[PDF] Limites et asymptotes Limites et asymptotes. I. Limites





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Limites et asymptotes

Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [α 



Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Exercice 2.1 Vérifier si la fonction de l'Exercice 1.3 poss`ede une asymptote horizontale. On calcule la limite lim x→∞. 4 - x2 x2 + 3x + 2.



LIMITES DES FONCTIONS LIMITES DES FONCTIONS

( ) = la droite d'équation = est appelée asymptote horizontale à la courbe de la fonction en +∞. Page 3. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – 



LIMITES & ASYMPTOTES ( )

LIMITES & ASYMPTOTES. I) Limtites en + õ et en – õ. 1) Limites intuitives (A Savoir !) Théorèmes (admis): et. 2) Limite des fonctions polynômes. Théorème : ...



Chapitre 9: Identifier la position des asymptotes dune fonction grâce Chapitre 9: Identifier la position des asymptotes dune fonction grâce

Identifier les asymptotes verticales. Exercice 9.2. Évaluer la limite suivante afin de reconnaître l'existence ou non d'une asymptote verticale.



Compléments sur les limites asymptotes et continuité - Lycée d

27 févr. 2017 1) Déterminer la limite de la fonction f en −∞. 2) a) Tracer la courbe Cf puis conjecturer une asymptote oblique ∆ en +∞. b) Démontrer cette ...



Limites de fonctions et asymptotes - Exercices Fiche 2 Limites de fonctions et asymptotes - Exercices Fiche 2

Déterminer la limite de f en + et en - . 4. Montrer que la courbe C f représentative de la fonction f admet une asymptote en + et en - .



Chapitre 2: Limites et Asymptotes

limite ou asymptote verticale) de son domaine de définition. Mais la notion de limite s'utilise également pour appréhender le comportement de la courbe.



1 Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

• Exercice 1 : détermination graphique d'une limite et d'une équation d'asymptote à une courbe. (asymptote verticale et asymptote horizontale). • Exercice 2 



Limites et asymptotes

Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type 



Compléments sur les limites asymptotes et continuité - Lycée d

27 févr. 2017 2.2 Limite en l'infini d'une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . 6. 3 Asymptote oblique. 7. 4 Limites indéterminées avec des ...



Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Exercice 2.1 Vérifier si la fonction de l'Exercice 1.3 poss`ede une asymptote horizontale. On calcule la limite lim x??. 4 - x2 x2 + 3x + 2.



Limites et asymptotes

Limites et asymptotes. A Limites et infini. Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini. Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif 



Chapitre 2: Limites et Asymptotes

La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un trou ou d'un bord (point limite ou asymptote 



LIMITES DES FONCTIONS

Lorsque x tend vers +? la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. 2) Limite infinie à l'infini. Intuitivement :.



Limites asymptotes EXOS CORRIGES

1 (cf exercice précédent) étudiez les limites en 0 des fonctions : 2) Etudier le comportement de f en + ? (limite



Limites et asymptotes

Théorème : la limite en +o (ou en .o) d'une fonction rationnelle est donnée par la limite du quotient de ses termes de plus haut degré. b) Asymptote horizontale 



Limites de fonctions

Asymptote verticale : la droite d ? x = a ( a ? R ) est une asymptote verticale au graphique de la fonction f si et seulement si la limite à gauche ou la 



I Exercices

Chapitre 2 : Limites et asymptotes. I Exercices. 1 Limites sans indétermination de f (notée (Cf )) admet une asymptote horizontale ou verticale.

Limites et asymptotes

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Chap V :Limites et asymptotes

I. Limites en l"infini

1) Limite infinie à l"infini

Définition 1 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite+∞en+∞et on notelimx→+∞f(x) = +∞sif(x)est aussi grand que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit grand, on sous-entend positif ). faire le lien avec tableau de variations

Exemple :limx→+∞x= +∞;limx→+∞x2= +∞;limx→+∞x3= +∞;limx→+∞⎷x= +∞

On définit de mêmelimx→+∞f(x) =-∞parf(x)est aussi grand dans les négatifs que l"on veut dès

quexest assez grand.

On définit encore de manière analoguelimx→-∞f(x) = +∞,limx→-∞f(x) =-∞

(attention toutefois à l"ensemble de définition). Exemple :limx→-∞x=-∞;limx→-∞x2= +∞;limx→-∞x3=-∞

2) Limite finie à l"infini

Définition 2 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite0en+∞et on notelimx→+∞f(x) = 0sif(x)est aussi petit que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit petit, on sous-entend proche de zéro ). On définira de même :limx→-∞f(x) = 0.

Exemple :limx→+∞1

x= 0;limx→+∞1x2= 0;limx→+∞1x3= 0;limx→+∞1⎷x= 0

Exemple :limx→-∞1

x= 0;limx→-∞1x2= 0;limx→-∞1x3= 0

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On peut à présent définir une limite quelconque en l"infini : Définition 3 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: Avoirlimx→+∞f(x) =lest équivalent à avoirlimx→+∞[f(x)-l] = 0 Remarque :limx→+∞f(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→+∞ε(x) = 0. -→démonstration Remarque :Une fonction n"a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsquextend vers fdéfinie surRparf(x) = cos(x)n"a de limite ni en-∞ni en+∞.

