FONCTION EXPONENTIELLE
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e. On a ainsi D'après le théorème de comparaison des limites on en déduit que.
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction. 1) Image d'une suite convergente par une fonction continue.
Fonctions Limites
Image
Continuité et monotonie sur un intervalle
La définition de limite entra?ne immédiatement l'existence d'un voisinage [?;+?[ de +? sur Ensemble-image d'une fonction continue sur un intervalle.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0
Fonctions TI-83 Premium CE
Tracer la courbe représentative de la fonction Éditer le tableau de valeurs de cette fonction. ? Définir une fonction ... exemple obtenir l'image de 3.
Limites de fonctions et continuité
3.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue . . 16. 3.3.2 Théorème des valeurs extrêmes .
Quelques m´ethodes math´ematiques pour le traitement dimage
2 janv. 2009 image varie d'une image `a l'autre en fonction de leur contenu ... Le plan ?? limité aux intervalles de recherche
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e. Méthode : Déterminer la limite d'une fonction contenant des exponentiels.
Corrigé du TD no 11
Par unicité de la limite d'une suite on en déduit que f(?) = g(?). Exercice 2 prouve que l'image de R par la fonction P est l'intervalle ]??
Chapitre 9
Limites de fonctions et continuité
Table des matières
1 Limites de fonctions3
1.1 Limite en un "point"
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Limite finie en un point
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Limite finie à gauche ou à droite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Limite infinie en un point
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Limites à l"infini
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Existence et opération sur les limites
92.1 Opérations sur les limites
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Limite d"une composée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Passage à la limite dans les inégalités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Théorèmes de comparaison et théorème de la limite monotone
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Théorèmes de comparaison
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Limites à Connaître
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.1 Croissances comparées
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.2 Limites de taux d"accroissement à (re)connaître
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Continuité13
3.1 Continuité en un point, continuité sur un intervalle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.1 Continuité en un point
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2 Continuité sur un intervalle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2.1 Définition et continuité des fonctions usuelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2.2 Opérations sur les fonctions continues
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2.3 Continuité et passage à la limite pour les suites
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Prolongement par continuité, continuité par morceaux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.1 Prolongement par continuité
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Fonctions continues par morceaux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Théorèmes de continuité sur un intervalle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires et image d"un intervalle par une fonction continue
. . 163.3.2 Théorème des valeurs extrêmes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.3 Théorème de la bijection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Nouvelle fonction : la fonction arctangente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Preuves et solutions20
2Limites de fonctions et continuitéECS1 - Mathématiques
Limites de fonctions et continuité31 Limites de fonctions1.1 Limite en un "point"
Dans toute cette section,Idésigne un intervalle,x0?Ietfune fonction définie surIou surI\ {x0}.1.1.1 Limite finie en un pointDéfinition 1. (Limite réelle enx0)
Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend versx0, si :.De plus la proposition suivante assure que cette limite est unique et on note :Proposition 1. (Unicité de la limite dans le cas fini)
Si la limite defenx0existe et est finie, elle est unique.Preuve de la proposition1 Supposons qu"il existe deux limites finies distinctes?et??defenx0.Posons alorsε=|l-l?|3
??=??doncεest un réel strictement positif.En appliquant la définition de la limite à?avec ceε, on déduit qu"il existe un réelηtel que?x?Itq|x-x0|< η,
|f(x)-?|< ε.De même, en appliquant la définition de la limite à??avec ceε, on déduit qu"il existe un réelη?tel que?x?Itq
|x-x0|< η?,|f(x)-??|< ε. Prenons alors un réelx?I, tel que|x-x0|On a donc|l-l?|<23
|l-l?|! Absurde! Doncfne peut pas posséder deux limites finies distinctes enx0.ECS1 - Mathématiques4Limites de fonctions et continuitéExemple 1.On considère la fonctionfdéfinie sur]0,+∞[parf(x) =xlnx.On lit graphiquement :
limx→1f(x) =etlimx→0f(x) =Exemple 2.On considère les fonctiongethdéfinies respectivement surR?etRparg(x) =xln(|x|)
eth(x) =?xln(|x|)six?= 01six= 0.ha une limite en0, par contregn"a pas de limite en0au sens strict de la définition!ECS1 - Mathématiques
Limites de fonctions et continuité51.1.2 Limite finie à gauche ou à droiteDéfinition 2. (Limite à gauche enx0)
Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend versx0par valeurs inférieures, si :. L"unicité de la limite s"étend et?se nomme alorslimite defà gauche enx0. On note :ou encoreDéfinition 3. (Limite à droite enx0)
Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend versx0par valeurs supérieures, si :. L"unicité de la limite s"étend et?se nomme alorslimite defà droite enx0. On note :ou encoreRemarque.Six0est un point intérieur àI,fadmet une limite enx0si et seulement si elle admet une limite à
gauche et à droite enx0et que ces limites sont égales.ECS1 - Mathématiques6Limites de fonctions et continuitéExemple 3.
