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QUELQUES LOIS DISCRETES 83

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- Jt 2021

Chapitre 6 : Quelques lois discrètes

§ 6.0 Quelques formules de base... utiles pour la suite... : a) i i=1n =n(n+1)

2 b) i

2 i=1n =n(n+1)(2n+1) 6 c) (x+y) n =C pn p=0n x np y p (formule du binôme de Newton)

Formules :

a) Calculer : 1 + 2 + 3 + ... + 100 b) Calculer : 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + 100 2 c) Développer : (x + y) 6 d) Calculer le coefficient de x12 y 4 du développement (x + y) 16

Exercice 6.1 :

On peut comparer une démonstration par récurrence au jeu qui consiste à faire tomber une file de pièces de dominos : Considérons une rangée infinie de dominos, étiquetés 1, 2, ..., n, ... où chaque domino est en position verticale. Soit p(n) la proposition "on fait tomber le domino n". Si on arrive à faire tomber le premier domino, autrement dit p(1) est vraie et si, peu importe quand le nième domino est poussé, il fait tomber le (n + 1) ième domino c'est-à-dire p(n) p(n + 1) est vraie, alors tous les dominos peuvent tomber les uns après les autres.

Raisonnement

par récurrence:

Démonstration de i

i=1n =n(n+1)

2 par récurrence :

84 CHAPITRE 6

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- Jt 2021

Démontrer par récurrence :

i 2 i=1n =n(n+1)(2n+1) 6

Exercice 6.2 :

§ 6.1 Variable uniforme discrète :

Exercice d'intro : • On lance un dé à 6 faces. La variable aléatoire X indique le résultat

obtenu lors du lancer.

Montrer que E(X) =

7 2 et que V(X) = 35
12 • On lance un dé à 8 faces. La variable aléatoire X indique le résultat obtenu lors du lancer.

Déterminer E(X) et V(X).

• Des 2 résultats précédents, "devinez" les réponses de la question suivante: On lance un dé à n faces. La variable aléatoire X indique le résultat obtenu lors du lancer.

Déterminer E(X) et V(X).

Définition : Une variable aléatoire X obéit à une loi uniforme discrète si toutes ses valeurs 1, 2, ..., n sont équiprobables :

P(X=k)=1

n1kn

QUELQUES LOIS DISCRETES 85

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- Jt 2021 Histogramme : Histogramme de la loi uniforme discrète sur le jet d'un dé Formules : Soit X une variable aléatoire uniforme discrète. On a

E(X)=n+1

2 • V(X)=n

2 1 12

En utilisant:i

i=1n =n(n+1)

2 et i

2 i=1n =n(n+1)(2n+1) 6, démontrer les 2 formules précédentes.

Exercice 6.3 :

§ 6.2 Variable aléatoire de Bernoulli

Définition :

BERNOULLI Jakob

Suisse, 1654-1705

Considérons une expérience aléatoire avec seulement 2 résultats qu'on désigne par réussite et échec, par exemple le jet d'une pièce de monnaie. On associe à cette expérience la variable aléatoire de Bernoulli X qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur 0 en cas d'échec. On note X = B(p) avec p la probabilité de réussite de l'expérience. La distribution de probabilité est résumée dans le tableau ci-dessous: x i p i

0 1 - p

1 p

Total 1

Formules : Soit X = B(p) une variable aléatoire de Bernoulli. On a • E(X) = p • V(X) = p(1 - p)

Preuve : en complétant le tableau :

x i p i p i x i p i x i2

0 1 - p

1 p

Total 1

86 CHAPITRE 6

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- Jt 2021 Exemple : On considère la variable aléatoire X = B(p). Caractériser puis calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire Y = 1 - X x i p i y i p i y i p i y i2 Total

Y = B(......) E(Y) = .......... V(Y) = .........

On considère la variable aléatoire X = B (p). Caractériser puis calculer l'espérance et la variance des variables aléatoires Y suivantes : a) Y = X 2 b) Y = 1 - X 2

Exercice 6.4 :

On considère les VA indépendantes X = B(p

1 ) et Y = B(p 2 Caractériser puis calculer l'espérance et la variance des variables aléatoires Z. a) Z = XY b) Z = (1 - X)Y

Exercice 6.5 :

On considère les variables aléatoires indépendantes X = Y = Z = B(p). Déterminer la fonction de probabilité des variables aléatoires S. a) S = X + Y b) X + Y + Z

Exercice 6.6 :

QUELQUES LOIS DISCRETES 87

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- Jt 2021 § 6.3 Variable aléatoire binomiale (ou Épreuves de Bernoulli)

