[PDF] Limites de fonctions et continuité - Lycée dAdultes

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DERNIÈRE IMPRESSION LE11 juillet 2021 à 9:30

Limites de fonctions et continuité

Table des matières

1 Limite finie ou infinie à l"infini2

1.1 Limite finie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limite infinie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Limites en l"infini des fonctions de référence. . . . . . . . . . . . . 3

2 Limite en un point3

2.1 Limite infinie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Limites en 0 des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Opérations sur les limites4

3.1 Somme de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Produit de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Quotient de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Limite d"une fonction composée7

5 Théorèmes des gendarmes et de comparaison8

6 Continuité9

6.1 Continuité en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.2 Continuité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.3 Continuité et suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.4 Continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.5 Continuité et équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

1 LIMITE FINIE OU INFINIE À L"INFINI

1 Limite finie ou infinie à l"infini

1.1 Limite finie à l"infini

Définition 1 :Une fonctionfa pour

limite?en+∞, si tout intervalle ouvert contenant?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pourx?]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) =? A xOC fΔ La droiteΔd"équationy=?est diteasymptote horizontaleàCf.

On définit de façon analogue lim

x→-∞f(x) =?avecx?]-∞;B[. Remarque :Aussipetitquesoitl"intervallecontenant?,ilfautpouvoirtrouverA.

Exemple :x?→1

x,x?→1xn,n?N?etx?→1⎷xont des limites nulles en+∞. x?→exa pour limite 0 en-∞. Leurs courbes admettent alors la droite d"équationy=0 (l"axe des abscisses) comme asymptote horizontale.

1.2 Limite infinie à l"infini

Définition 2 :Une fonctionfa

pour limite+∞en+∞, si tout inter- valle]M;+∞|contient toutes les va- leurs def(x)pourxassez grand - c"est

à dire pourx?]A;+∞[. On note alors :

lim x→+∞f(x) = +∞ A]M Cf O

On définit de façon analogue :

lim x→-∞f(x) = +∞de]M;+∞[vers]-∞;B[ lim x→+∞f(x) =-∞de]-∞;m[vers]A;+∞[ lim x→-∞f(x) =-∞de]-∞;m[vers]-∞;B[ Remarque :Aussi grand que soitM, il faut pouvoir trouverA.

Exemple :x?→xn,n?N?,x?→⎷

xetx?→exont pour limite+∞en+∞. x?→xna pour limite+∞en-∞sinest pair et-∞en-∞sinest impair.

PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ

1.3 LIMITES EN L"INFINI DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Une fonction peut tendre vers+∞en+∞

de plusieurs façons. C"est le cas par exemple des fonctionsx?→x2,x?→xetx?→⎷ x. •x?→x2tend " rapidement » vers l"infini.

La concavité est tournée vers le haut.

•x?→xtend "moyennement» vers l"infini.

Pas de concavité.

•x?→⎷xtend " lentement » vers l"infini.

La concavité est tournée vers le bas

Trois façons de

tendre vers+∞ ⎷x x x2 O

1.3 Limites en l"infini des fonctions de référence

f(x)xn1 xn ⎷x1⎷xexeax 0a<0 limx→-∞f(x)+∞npair -∞nimpair0non défininon défini00a>0 +∞a<0

2 Limite en un point

2.1 Limite infinie en un point

Définition 3 :Une fonctionfa pour limite

+∞ena, si tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche de a- c"est à dire pour lesxd"un intervalle ouvert contenanta. On note alors : lim x→af(x) = +∞

La droiteΔd"équationx=aest diteasymptote

verticaleàCf

On définit de façon analogue lim

x→af(x) =-∞ a[]C fM O On définit la limite à gauche ou à droite dex=a lorsque la limite enx=an"existe pas : limite à gauche : lim x→axaf(x)ou limx→a+f(x)

La fonctionx?→1

xn"admet pas de limite en 0, mais admet une limite à gauche et à droite de 0. O limite

à droite

Limite

à gauche

PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ

3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

2.2 Limites en 0 des fonctions élémentaires

f(x)1 xn

1⎷x

limx→0+f(x)+∞+∞ limx→0-f(x)+∞npair -∞nimpairnon défini

2.3 Limite finie en un point

Définition 4 :Une fonctionfa pour

limite?ena, si que tout intervalle ou- vert contenant?contient toutes les va- leurs def(x)pourxassez proche dea.

On note alors :

lim x→af(x) =? aC f O??

Exemple :limx→2x2-1=3.

Une fonction peut ne pas être définie et

admettre une limite ena.

Par exemple la fonctionx?→ex-1

xn"est pas définie en 0 mais : lim x→0e x-1 x=1

Taux d"accroissement de exp en 0.

1 2 3-1-2-31

23456

Of(x) =ex-1x

Remarque :Parfois la fonctionfn"admet pas une li-

mite ena, mais admet une limite à droite et une limite à gauche. C"est le cas de la fonction partie entièreE. On a par exemple : limx→2-E(x) =1 et limx→2+E(x) =2

1 2 3-1

-11 2 O

3 Opérations sur les limites

Soitfetgdeux fonctions etaun réel ou±∞. On note F.I. une forme indéterminée

3.1 Somme de fonctions

limx→af(x)???+∞-∞+∞ limx→a[f(x) +g(x)]?+??+∞-∞+∞-∞F.I.

PAUL MILAN4TERMINALE MATHS SPÉ

3.2 PRODUIT DE FONCTIONS

Exemples :

1) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie surR?par :f(x) =x+3+1

x limx→+∞x+3= +∞ lim x→+∞1 x=0?????

Par somme

lim x→+∞f(x) = +∞

2) Limite en+∞et-∞de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x

lim x→+∞x2= +∞ lim x→+∞x= +∞???

Par somme

lim x→+∞f(x) = +∞ lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞x=-∞???

Par somme, on ne peut conclure

Forme indéterminée :+∞-∞

3.2 Produit de fonctions

limx→af(x)???=00∞ limx→ag(x)??∞∞∞ *Appliquer la règle des signes

Exemples :

1) Limite en-∞de la fonction précédente :f(x) =x2+x

Pour lever la forme indéterminée, on factorisef(x)par le terme prédominant :quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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