5. Quelques lois discrètes
Loi de Bernoulli. 2. Loi binomiale. 3. Loi géométrique. 4. Loi hypergéométrique. 5. Loi de Poisson. MTH2302D: Lois discr`etes.
Loi hypergéométrique et loi normale. Comparaison dans les grands
19 août 2017 La différence vient uniquement du fait que le tirage est exhaustif dans un cas et non-exhaustif dans l'autre. La loi binomiale suppose en.
Cours de Statistiques inférentielles
Exemple de la loi binomiale : On réalise n expériences indépendantes et on suppose Remarque : lorsque n est grand la différence entre n et n?1 devient ...
? = ? = ? xn? p yp ? =
En résumé: la loi hypergéométrique H(N ; n ; p) tend vers la loi binomiale. B(n ; p) quand N tend vers l'infini. La différence entre un tirage avec.
7 Lois de probabilité
La variable aléatoire X suit une loi Binomiale de paramètres n et ? qui passe le cap des 2 ans a une probabilité de 2/3 de devenir une grande entre-.
Cours de Probabilités
Il y a une bijection entre l'ensemble des p-combinaisons avec répétition de E et Lorsque n devient grand le calcul des probabilités d'une loi binomiale ...
STT1000 Loi binomiale Loi hypergéométrique Loi géométrique Loi
Quelle est la probabilité que 2 d'entre elles se cassent ? Page 3. Chapitre 2 Lois discrètes 35. A16 c) Vous
Comment mémoriser les lois de probabilité discrètes usuelles sans
on récolte 4 lois principales: binômiale hypergéométrique
Note sur lapproximation de la loi hypergéométrique par la formule
28 nov. 2012 increase in corpuses and secondly
SOLUTION TP no 4 Solution 1. Certaines lois de var peuvent être
Notamment la loi hypergéométrique H(l
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Loi de Bernoulli 2 Loi binomiale 3 Loi géométrique 4 Loi hypergéométrique 5 Loi de Poisson MTH2302D: Lois discr`etes
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En résumé: la loi hypergéométrique H(N ; n ; p) tend vers la loi binomiale B(n ; p) quand N tend vers l'infini La différence entre un tirage avec
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Fonction de masse de la loi binomiale n=20 et p=0 5 24 Lorsque A est grand comparé `a n la distribution hypergéométrique est prati-
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19 mar 2020 · VIII Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson A \ B est appelé différence simple entre A et B
Quelle est la différence entre la loi binomiale et la loi de Bernoulli ?
Pour chaque expérience appelée épreuve de Bernoulli, on utilise une variable aléatoire qui prend la valeur 1 lors d'un succès et la valeur 0 sinon. La variable aléatoire, somme de toutes ces variables aléatoires, compte le nombre de succès et suit une loi binomiale.Quand utiliser la loi hypergéométrique ?
Utilisez la loi hypergéométrique avec des populations très faibles afin que le résultat d'un essai ait un effet important sur la probabilité selon laquelle le résultat suivant sera un événement ou un non-événement. Par exemple, dans une population de 10 personnes, 7 sont du groupe sanguin O+.Comment savoir si c'est une loi binomiale ?
En résumé, pour justifier que X suit une loi binomiale, il suffit de dire que :
1on répète des épreuves identiques et indépendantes.2chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec).3X compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.- La loi binomiale s'applique donc quand il y a un nombre défini de répétitions d'une même expérience dans les mêmes conditions. La probabilité de succès est constante à chaque tirage.