II. Limite en un pointa

1) Limite en0

Définition 4 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi grand (positif) que l"on veut dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite+∞en0et on notelimx→0f(x) = +∞. (On définit de mêmelimx→0f(x) =-∞.)

Exemple :limx→01

x2= +∞limx→01⎷x= +∞. Remarque :Une fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de0, on notera alors : lim x→0 x >01 x= +∞etlim x→0 x <01x=-∞ou encorelim x→0 x >01x3= +∞etlim x→0 x <01x3=-∞

On note également parfois :lim

x→0+1 x3= +∞. Définition 5 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi petit que l"on veut (proche de0) dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite0en0et on notelimx→0f(x) = 0. Exemple :limx→0x= 0;limx→0x2= 0;limx→0x3= 0;limx→0⎷ x= 0 Définition 6 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: On dit quefa pour limitelen0lorsque la fonctionx?→f(x)-la pour limite0 en0. Remarque :On peut traduire mathématiquement cette définition par lim x→0f(x) =l?limx→0?f(x)-l?= 0

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2) Limites ena?R

Définition 7 :Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert ena, on dit quefa une limite enasi la fonctionh?→f(a+h)a une limite en0et alors : lim x→af(x) = limh→0f(a+h)

Exemple :On alimx→1?

1 +1 (x-1)2? = lim h→0?

1 +1h2?

Remarque :limx→af(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→aε(x) = 0. Remarque :Sia?Dfet silimx→af(x)existe, alorslimx→af(x) =f(a).

Exemple :Sia >0,limx→a⎷

x=⎷a.

SiPest un polynôme,limx→aP(x) =P(a).

SiRest une fraction rationnelledéfinie ena,limx→aR(x) =R(a).

III. Opérations sur les limites

Dans toute cettte partie les limites des fonctionsfetgsont??aux mêmes points??à savoir+∞, -∞oua?R.

1) Somme

On a le tableau récapitulatif suivant :

limf(x) =lll+∞-∞+∞ limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞ lim?f(x) +g(x)?=l+l?+∞-∞+∞-∞F.I

2) Produit

On a le tableau récapitulatif suivant :

limf(x) =ll >0l <0l >0l <0+∞-∞+∞0 limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞+∞ou-∞

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3) Quotient

On a le tableau récapitulatif suivant :

limf(x) =+∞-∞±∞l <0ou-∞l >0ou+∞0 limg(x) =l?>0l?<0l?>0l?<0±∞0+0-0+0-0 lim?f(x)g(x)? Remarque :•0+(resp.0+) indique que la limite est nulle et que la fonction reste positive (resp. négative). •Il y a quatre formes indéterminées :+∞ - ∞;0× ∞;∞ ∞;00 Remarque :Avec ces régles de calcul et quelques transformations on peut trouver n"importe quelle limite. Exemple :On cherchelimx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?. Si on voit ce polynôme comme une somme de monômes on obtient une F.I. du type +∞ - ∞mais on peut toujours écrirex3-3x2+ 4x+ 1 =x3? 1-3 x+4x2+1x3? aveclimx→+∞x3= +∞etlimx→+∞? 1-3 x+4x2+1x3? = 1-0 + 0 + 0 = 1par somme des limites. On a donc, par produit des limites,limx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?= +∞vu comme??1×+∞??. -→A faire en TD : cas des polynômes et des fractions rationnelles.

IV. Interprétation graphique et asymptotes

1) Asymptote horizontale

Silimx→+∞f(x) =l,

pourMetPles points d"abscissesx, lorsquexprend des valeurs de plus en plus grandes, la distance

PMtend vers0:

On dit alors que la droiteDd"équationy=lest

asymptote horizontaleà la courbeCfau voisinage de+∞. Interprétation graphique pourlimx→-∞f(x) =l 0123

0 1 2 3 4 5 6 7 8

xyx lD Cf PM

Remarque :On peut définir de même l"asymptote d"équationy=len-∞silimx→-∞f(x) =l

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2) Asymptote verticale

Silimx→af(x) =±∞,

on dit que la droiteDd"équationx=aest asymptote verticaleà la courbeCf. PetMsont ici les deux points de même ordonnée et la distancePMtend vers zéro lorsque cette ordonnée dePetMtend vers+∞. Interprétation graphique pourlimx→af(x) =-∞ 01234

0 1 2 3

xyaD Cf

••P M

3) Asymptote oblique

Définition 8 :Soitfune fonction définie sur un intervalle du type[α;+∞[, s"il existe deux réelsa

etbtels quelimx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0on dira que la droiteDd"équationy=ax+b est asymptote obliqueàCfau voisinage de+∞. Remarque :•La méthode de détermination est H.P. •On a nécessairementlimx→+∞f(x) = +∞

Interprétation graphique, avecPet

Mles deux points d"abscissesx, pour

limx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0 01234

0 1 2 3 4 5 6 7 8

xyx

DCf••

PM

On peut de même définir une asymptote oblique au voisinage de-∞silimx→-∞[f(x)-(ax+b)] = 0.

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