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LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)

On dit que la fonction f admet pour limite L en +? si tout intervalle ouvert contenant Donc par somme de limites lim x?+?. ?3+. 2 x. ?. 6.



LIMITES et CONTINUITE

LIMITES et CONTINUITE. I. LIMITES EN L'INFINI a) Limite infinie. Par exemple considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en 



Terminale S Exercices limites et continuité 2011-2012 1 Exercice 1

Terminale S. Exercices limites et continuité. 2011-2012. 1. Exercice 1 : limite finie en l'infini. Soit f la fonction définie sur]0;+ ?[ par f(x) = 3 +.



Limites de fonctions et continuité - Lycée dAdultes

11 juil. 2021 x ?? xn a pour limite +? en ?? si n est pair et ?? en ?? si n est impair. PAUL MILAN. 2. TERMINALE MATHS SPÉ. Page 3 ...



Limite continuité

dérivabilité



Limites et continuité des fonctions – Exercices

b. Page 2. Limites et continuité des fonctions – Exercices – Terminale S – G. AURIOL Lycée Paul 



Douine – Terminale S – Chapitre 2 – Fonctions limites

http://www.vdouine.net/docmaths/ts/tschap2cours.pdf



Limites et continuité

10 oct. 2011 (pensez à la limite du produit !) PAUL MILAN. 10 octobre 2011. TERMINALE S. Page 5 ...



CONTINUITÉ DES FONCTIONS

premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité On considère la fonction f définie sur ? par ( ) = ? 4 + 6.



LIMITES ET CONTINUITÉ

21 sept. 2015 Chapitre : Limites et continuité. Terminale S. 1 Limites à l'infini. 1.1 Limites infinies. Définition 1. Soit f une fonction définie sur un ...

1

Limites et continuité

Table des matières

1 Limites - Rappels de première

2

1.1 Définition

2

1.2 Asymptotes parallèles aux axes

3

1.3 Limites des fonctions élémentaires

3

1.4 Opérations sur les limites

3

1.4.1 Somme de fonctions

3

1.4.2 Produit de fonctions

3

1.4.3 Quotient de fonctions

4

1.4.4 Conclusion

4

1.5 Théorème sur les fonctions polynomes et les fonctions rationnelles

4

1.5.1 Fonction polynôme

4

1.5.2 Fonction rationnelle

5

1.6 Asymptote oblique

6

2 Théorèmes de comparaison et composition de fonctions

7

2.1 Théorème des Gendarmes ou d"encadrement

7

2.2 Limite d"une fonction composée

10

3 Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

11

3.1 Définition

11

3.2 Continuité et dérivabilité

12

3.3 Fonctions continues

13

3.4 Théorème des valeurs intermédiaires

13 PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

21 LIMITES - RAPPELS DE PREMIÈRE1Limites - Rappels de première

1.1

Définition

La définition rigoureuse des différentes limites n"est pas au programme, ce- pendant il est important de définir en langage ordinaire la signification de celles- ci.Définition 1 :Voici les définitions que l"on peut se donner en terminale. lim x!+¥f(x) =`: tout intervalle ouvert de centre` contient toutes les valeurs def(x) prises pour tous lesxd"un inter- valle]A;+¥[. (en¥intervalle]¥;A[)lim x!+¥f(x) = +¥: tout intervalle ouvert]M,+¥[con- tient toutes les valeurs def(x)pri- ses pour tous lesxd"un intervalle ]A;+¥[. (transposer en¥)lim x!af(x) = +¥: tout intervalle]M,+¥[contient toutes les valeurs def(x)prises pour tous lesxd"un intervalle ou- vert centré ena. (]ah;a+h[etx6=a)lim x!af(x) =`: tout intervalle ouvert de centre` contient toutes les valeurs def(x) prises pour tous lesxd"un inter-

valle ouvert centré ena.On peut aussi définir la limite à gauche ou à droite dex=alorsque la limite

enx=an"existe pas. On notera alors : limite à gauche : lim x!axaf(x)PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

1.2 ASYMPTOTES PARALLÈLES AUX AXES31.2Asymptotes parallèles aux axes

Résultat surfInterprétation géométrique sur la courbeCflim x!¥f(x) =lLa droitey=lest asymptote horizontale àCflim x!af(x) =¥La droitex=aest asymptote verticale àCf1.3Limites des fonctions élémentaires Les fonctions élémentaires vues en première sont :

êxn,1x

navecn2N pxet1px

Limites en l"infinif(x)x

n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair

¥sinimpair0non défininon défini

Limites en 0

f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair

¥sinimpairnon défini

1.4

Opérations sur les limites

1.4.1 Somme de fonctions Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite`

0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.

1.4.2

Produit de fonctions

Sifa pour limite``6=00¥

Siga pour limite`

0¥¥¥

alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signesPAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

41 LIMITES - RAPPELS DE PREMIÈRE1.4.3Quotient de fonctions

Sifa pour limite``6=00`¥¥

Siga pour limite`

06=000¥`

0¥ alors fg a pour limite`

0¥*F. ind.0¥*F. ind.