1/52/5 3/5 4/5 5/5
5. Quelques lois discretes
MTH2302D
S. Le Digabel,
Ecole Polytechnique de Montreal
A2017 (v2)MTH2302D: Lois discretes1/46
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Plan1. Loi de Bernoulli
2. Loi binomiale
3. Loi geometrique
4. Loi hypergeometrique
5. Loi de Poisson
MTH2302D: Lois discretes2/46
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1. Loi de Bernoulli
2. Loi binomiale
3. Loi geometrique
4. Loi hypergeometrique
5. Loi de Poisson
MTH2302D: Lois discretes3/46
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Epreuve de BernoulliDenition
Uneepreuve de Bernoulliest une experience aleatoire dont le resultat peut ^etre soit unsucces, soit unechec, mais pas les deux simultanement.Exemple 1 On lance une piece une fois et on note le resultat. On appelle succes le fait d'obtenir PILE et echec le fait d'obtenir FACE.Exemple 2 On choisit au hasard une piece produite en serie et on la teste pour detecter les defectuosites. La piece peut ^etre defectueuse (succes) ou conforme (echec).MTH2302D: Lois discretes4/46
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Loi de Bernoulli
Contexte
Lors d'une epreuve de Bernoulli, soitpla probabilite d'un succes et q= 1pla probabilite d'un echec.SoitXle nombre de succes. AlorsRX=f0;1get
pX(x) =1psix= 0,
psix= 1. SiXsuit une loi de Bernoulli de parametrepalors on note XBernoulli(p)(ou Bern(p)).MTH2302D: Lois discretes5/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi de Bernoulli (suite)
Theoreme
La fonction de repartition d'une variableXBernoulli(p)est FX(x) =8
>:0six <0,1psi0x <1,
1six1:MTH2302D: Lois discretes6/46
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Esperance et variance
SiXBernoulli(p), alors
1.E(X) =p.
2.V(X) =p(1p).MTH2302D: Lois discretes7/46
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1. Loi de Bernoulli
2. Loi binomiale
3. Loi geometrique
4. Loi hypergeometrique
5. Loi de Poisson
MTH2302D: Lois discretes8/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi binomiale
Contexte
On eectuenrepetitions independantes d'une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp.SoitXle nombre de succes parmi lesnresultats.
AlorsXsuit uneloi binomialede parametresnetp, denoteXB(n;p).
On aRX=f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes9/46
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Loi binomiale (suite)
La fonction de masse d'une variable aleatoireXB(n;p)est pX(x) =n
x p x(1p)nx pourx2 f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes10/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi binomiale (suite)
La fonction de repartition de la loi binomiale est FX(x) =xX
k=0 n k! p k(1p)nksix2 f0;1;2;:::;ng.Siax < a+ 1avecaentier, alorsFX(x) =FX(a).
Comme le calcul deFX(x)est fastidieux lorsque quenest grand, on utilise souvent en pratique une table de loi binomiale (disponible sur le site w ebdu cours ).Exemple 3 Prouver queFX(n) = 1.MTH2302D: Lois discretes11/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Autres caracteristiques
SiXB(n;p), alors :
1.E(X) =np.
2.V(X) =np(1p).
3.Mediane :~x=bnpc.
4.Mode :x=b(n+ 1)pc.Exemple 4
Demontrer que E(X) =np.MTH2302D: Lois discretes12/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Exemple 5
Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont defectueux. On pige avec remise 7 articles du lot.Calculer
1.La probabilite d'observer exactement un article defectueux.
2.La probabilite d'observer au moins 4 articles defectueux.
3.La moyenne et la variance du nombre d'articles defectueux.MTH2302D: Lois discretes13/46
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Loi binomiale : calcul avec des logiciels
IExcel :
pX(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 0).
FX(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 1).
I R : pX(x) =dbinom(x,n,p).
FX(x) =pbinom(x,n,p).MTH2302D: Lois discretes14/46
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Loi binomiale : traces enR
SoitXB(n= 50;p= 0:2).
IFonction de massepX(x):
x=seq(0,50,1); px=dbinom ( x=x, size=50, prob=0.2 ); plot ( x, px, type="h", xlab="x", ylab="p(x)", main="fonction de masse de XB(n=50,p=0.2)"). IFonction de repartitionFX(x):
x=seq(0,50,0.1);Fx=pbinom ( q=x, size=50, prob=0.2 );
plot ( x, Fx, type="s", xlab="x", ylab="F(x)", main="fonction de repartition de XB(n=50,p=0.2)").MTH2302D: Lois discretes15/461/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 fonction de masse de X~B(n=50,p=0.2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes16/461/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~B(n=50,p=0.2) xF(x)MTH2302D: Lois discretes17/46
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Proportion de succes
SoitXB(n;p)et^p=Xn
laproportion de succesparmi lesn epreuves.Alors^pest une variable aleatoire et
1.E(^p) =p.
