[PDF] Continuité et monotonie sur un intervalle

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Continuiteet monotonie sur un intervalle

I Fonctions continues sur un intervalle

1. Denition et regles operatoires

Denition 1

Soitf:I→Rune fonction denie sur un intervalleI. 1. Soi tx0?I.On dit quefest continue enIsilimx→x0f(x) =f(x0). 2. O nd itq uefest continue surIsifest continue en chaque point de son intervalle de

denitionI.Remarque :SoitIun intervalle non vide. On noteC0(I,R)l'ensemble des fonctions a valeurs dansRdenies

et continues surI.

Les regles operatoires vis-a-vis de la continuite en un point entra^nent immediatement celles qui suivent sur la

continuite globale.

Propriete 1

Soientf:I→Retg:I→Rdes fonctions denies sur un intervalleI.

Si les fonctionsfetgsont continues surI,alors :

1. P ourtou tcou ple(α,β)?R2,la fonctionαf+β gest denie et continue surI.En particulierf+gest denie et continue surI; 2.

La fon ctionf×gest denie et continue surI;

3. Si d epl usgne s'annule pas surI,alors la fonctionfg est denie et continue surI.En particulier la fonction 1g

est denie et continue surI.Remarque :D'apres la premiere regle et compte-tenu que la fonction identiquement nulle surIest continue sur

I,l'ensembleC0(I,R)est un sous-espace duR-espace vectorielRIdes fonctions denies surI.

Propriete 2

Soientu:I→Jetv:I→Rdes fonctions denies sur des intervallesIetJ respectivement. Si la fonctionuest continue surIet si la fonctionvest continue surJ,alors la fonctionv◦u est denie et continue surI.Exemple : 1.

T outef onctionc onstantesu rRest continue surR;

2.

L af onctionI d

R:x?→xest denie et continue surR;

3.

L af onctioni nversex?→1x

est continue surR?; 4. T outef onctionp olynomialesu rRest denie et continue surR. 5. L af onctionv aleura bsoluex?→ |x|est denie et continue surR. 1 PCSI A Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2015-2016

Figure1 { Premiere version du theoreme des valeurs intermediaires : illustration de la demonstration.

2. Theoreme des valeurs intermediaires et consequences

Une premiere version du theoreme des valeurs intermediaires

Theoreme 1 (des valeurs intermediaires)

Soientf:I→Rune fonction denie etcontinuesur unintervalleIet(a,b)?I2avec

quef(c) = 0.Autrement dit, sous les conditions precedentes, la fonctionfs'annule au moins une fois sur le segment[a;b].

Demonstration. | Supposonsa < bet par ailleursf(a)>0etf(b)<0. SoitA={x?[a,b]|f(x)>0}.Le sous-ensembleAest non vide, puisquea?A,et majore parb.Il admet donc une borne superieure que l'on noteS. •PuisqueS= sup(A),il existe une suite(an)n?N?ANqui converge versS.Puisquef(an)>0pour tout n?Net sachant quefest continue enS,on en deduit que : f(an)-→n→+∞f(S)≥0. Il en decoule quef(S) = 0.Ce qui etablit quefs'annule sur le segment[a,b].2

?Le resultat devient faux, si la fonction n'est pas denie sur un intervalle. Ainsi la fonction inversef:x?→1x

est denie et continue surR?,qui soit dit en passant n'est pas un intervalle, les reelsf(-1)etf(1)sont de

signe oppose et pourtant la fonction inverse ne s'annule pas surR?.

Exemple :

1. Co nsideronsl af onctionf:x?→x3+x-1.Elle est denie et continue surRen tant que fonction polynomiale. Orf(0) =-1etf(1) = 1.Il decoule du theoreme des valeurs intermediaires l'existence d'un reelx0?]0;1[tel quef(x0) = 0. 2. Pl usg eneralement,c onsideronsu nefo nctionde la f ormef:x?→ax3+bx2+cx+davec(a,b,c,d)?R4 eta >0. •Remarquons qu'une telle fonction est polynomiale de degre3et est donc denie et continue surR; 2 PCSI A Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2015-2016 Figure2 { Theoreme des valeurs intermediaires : principe de la demonstration.

•Puisquef(x)≂x→+∞ax3,et sachant queax3-→x→+∞+∞,Il en decoule que

f(x)-→x→+∞+∞.

La denition de limite entra^ne immediatement l'existence d'un voisinage[β;+∞[de+∞sur lequelf≥1.