*Appliquer la règle des signes 1.4.4

Conclusion

Il existe donc quatre formes indéterminées où les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure. Dans certains cas, les limites sur les polynômes et les fonctions rationnelles permettent de lever l"indétermination. Lorsque ce n"est pas le cas, il faudra chercher à simplifier, à multiplier par la quantité conjuguée (pour les fonctions irrationnelles), à utiliser un théorème de comparaison, à effectuer un changement de variable ... 1.5 Théorème sur les fonction spolynomes et les fonctions ra- tionnelles 1.5.1

Fonction polynôme Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme

du plus haut degré.

SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors

lim

x!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnExemples :Déterminer les limites en+¥et¥des polynômes suivants :

P(x) =5x33x+1 etQ(x) =2x4+x+3

On applique le théorème sur les limites des polynômes : lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x3= +¥et limx!¥P(x) =limx!¥5x3=¥ lim x!+¥Q(x) =limx!+¥2x4=¥et limx!¥Q(x) =limx!¥2x4=¥ Les limites des polynômes ne posent donc aucun problème avec ce théorème

que vous pouvez démontrer facilement.(pensez à la limite du produit!)PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

1.5 THÉORÈME SUR LES FONCTIONS POLYNOMES ET LES FONCTIONS RATIONNELLES51.5.2Fonction rationnelle

Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur.

Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b

mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmExemples :Déterminer les limites en+¥et¥des fonctions rationnelles suivantes : f(x) =2x+3x2;g(x) =x31x2eth(x) =1xx 2+2x3 On applique le théorème sur les limites des fonction rationnelles : lim x!+¥f(x) =limx!+¥2xx =limx!+¥2=2 et lim x!¥f(x) =limx!¥2xx =limx!¥2=2 lim x!+¥g(x) =limx!+¥x

3x2=limx!+¥x=¥et

lim x!¥g(x) =limx!¥x

3x2=limx!¥x= +¥

lim x!+¥h(x) =limx!+¥xx

2=limx!+¥1x

=0 et lim x!¥h(x) =limx!¥xx

2=limx!¥1x

=0 Les limites en+¥et¥des fonctions rationnelles ne posent donc pas de problème grâce à ce théorème (que vous pouvez aussi démontrer facilement). Pour déterminer les limites des fonctions rationnelles aux valeurs interdites, on utilise la limite du quotient. Exemples :Déterminer la limite enades fonctions suivantes : f(x) =x2+3x+1ena=1 g(x) =x+2(x+3)2ena=3 h(x) =2x2(x1)(2x)ena=2PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

61 LIMITES - RAPPELS DE PREMIÈREComme on cherche les limites aux valeurs interdites le dénominateurs des

trois fonctions tend vers 0 donc il faut déterminer le signe du dénominateur sui- vant que l"on tend à droite ou à gauche de la valeur interdite. Le mieux consiste à faire un tableau de signes lorsque cela n"est pas immédiat (pour le second degré particulièrement comme c"est le cas de la fonctionh(x)). On a alors :

Pour la fonctionf

lim x!1x2+3=4 lim x!1x<1x+1=0 lim x!1x>1x+1=0+9 >>>>>;par quotient, on a lim x!1x<1f(x) =¥ lim x!1x>1f(x) = +¥

Pour la fonctiong

lim x!3x+2=1 lim x!3(x+3)2=0+9 ;par quotient, on a lim x!3g(x) =¥ Pour la fonctionh, il est préférable de dresser un tableau de signe du dénomi- nateur(x1)(2x)qui s"annule enx=1 oux=2. On a donc :x¥1 2+¥(x1)(2x)0 +0 lim x!22x2=8 lim x!2x<2(x1)(2x) =0+ lim x!2x>2(x1)(2x) =09 >>>>;par quotient, on a lim x!2x<2h(x) = +¥ lim x!2x>2h(x) =¥ On a ainsi une asymptote verticale pour la valeur interdite avec une fonction rationnelle. 1.6 Asymptote oblique Définition 2 :Dire que la droiteDd"équationy=ax+b, (a6=0), est asymptote oblique à la courbeCfd"une fonctionfen¥signifie que : lim x!¥[f(x)(ax+b)]=0Exemple :Montrer que la droiteDd"équationy=3x5 est asymptote en+¥et¥à la courbe représentativeCfde la fonctionf. On déterminera les positions relatives deCfetD. f(x) =3x5+2x+2PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES 7

On calcule d"abord la quantité :

f(x)(3x5) =2x+2 On calcule la limite en+¥et¥de cette quantité, en déterminant son signe pour connaître la position relative : lim x!+¥2x+2=limx!+¥2x =0+ lim x!¥2x+2=limx!¥2x =0 On en déduit que la droiteDest asymptote en+¥et¥à la courbeCf. Du signe de cette quantité, on en déduit queCfest au dessus deDen+¥et en dessous en¥ 2 Théorèmes de comparaison et composition de fonc- tions 2.1 Théorème des Gendarmes ou d"encadrement Théorème 3 :Limites et ordre

1)Théorème des "Gendarmes»

f,g, ethsont trois fonctions définies sur l"intervalleI=]b;+¥[et`un réel. Si pour toutx2I, on a :g(x)6f(x)6h(x)et sigethont même limite` en+¥alors : limx!+¥f(x) =` (Énoncé analogue en¥ou en un réela)

2)Cas d"une limite infinie.

fetgsont deux fonctions définies surI=]b;+¥[.