Exemple d'intro : tirage avec remise

Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10; 4 boules sont blanches et les 6 autres noires. On tire successivement et avec remise

5 boules de cette urne. Déterminons la fonction de probabilités de la

variable aléatoire X donnant le nombre de boules blanches tirées: x i

Calculs p

i

0 P(X = 0) = C

05 2 5 0 3 5 5 243
3125

1 P(X = 1) = C

15 2 5 1 3 5 4 810
3125

2 P(X = 2) = C

25
2 5 2 3 5 3 1080
3125

3 P(X = 3) = C

35
2 5 3 3 5 2 720
3125

4 P(X = 4) = C

45
2 5 4 3 5 1 240
3125

5 P(X = 5) = C

55
2 5 5 3 5 0 32
3125

Total 1

X = B 5 ; 2 5 On répète n fois, dans les mêmes conditions, une épreuve de Ber- noulli. La réalisation de chaque épreuve est indépendante de la réali- sation des épreuves précédentes. La variable aléatoire X qui donne le nombre de succès apparaissant au cours de ces n expériences est une variable aléatoire binomiale, notée B(n ; p). On considère une séquence particulière d'expériences aboutissant à k succès. L'indépendance des épreuves montre que la probabilité de cet

événement est égale à p

k (1 - p) n-k

Il y a

C kn manières d'obtenir k succès dans une séquence de n

épreuves. On obtient donc la formule:

P(X=k)=C

kn p k (1p) nk

88 CHAPITRE 6

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- Jt 2021 Histogramme : Deux exemples d'histogramme de loi binomiale : Histogramme de B(10 ; 0,1) Histogramme de B(10 ; 0,5) Remarque : Notons que la somme de ces probabilités vaut bien 1 car, par la for- mule du binôme:

P(X=k)

k=0n =C kn p k (1p) nk k=0n =p+(1p) n =1 Formules : Soit B(n ; p) une variable aléatoire binomiale. On a : • E(X)=np • V(X)=np(1p) Exemple : On lance 5 fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. Com- pléter la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le nombre de faces obtenues : x i

Calculs p

i

0 P(X = 0) = =

1 32

1 P(X = 1) = =

5 32

2 P(X = 2) = =

10 32

3 P(X = 3) = =

10 32

4 P(X = 4) = =

5 32

5 P(X = 5) = =

1 32

Total 1

X = B Déterminer le nombre de faces espérées, ainsi que sa variance.

QUELQUES LOIS DISCRETES 89

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- Jt 2021

Si X = B(20;0,2) calculer:

a) P(X = 5) b) P(X 5) c) E(X) d) V(X)

Exercice 6.7 :

Soit X = B(10 ; 0,7), à l'aide de la table binomiale proposée en fin de chapitre (page 101), calculer: a) P(X 3) b) P(4 < X < 8) c) E(X) d) V(X)

Exercice 6.8 :

En utilisant la table binomiale, tracer et comparer les histogrammes de:

X = B(5 ; 0,5), X = B(5 ; 0,2), X = B(5 ; 0,8)

Exercice 6.9 :

On lance 6 fois une pièce de monnaie bien équilibrée. a) Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 faces ? b) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 4 faces ? c) Quel est le nombre de faces espéré ? d) Quelle est la variance de la variable aléatoire donnant le nombre de faces obtenues ?

Exercice 6.10 :

On lance un dé bien équilibré à 5 reprises. a) Calculer la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le nombre de 1 obtenu. b) Calculer l'espérance et la variance de cette variable aléatoire.

Exercice 6.11 :

La probabilité qu'un patient auquel on administre un remède guérisse est de 90%. Quelle est la probabilité que l'on guérisse au moins 18 des 20 patients auxquels on a administré ce remède? Combien de patients peut-on espérer guérir ?

Exercice 6.12 :

On fait une enquête auprès de 500 familles ayant quatre enfants. a) Quel est le nombre espéré de familles ayant au moins un garçon ? b) Quel est le nombre espéré de familles ayant une ou deux filles ?

Exercice 6.13 :

En utilisant la table binomiale, déterminer le mode puis les quartiles de la loi B(20 ; 0,4). Faites apparaître ces valeurs sur l'histogramme suivant :

Exercice 6.14 :

90 CHAPITRE 6

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- Jt 2021 § 6.4 Variable aléatoire hypergéométrique

Exemple d'intro : tirage sans remise

Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10; 4 boules sont blanches et les 6 autres noires. On tire simultanément 3 boules de cette urne. Déterminons la fonction de probabilités de la variable aléatoire X donnant le nombre de boules blanches tirées: x i

Calculs p

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