En particulier :

f(β)>0 ; tenu de ce qui precede,α < βet de plus f(α)<0 ;

Par application du theoreme des valeurs intermediaires, on en conclut quefs'annule au moins une fois sur

le segment[α;β]. Nous venons d'etablir que toute fonction polynomiale de degre3s'annule au moins une fois surR. Version generale du theoreme des valeurs intermediaires

Theoreme 2 (des valeurs intermediaires)

Soitfune fonction a valeurs reelles denie et continue sur un intervalleI.Soit(a,b)?I2avec a < betf(a)< f(b)(resp.f(a)≥f(b)). Pour touty?[f(a),f(b)](resp.y?[f(b),f(a)]),

il existex?[a,b]tel quey=f(x).Autrement dit, la fonctionfprend sur le segment[a,b]toutes les valeurs comprises entref(a)etf(b). On peut

etablir directement le resultat en appliquant la version precedente du theoreme des valeurs intermediaires (T.V.I.)

a la fonctiong:x?→f(x)-y. On donne ici une demonstration ou on utilise le principe du calcul approche par dichotomie 1

Demonstration. | Nous traitons le cas ouf(a)< f(b),le casf(a)≥f(b)se traitant de maniere analogue.

Pour etablir le theoreme des valeurs intermediaires, nous allons utiliser le procede de dichotomie. On construit

par recurrence deux suites(an)net(bn)ncontenues dans[a,b]et ayant les proprietes suivantes :

1.a0=aetb0=b;

2. l ess uites(an)net(bn)nsont adjacentes; Avant de construire precisement les deux suites, voyons comment conclure.

•d'apres 2., les suites(an)net(bn)nconvergent vers une m^eme limitex.De plusx?[a,b],d'apres 1..1. Le procede de calcul approche par dichotomie est donc un moyen theorique d'etablir le T.V.I.!

3 PCSI A Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2015-2016 •la fonctionfetant continue surI,donc sur[a,b],elle est continue enx.Par consequent, lim n→+∞f(an) = limn→+∞f(bn) =f(x). •En passant a la limite dans l'encadrement 3., on trouve :

D'ouy=f(x)et le theoreme est etabli.

Il reste a construire les suites(an)et(bn)par recurrence : il ne s'agit ni plus ni moins que d'appliquer le procede

de dichotomie! Comme indiquea0=aetb0=b.On suppose qu'a chaque etapende construction

A l'etape(n+ 1),on determinec=f(an+bn2

).Deux cas de gure se presentent : •sic > y,alors on posean+1=anetbn+1=an+bn2 etbn+1=bn.

Les suites(an)net(bn)nainsi construites verient bien les proprietes 1. et 3.. Par ailleurs, les suites(an)net(bn)n

sont bien adjacentes. En eet :(an)nest croissante par construction;(bn)nest decroissante par construction;

ce qui conduit abn-an=b0-a02 npour toutn?N.2 Ensemble-image d'une fonction continue sur un intervalle

Commencons par un resultat important sur la caracterisation des intervalles reels. Nous admettrons le resultat,

la demonstration etant relativement longue et reposant sur les notions de bornes superieure et inferieure.

Theoreme 3

SoitI?Run sous-ensemblenon videdeR.

le segment[x;y]est inclus dansI.Le theoreme des valeurs intermediaires couple a la caracterisation des intervalles reels entra^nent immediatement

le resultat suivant qui rev^et une importance extr^eme.

Corollaire 1

Sif:I→Rest une fonction denie etcontinuesur unintervalleI,alors l'image directe

f(I)deIparfest un intervalle.Demonstration. | Il decoule du theoreme des valeurs intermediaires que sicetdavecc < dappartiennent a

f(I),alors[c,d]?f(I).Il s'ensuit quef(I)est un intervalle, d'apres la caracteisation des intervalles reels donnee

ci-dessus.2

?La encore le resultat devient faux, si la fonction n'est pas denie sur un intervalle. Ainsi la fonction inverse

f:x?→1x est denie et continue surR?et pourtant l'ensemble des valeurs prises parfest egal aR?qui jusqu'a preuve du contraire n'est pas un intervalle.

3. Theoreme des bornes atteintes

Terminons par le comportement d'une fonction denie et continue sur un segment, c'est-a-dire sur un intervalle

ferme borne. Le resultat qui suit est fondamental et est a conna^tre absolument.

Theoreme 4 (des bornes atteintes)

Sif: [a;b]→Rune fonction denie etcontinuesur unsegment[a,b],alorsfest bornee sur[a,b]et atteint ses bornes. Autrement dit, la fonctionfadmet un minimum et un maximum sur le segment[a;b].4 PCSI A Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2015-2016 Figure3 { Illustration du theoreme des bornes atteintes. Ainsi puisquefest bornee sur[a;b]les reelsinfx?[a,b]f(x)etsup x?[a,b]f(x)existent. Puisque ces reels sont des valeurs

prises par la fonctionf,les bornes inferieure et superieure defsur le segment[a;b]sont en realite les valeurs

minimale et maximale prises par la fonctionfsur le segment[a;b].Il existe doncx1?[a,b](resp.x2?[a,b]) tel

que f(x1) = minx?[a,b]f(x) (resp.f(x2) = maxx?[a,b]f(x)).