2.V(^p) =p(1p)n
.Exemple 6 Un procede de fabrication produit 5% d'articles non conformes. Un echantillon de 50 unites de cet article est preleve. Quelle est la probabilite qu'il y ait plus de 7% d'articles non conformes dans l'echantillon?MTH2302D: Lois discretes18/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
1. Loi de Bernoulli
2. Loi binomiale
3. Loi geometrique
4. Loi hypergeometrique
5. Loi de Poisson
MTH2302D: Lois discretes19/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi geometrique
Contexte
On repete continuellement et de facon independante une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp. SoitXle nombre d'epreuves necessaires pour obtenir un premier succes. AlorsXsuit uneloi geometriquede parametrep, denoteXGeom(p).
On aRX=f1;2;3;:::g.MTH2302D: Lois discretes20/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi geometrique (suite)
La fonction de masse d'une variable aleatoireXGeom(p)ouXG(p)est
pX(x) = (1p)x1ppourx= 1;2;3;:::.
La fonction de repartition d'une variable aleatoireXGeom(p) est FX(x) =(1(1p)asix2[a;a+ 1[aveca2Neta1,
0sinon.MTH2302D: Lois discretes21/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi geometrique (suite)
Exemple 7
Montrer quepXest une fonction de masse.Exemple 8
Montrer queFX(x) = 1(1p)xsixest entier.MTH2302D: Lois discretes22/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi geometrique (suite)
SiXGeom(p)alors
1.E(X) =1p
2.V(X) =1pp
2.MTH2302D: Lois discretes23/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi geometrique : calcul
IExcel : faire les calculs directement.
IR (avecRX=f1;2;:::;g) :
pX(x) =dgeom(x,p).
FX(x) =pgeom(x,p).MTH2302D: Lois discretes24/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5 051015202530
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 fonction de masse de X~G(p=0.2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes25/461/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~G(p=0.2) xF(x)MTH2302D: Lois discretes26/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Exemple 9
On lance un de continuellement jusqu'a l'obtention d'un six. SoitXle nombre de lancers necessaires.
Quels sont la moyenne, la variance, et l'ecart-type deX?MTH2302D: Lois discretes27/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi geometrique (suite)
Theoreme
Propriete d'absence de memoire : siXGeom(p)alors pour tous t;s >0P(X > s+tjX > t) =P(X > s):Exemple 10
Prouver le theoreme.
MTH2302D: Lois discretes28/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Exemple 11
On lance un de continuellement jusqu'a l'obtention d'un 6. SoitX le nombre de lancers necessaires.1.Quelle est la probabilite d'obtenir un premier 6 au deuxieme
lancer?2.Quelle est la probabilite qu'il faille plus de 10 lancers pour
obtenir un 6?3.Si aucun 6 n'a ete obtenu lors des 8 premiers lancers, quelle
est la probabilite qu'au moins deux autres lancers soient necessaires?MTH2302D: Lois discretes29/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
1. Loi de Bernoulli
2. Loi binomiale
3. Loi geometrique
4. Loi hypergeometrique
5. Loi de Poisson
MTH2302D: Lois discretes30/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi hypergeometrique
Contexte
On tire sans remisenobjets d'un ensemble deNobjets dontD possedent une caracteristique particuliere (et les autresNDne la possedent pas). SoitXle nombre d'objets de l'echantillon qui possedent la caracteristique. AlorsXsuit uneloi hypergeometriquede parametresn;N;D, denoteXH(N;D;n). On aRX=fmaxf0;nN+Dg;:::;min(n;D)g.MTH2302D: Lois discretes31/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi hypergeometrique (suite)
La fonction de masse d'une variable aleatoireXH(N;D;n)est pX(x) =
D x ND nx N n pourx2RX.MTH2302D: Lois discretes32/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi hypergeometrique (suite)
SiXH(N;D;n)alors
1.E(X) =nDN
2.V(X) =nDN
1DN NnN1MTH2302D: Lois discretes33/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi hypergeometrique : calcul
IExcel :
pX(x) =LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x,n,D,N, 0).
