[PDF] Limites et asymptotes Théorème : la limite

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Limites et asymptotes 1/3 LIMITES ET ASYMPTOTES

I) Limites des fonctions de référence

A l'infini

· Pour tout entier n > 0 : limn

xx®+¥=+¥ ; 1lim0n xx®+¥= ;

· si n est pair : limn

xx®-¥=+¥ ; 1lim0n xx+

· si n est impair : limn

xx®-¥=-¥ ; 1lim0n xx-

· lim

xx®+¥=+¥ ; 1lim0x x+

En zéro

· 0lim0n

xx®= ; 0lim0x x®=.

· 0

01 limx xx® >=+¥ ; 0 01 limx xx®

· 2

0 01 limx xx® >=+¥ ; 2 0 01 limx xx® , n pairn xx® , n impairn xx® 1, n impairn xx® 1, n pairn xx®

II) Polynômes

Etude à l'infini de 3f:2xxx+a et 3g:2xxx-a. Des études numériques avec des valeurs de x de plus en plus

grandes permettent d'obtenir :

· limf()xx®+¥=+¥ avec

3limxx®+¥=+¥ et lim2xx®+¥=+¥.

· limg()xx®+¥=+¥ avec

3limxx®+¥=+¥ et lim2xx®+¥-=-¥.

Théorème : La limite en +o (ou en .o) d'un polynôme est donnée par la limite de son terme de plus haut degré. III) Fractions rationnelles : asymptotes verticale, horizontale et oblique

1) Etude à l'infini

a) Théorème

Théorème : la limite en +o (ou en .o) d'une fonction rationnelle est donnée par la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.

b) Asymptote horizontale :

Définition : Si limf()xxl®+¥=, alors la courbe représentative C f de f admet en +¥ la droite d'équation yl= comme asymptote horizontale.

Remarque : On a un énoncé analogue en -¥. yl=

O lim()xfxl®-¥=1

C f1 C f2 lim()xfxl®+¥=2 l

Limites et asymptotes 2/3

c) Asymptote oblique :

Définition : Si []limf()()0x

x a xb®+¥-+=, alors la droite d'équation y a xb=+ est asymptote à la courbe représentative C f de f en +¥.

Remarques :

f(x) peut alors s'écrire sous la forme f()()xaxbx=++j avec lim()0x x®+¥j=.

‚ On a un énoncé analogue en -¥.

2) Etude en un réel a borne de l'intervalle de définition

a) Théorème

Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; ...] (ou [... ; a[ ). Si la limite en a du numérateur est un réel non nul et si la limite du dénominateur est 0, alors la limite du quotient est infinie (le signe restant à

préciser). b) Asymptote verticale

Définition : Si on a limf()xax®=±¥, alors la courbe C f représentant la fonctio admet une asymptote verticale d'équation x = a.

IV) Théorèmes sur la limite d'une somme, d'un produit de deux fonctions.

Dans tout ce paragraphe, f et g désignent deux fonctions dont on connaît, pour chacune, la limite " au même

endroit », soit en +¥, soit en -¥, soit en un réel a. l et l' désignent deux nombres réels.

Les théorèmes suivants permettent de conclure dans la plupart des cas ; les cas où l'on ne peut pas conclure

(appelés formes indéterminées) , sont signalés par . La méthode pour traiter ces cas plus difficiles est de

modifier l'écriture (forme factorisée " forme développée) pour changer de théorème à appliquer.

1) Théorème sur la limite d'une somme de deux fonctions

Si lim f est égale à l l l +¥ -¥ +¥ et lim g est égale à l' +¥ -¥ +¥ -¥ -¥ alors lim f + g est égale à l + l' +¥ -¥ +¥ -¥ ? ?

2) Théorème sur la limite d'un produit de deux fonctions

Si lim f est égale à l l ¹ 0 ±¥ 0 et lim g est égale à l' ±¥ ±¥ ±¥ alors lim fg est égale à ll' ±¥ ±¥ ? ?

C f baxy+=O )()(f)(baxxx+-=j

0)(®jx

x

O x = a +¥=-®)(flimxax

C f -¥=+

®)(flimxaxC f

a

Limites et asymptotes 3/3 V) Exemples

1) Soit f la fonction définie sur ]1 ; +¥[ par 21f()1x

xx+=-.

· Limite en 1 : 2

1lim12x

x®+= et puisque 1

1lim10x

xx+ >-=, alors 2 1 11 lim1x xx x La droite d'équation x = 1 est asymptote verticale à C f .

· Limite en +¥ : 22

· Asymptote oblique en +¥ : en montrant que 2f()11xxx=++-, on a

2lim[f()(1)]lim01

xxxxx®+¥®+¥-+==- . La droite d'équation y = x + 1 est donc asymptote oblique à C f en +¥. Remarque : Le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur + 1.

2) Soit g la fonction définie sur R par 2

221g()1x

xx-=+.

Limite en +¥ : 22

22212limlimlim221

x xxxx xx . La droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à C f en +¥.

Remarques :

Le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur. ‚ g(x) peut s'écrire g(x) sous la forme 2()x+j où lim()0x x®+¥j= : en effet 23g()21x x=-+.

O y = x + 1 C f

O y = 2

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