?Le resultat est faux pour une fonction continue sur un intervalle qui n'est pas ferme borne. La fonction peut

ne pas ^etre bornee, comme c'est le cas de la fonction exponentielle surRou ^etre bornee sans

bornes>comme c'est le cas de la fonctionarctan.A titre d'exercice, on pourra determiner une fonction denie et

continue sur]-1;1[qui n'est ni majoree, ni minoree. De m^eme avec une fonction denie et continue surR+.

La demonstration du theoreme des bornes atteintes est hors-programme. Nous en donnons une demonstration

pour votre culture personnelle. Celle donnee repose sur le principe du calcul approche par dichotomie. L'idee de

la demonstration est decrite a la gure Fig.4.

Demonstration. |

•On montre d'abord quefest majoree (la demonstration du fait quefest minoree est en tout point analogue).

Supposons par l'absurde quefn'est pas majoree sur[a,b].

→On construit par dichotomie une suite de segments embo^tes[an,bn]aveclimn→+∞bn-an= 0sur lesquels

fn'est pas majoree. A l'etape0de construction, on posea0=aetb0=b.D'apres l'hypothese initiale,fn'est pas majoree sur [a0,b0]. Supposons avoir construit le segment[an,bn]de telle sorte quefne soit pas majoree sur[an,bn].Il en resulte quefne peut ^etre majore sur l'un des segments[an,an+bn2 ]ou[an+bn2 ,bn](sifetait majoree sur ces deux segments, elle le serait sur le segment[an,bn]).

S'il s'agit du segment[an,an+bn2

],on pose [an+1,bn+1] = [an,an+bn2

Sinon, on pose

[an+1,bn+1] = [an+bn2 ,bn]. →Soitcn?[an,bn]tel quef(cn)≥n.Un tel element existe puisquefn'est pas majoree sur[an,bn]. La suite(cn)nainsi denie converge versx0?[a,b].En eet De plus, les suites(an)net(bn)netant adjacentes, elles convergent vers une m^eme limitex0?[a,b].Le theoreme des gendarmes permet de conclure. 5 PCSI A Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2015-2016 Figure4 { Theoreme des bornes atteintes : principe de la demonstration. La suite(f(cn))ntend vers+∞puisquef(cn)≥npour toutn?N.Mais ceci contredit la continuite sequentielle enx0: en eet, on doit avoirlimn→+∞f(cn) =f(x0). On a donc etabli quefest majoree et minoree en changeant legerement la demonstration :fest donc bien bornee sur[a,b].

•On montre quefatteint ses bornes. Montrons par exemple que la borne superieure est atteinte (demonstration

identique pour la borne inferieure). On noteM= sup x?[a,b]f(x).

On procede de maniere analogue a ce qui precede.

→On construit par dichotomie une suite de segments embo^tes[an,bn]aveclimn→+∞bn-an= 0et tels que

M= sup

x?[an,bn]f(x). Les details sont laisses en exercice (s'inspirer de ce qui precede). →Soitcn?[an,bn]tel que M-1n

Un tel element existe puisqueM= sup

x?[an,bn]f(x).Pour les m^emes raisons que precedement la suite(cn)n ainsi denie converge versx0?[a,b].

De plus, on tire de (1) quelimn→+∞f(cn) =M; de la continuite enx0quelimn→+∞f(cn) =f(x0).D'ou

f(x0) =M.Ceci etablit le theoreme. 2

Le theoreme des bornes atteintes conjugue au T.V.I permet de decrire l'ensemble-image d'une fonction denie

et continue sur un segment. Corollaire 2 (Image d'un segment par une fonction continue) Sif: [a;b]→Rune fonction denie etcontinuesur unsegment[a;b],alors f([a;b]) = [m,M],oum= min[a;b]fetM= max[a;b]f.II Fonctions monotones sur un intervalle

Dans la suite

¯R=R? {-∞,+∞}.

6 PCSI A Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2015-2016 Figure5 { Limites a gauche et a droite d'une fonction monotone.

SoitIun intervalle deRde bornesa < bdans¯R,on note°Il'interieur deI: il s'agit de l'intervalle obtenu en

retirant aIses bornes. Par exemple, siI= [a,b]avec(a,b)?R2,alors°I=]a,b[.

