) =1 b-al1[a,b](x) x-a b-asia < x < b

1 six≥b

E[X] =a+b

2V ar[X] =(b-a)212

fonctioncaract´eristique?X(t) =E[eitX] =eibt-eiat it(b-a).

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4a=2; 5b=7;

6nb=1000;

7R = unifrnd(a,b,nb,1);

8hist(R)

9x = a:0.1:b;

10p1=.55*nb*unifpdf(x,a,b);

11hold on

12plot(x,p1,'k','linewidth',2);

13box off

14hold off

rhunif.m

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab9/25

22.533.544.555.566.570

20 40
60
80
100
120

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 5 - simulation de la loiU([a,b])

2.2 Loi Triangulaire sur l'intervalle[-a,a], notéeΔ([-a,a])

densit´efX(x) =1 a(1-|x|a)l1[-a,a](x) (x+a)2

1-(a-x)2

1 six≥a

E[X] = 0V ar[X] =a2

6 fonctioncaract´eristique?X(t) =E[eitX] =((( sinat 2at 2))) 2

KD.GHORBANZADEH

10/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

Propriété

alorsX-Ysuit une loiΔ([-a,a]).

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4a=3; nb=1000;

5X = unifrnd(0,a,nb,1); %loi uniforme

6Y = unifrnd(0,a,nb,1); %loi uniforme

7hist(X-Y)

8x = -1-a:0.1:a+1;

9p1=.55*nb*(1/a)*(1-abs(x)./a).*(x>=-a & x<=a);

10hold on

11plot(x,p1,'k','linewidth',2);

12box off

13hold off

rhtriag.m -4-3-2-1012340 20 40
60
80
100
120
140
160
180
200

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 6 - simulation de la loiΔ([-a,a])

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab11/25

2.3 Loi Normale de paramètres(m,σ2), notéeN(m,σ2)

densit´efX(x) =1

σ⎷2πe-(x-m)22σ2

E[X] =m V ar[X] =σ2

fonctioncaract´eristique?X(t) =E[eitX] = exp(imt-1

2σ2t2)

transform´eedeLaplace?X(t) =E[etX] = exp(mt+1

2σ2t2).

Propriétés

Ë.Ì.Ê. La densité et la fonction de répartition de la loiN(0,1)sont notées par : ?(x) =1 ⎷2πe-x22Φ(x) =? x ?(t)dt. Ë.Ì.Ë. Pourx?Ron a :Φ(x) + Φ(-x) = 1. Ë.Ì.Ì. Pourα?]0,1[on a :Φ-1(α) + Φ-1(1-α) = 0, oùΦ-1désigne la fonction réciproque deΦ. Ë.Ì.Í. SiXsuit une loiN(m,σ2), alors pourα?= 0et pour toutβ,αX±β suit une loiN(αm±β,α2σ2). Ë.Ì.Î. SiXsuit une loiN(m,σ2), alorsX-m

σsuit une loiN(0,1).

k=1α kXksuituneloiN(n? k=1α kmk,n? k=1α

2kσ2k).

loiN(m,σ2). Alors

Xn=1nn

i=1X ietS2n=1n-1n i=1?Xi-Xn?

2sont indé-

pendants.

KD.GHORBANZADEH

12/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4m=7;

5sigma2=13;

6nb=2000;

7R= normrnd(m,sqrt(sigma2),nb,1);

8hist(R)

10p1=2*nb*normpdf(x,m,sqrt(sigma2));

11hold on

12plot(x,p1,'k','linewidth',2);

13box off

14hold off

rhnormal.m -10-505101520250 50
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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