FX(x) =LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x,n,D,N, 1).
I R : pX(x) =dhyper(x=x, m=D, n=ND, k=n).
F X(x) =phyper(q=x, m=D, n=ND, k=n).MTH2302D: Lois discretes34/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Exemple 12
Une bo^te contient 8 composants parmi lesquels 2 sont defectueux. Trois composants sont pris au hasard et sans remise de la bo^te. SoitXle nombre de composants defectueux dans l'echantillon. Donner la fonction de masse deX, ainsi que E(X)et V(X).MTH2302D: Lois discretes35/461/52/5 3/5 4/5 5/5
1. Loi de Bernoulli
2. Loi binomiale
3. Loi geometrique
4. Loi hypergeometrique
5. Loi de Poisson
MTH2302D: Lois discretes36/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi de Poisson
Une variable aleatoireXsuit uneloi de Poissonde parametre c >0si pX(x) =eccxx!six= 0;1;2;:::.
Ceci est denoteXPoi(c).
Le parametreccorrespond a la moyenne de la loi de Poisson.MTH2302D: Lois discretes37/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Loi de Poisson : calcul
I Livre page 473 (2eme edition) / page 509 (3eme edition) et site web du cours IExcel :
pX(x) =LOI.POISSON (x,c, 0).
FX(x) =LOI.POISSON (x,c, 1).
I R : pX(x) =dpois (x=x, lambda=c).
F X(x) =ppois (q=x, lambda=c).MTH2302D: Lois discretes38/461/52/5 3/5 4/5 5/5 02468
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 fonction de masse de X~Poi(c=2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes39/461/52/5 3/5 4/5 5/5 02468
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~Poi(c=2) xF(x)MTH2302D: Lois discretes40/46
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Exemple 13
Une machine utilisee dans une cha^ne de production tombe en panne en moyenne 2 fois par mois.SoitXle nombre de pannes par mois.
En supposant queXsuit une loi de Poisson, quelle est la probabilite que dans un mois donne la machine1.Ne tombe pas en panne?
2.Tombe en panne au moins deux fois?MTH2302D: Lois discretes41/46
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Loi de Poisson
SiXPoi(c), alors
1.E(X) =c:
2.V(X) =c.Exemple 14
Demontrer que E(X) =c.Exemple 15
Trouver la mediane deXPoi(c= 2).MTH2302D: Lois discretes42/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Processus de Poisson
Considerons un type d'evenement survenant dans le temps. Le comptage du nombre de realisations de l'evenement est un processus de Poissonsi I Pour deux intervalles de temps disjoints, le nombre de realisations dans l'un et l'autre intervalle sont independants. I Pour tout intervalle de temps de dureet, le nombre de realisations suit une loi de Poisson de parametrec=t, ou >0est le nombre moyen de realisations par unite de temps.MTH2302D: Lois discretes43/461/52/5 3/5 4/5 5/5
Exemples supplementaires
Autres situations ou la v.a. suit une loi de Poisson :1.Le nombre de voitures arrivant a un feu de circulation en 5
minutes.2.Le nombre de defauts sur une piece usinee.
3.Le nombre d'erreurs typographiques sur une page d'un livre.
4.Le nombre de clients entrant dans un magasin en une journee.
5.Le nombre de particules alpha emises par un materiau
radioactif en une minute. Remarque :On suppose, dans tous ces exemples, que le nombre moyen de realisations de l'evenement d'inter^et par unite de temps, dimension, nombre d'epreuve, etc., est modere.MTH2302D: Lois discretes44/46
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