1. Theoreme de la limite monotone

Theoreme 5 (de la limite monotone)

Soitfune fonction denie et monotone sur un intervalleIde bornesaetbdans¯R. Six0?°I,alors la fonctionfadmet une limite a gauche et a droite enx0.De plus,fadmet

une limite a gauche enbet une limite a droite ena.La demonstration est en tout point analogue a celle de la limite monotone pour les suites monotones (e.g.<

toute suite croissante majoree est convergente>). Demonstration. | Supposonsfcroissante (le cas oufest decroissante en decoule en multipliantfpar-1). •Montrons d'abord quefpossede des limites a gauche et a droite enx0?°I. →Limite a gauche enx0.

SoitΩ-={f(x) :x?I∩]- ∞,x0[}.Le sous-ensembleΩ-est non vide et majore. En eet, pour tout

-= sup(Ω-).

Armation.?-= lim

x→x-

0f(x).

Pour cela, donnons-nousε >0arbitraire.

D'apres la propriete de la borne superieure, il existey0?I∩]- ∞,x0[tel que Posantδ=x0-y0,on obtient pour toutx?I∩[x0-δ,x0[,

En eet, puisquefest croissante :

Ceci etablit l'existence de la limite a gauche enx0. →Limite a droite enx0.

La demarche est en point analogue. On considere cette fois-ciΩ+={f(x) :x?]x0,+∞[∩I}.On montre

de la m^eme maniere queΩ+est non vide et minoree. 7 PCSI A Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2015-2016

On pose?+= inf(Ω+).On montre alors que?+= lim

x→x+

0f(x).

•On montre l'existence de la limite a droite enb(l'existence de la limite a gauche enaest en tout point

identique). Deux cas a considerer selon queΩ ={f(x) :x?°I}est majore ou pas.

→Cas ouΩest majore : c'est la situation deja traitee pour etablir l'existence de la limite a gauche enx0.

Point besoin de la refaire.

→Cas ouΩn'est pas majore. On montre alors quelim x→b-f(x) = +∞.Il s'agit de distinguer selon queb?R ou queb= +∞et verier que la denition est satisfaite dans les deux cas. 2 Remarque :Consideronsf:I→Rune fonction croissante sur un intervalleI.Dans la demonstration precedente, nous avons etabli que les limites a gauche et a droite en un pointx0?°Iverient : lim x→x-

0f(x) = sup

x?I∩]-∞;x0[f(x) ; lim x→x+

0f(x) = infx?I∩]x0;+∞[f(x)De plus, la demonstration met en evidence que :

lim x→x- x→x+

0f(x)Exemple :Voyons comment etablir queln(x)-→x→+∞+∞a l'aide du theoreme de la limite monotone et de la

caracterisation sequentielle de la limite d'une fonction en un point. Rappelons que la fonctionlnest denie comme la primitive sur]0;+∞[dex?→1x qui s'annule en1.Compte-

tenu de la denition, la fonctionlnest derivable de derivee strictement positive sur]0;+∞[.Ainsilnest strictement

croissante sur son intervalle de denition. Du theoreme de la limite monotone, il en resulte quelnadmet une limite

??¯Ren+∞.

Considerons la suite geometriqueu= (un)n?Nde terme generalun= 2n.Cette suite admet+∞comme limite.

De plus :

?n?N,ln(un) =nln(2). Puisqueln(2)>0par croissance stricte de la fonctionln,on en deduit que ln(un)-→+∞. Or la caracterisation sequentielle de la limite d'une fonction en un point entra^ne que ln(un)-→?.

Ainsi,?= +∞,ce qui etablit que

ln(x)-→x→+∞+∞. Dans le document de cours, nous avons

caracterise la continuite d'une fonction en una l'aide des limites a gauche et a droite. Le

resultat suivant reprecise cela lorsque la fonction est monotone sur son intervalle de denition. Corollaire 3 (continuite en un point d'une fonction monotone) Soitfune fonction denie etmonotonesur un intervalleIetx0?°I. La fonctionfest continue enx0si et seulement silim x→x-

0f(x) = lim

x→x+

0f(x).Demonstration. | Supposonsfcroissante. D'apres la remarque qui suit le theoreme de la limite monotone

lim x→x- x→x+

0f(x).

8 PCSI A Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2015-2016

Supposonslim

x→x-

0f(x) = lim

x→x+

0f(x).Au vu de l'encadrement ci-dessus, ceci entra^ne immediatement :

lim x→x-

0f(x) = lim

x→x+

0f(x) =f(x0).

Ceci etablit quefest continue enx0.

Reciproquement, sifest continue enx0,alors

lim x→x-

0f(x) = lim

x→x+

0f(x) =f(x0),

d'apres la caracterisation de la continuite en un point a l'aide des limites a gauche et a droite.2

?Le resultat est bien s^ur faux si la fonction n'est pas monotone sur son intervalle de denition.A ce titre, on

pourra mediter sur la fonction denie surRpar f(x) =? ??0six <0

1six= 0

0six >0

2. Continuite globale d'une fonction monotone

Theoreme 6 (continuite et monotonie)

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