Si pour toutx2Ion a :f(x)>g(x)et si :

lim x!+¥g(x) = +¥alors limx!+¥f(x) = +¥

(Énoncé analogue en¥ou en un réela)Démonstration :Dans le cas+¥(c"est le cas qui figure au programme, la

démonstration des autres cas ne pourra vous être demandée.) On considère un intervalle ouvertJcentré en`. La fonctionga pour limite `en+¥donc il existe un réelA1tel que pour toutx2]A1;+¥[(inclus dansI) toutes les valeursg(x)sont dansJ.PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

82 THÉORÈMES DE COMPARAISON ET COMPOSITION DE FONCTIONSDe même, pour la fonctionh: il existe un réelA2tel que toutx2]A2;+¥[

toutes les valeursh(x)sont dansJ. On désigne parAle plus grand des nombresA1etA2. Alors pour toutx2 ]A;+¥[on a :g(x)2Jeth(x)2J. Or, on sait queg(x)6f(x)6h(x)donc, nécessairementf(x)2J.

Conclusion :fa pour limite`quandx!+¥

Exemples :Déterminer la limite def(x) =sinxx

en+¥ On peut avoir un aperçu de la représentation def.pour toutxpositif, on a16sinx61, donc :

8x>01x

6f(x)61x

or on sait que : lim x!+¥1x =0 et limx!+¥1x =0 D"après le théorème des Gendarmes, on a : lim x!+¥f(x) =0

Déterminer la limite deg(x) =xsin1x

en 0 On peut avoir un aperçu de la représentation deg.PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

2.1 THÉORÈME DESGENDARMES OU D"ENCADREMENT9Attention au voisinage de 0, il vaut mieux margorer la fonction en valeur ab-

solue pour éviter les problèmes de signes.

On a donc :8x6=0jsin1x

j61 donc :

8x6=0jxsin1x

j6jxjdonc jxj6xsin1x 6jxj or on sait que :lim x!0jxj=0 et limx!0jxj=0 D"après le théorème des Gendarmes, on a : lim x!0g(x) =0

Étude de la limite deh(x) =E(x)x

en+¥

On peut avoir un aperçu de la représentation dehLa partie entière est définie surR+de la façon suivante :

sin6x6f(x)61 or on sait que : lim x!+¥x1x =limx!+¥xx =limx!+¥1=1 et limx!+¥1=1 Donc d"après le théorème des Gendarmes, on en déduit : lim x!+¥h(x) =1

Étude de la limite dek(x) =x+cosxen+¥

On peut avoir un aperçu de la représentation deg.PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

102 THÉORÈMES DE COMPARAISON ET COMPOSITION DE FONCTIONSOn a :8x2Rcosx>1, donc :

8x2Rx+cosx>x1

or on sait que : lim x!+¥x1= +¥, donc d"après les comparaisons de limites, on a : limx!+¥k(x) = +¥ 2.2

Limite d"une fonction composée Théorème 4 :Admis. Soit trois fonctionsf,gethtelles quefetgsont

définies respectivement surIetJf(I)eth=gf. a,betcsont des réels ou+¥ou¥.

Si lim

x!af(x) =bet limx!bg(x) =calors limx!ah(x) =cExemples :Déterminer les limites suivantes : 1) lim x!+¥f(x)avecf(x) =r2+1x 2 2) lim x!+¥g(x)avecg(x) =cosx+1x 2+1 1) La décomposition de la fonction fne pose pas de problème. On peut poser u(x) =2+1x

2etv(x) =px. On a alors :f=vu. On calcule alors les

limites : lim x!+¥u(x) =limx!+¥2+1x 2=2 lim x!2v(x) =limx!2px=p2 9 ;Par composition, on a : lim x!+¥f(x) =p2

PAUL MILAN10 octobre 2011 TERMINALES

11 On peut éventuellement rédiger en faisant un changement de variable. On pose :

X=2+1x

2doncf(x) =pX

On a alors :

lim x!+¥X=limx!+¥2+1x 2=2 lim

X!2pX=p2

9 ;Par composition, on a : lim x!+¥f(x) =p2 2) On décompose de la même façon la fonction g. On poseu(x) =x+1x 2+1et v(x) =cosx. On a alorsf=vu. lim x!+¥x+1x

2+1=limx!+¥xx

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