Soith:x?→ ?x?+12
?-x?. Voici la courbe représentative deh:On lit graphiquement : lim x-→ <1h(x) =lim x-→ >1h(x) =h(1) =On a donc icilimx-→ <1h(x),limx-→ >1h(x)eth(1)qui sont toutes différentes!1.1.3 Limite infinie en un pointDéfinition 4. (Limite infinie en un point)
fa pour limite+∞enx0sifa pour limite-∞enx0siOn note alors : etRemarque.On définit de même que précédemment une limite infinie par valeurs inférieures ou par valeurs
supérieuresRemarque.Graphiquement, une limite infinie en un point se traduit par une asymptote verticale.ECS1 - Mathématiques
Limites de fonctions et continuité7Exemple 4.
f:x?→ln(|x-1|). limx→1f(x) =Exemple 5. g:x?→15(1-x). lim x→1-g(x) =etlimx→1+g(x) =ECS1 - Mathématiques8Limites de fonctions et continuité1.2 Limites à l"infini
Définition 5. (Limite finie ou infinie en l"infini) 1. Si fest définie (au moins) sur un intervalle de la forme[a;+∞[. Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend vers+∞, si :. On dit queftend vers+∞lorsquextend vers+∞, si :. On dit queftend vers-∞lorsquextend vers+∞, si :. 2. Si fest définie (au moins) sur un intervalle de la forme]- ∞;a]. Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend vers-∞, si :. On dit queftend vers+∞lorsquextend vers-∞, si :. On dit queftend vers-∞lorsquextend vers-∞, si :.ECS1 - Mathématiques
Limites de fonctions et continuité92 Existence et opération sur les limites2.1 Opérations sur les limites
Dans tous les tableaux ci-dessous,adésigne un réel ou+∞ou-∞.Proposition 2. (Somme et produit)(admis)Proposition 3. (Inverse)(admis)Proposition 4. (Quotient)(admis)Attention !Il y a donc 4 formes indéterminées :ECS1 - Mathématiques
10 Limites de fonctions et continuité
2.2 Limite d"une composée
Proposition 5. (Composée de deux fonctions)(admis)Soita,b,c?R? {-∞,+∞}.
Si ??lim x→af(x) =b et limx→bg(x) =calorsProposition 6. (Composée d"une suite et d"une fonction)(admis)Soit?,c?R? {-∞,+∞}.
Si ??lim n→+∞un=? et limx→?f(x) =calors2.3 Passage à la limite dans les inégalitésProposition 7. (Passage à la limite dans les inégalités)(admis)
Soientfetgdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0et possédant une limite (finie ou infinie) enx0.
2.4 Théorèmes de comparaison et théorème de la limite monotone
2.4.1 Théorèmes de comparaisonProposition 8. (Théorèmes de comparaison)(admis)
Soientfetgdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0telles que : 1.2.ECS1 - Mathématiques
Limites de fonctions et continuité 11
Proposition 9. (Théorèmes d"encadrement)(admis) Soientg,fethtrois fonctions définies surIsauf peut-être enx0telles que Soientf,gdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0, etaun réel tel que Soientf,gdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0, etaun réel tel que On a des résultats similaires pour les limites en+∞et en-∞. On n"appelle plus ce théorème le "théorème des gendarmes"!Exercice de cours 1.Déterminer la limite dex?→cos3(x)x
en-∞.Exercice de cours 2. Un résultat à retenir! Soientfetgdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0. Prouver que : Si ?fest bornée surI\ {x0} et limx→x0g(x) = 0alorslimx→x0f(x)g(x) =ECS1 - Mathématiques12 Limites de fonctions et continuité
2.5 Limites à Connaître
2.5.1 Croissances comparéesProposition 10. (Croissances comparées)(admis)
En+∞:
En0:En-∞:Remarque.Moyen mnémotechnique : En présence d"une F.I. :ln(x)< Dérivée de la fonction lnen1:2.Dérivée de la fonction expen0:3.Dérivée de la fonction cosen0:4.Dérivée de la fonction sinen0:5.Dérivée de la fonction tanen0:6.Dérivée de la fonction x?→⎷xen1:Remarque.On peut aussi retrouver la dernière égalité avec la technique de la quantité conjuguéeECS1 - Mathématiques Définition et cont inuitédes fonctions usuell esDéfinition 7. (Continuité sur un intervalleI) Graphiquement, une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe surIest en "un seul morceau"Proposition 12. (Continuité des fonctions usuelles)(admis) Les fonctions usuelles, hormis la partie entière, (x?→xn,cos,sin,tan,ln,exp,x?→⎷x,x?→ |x|) sont Op érationssur les fonctions continues Proposition 13. (Continuité et opérations algébriques)(admis) T outefonction rationnelle est continue sur son doma inede définition. Proposition 15. (Continuité et composition)(admis) Sifetgsont continues alorsf◦gest continue surI.Remarque.Ces deux propositions permettent de se ramener à la continuité des fonctions usuelles.ECS1 - Mathématiques n?Nconverge et :Attention !La figure ci-dessous illustre le fait que sifn"est pas continue ena, on n"a pas forcément SoitIun intervalle contenant un réelx0etfune fonction définie surI\ {x0}mais non définie surx0. ?fainsi définie est alors continue enx0et coïncide avecfsurI\{x0}. On dit que c"estla prolongée defpar continuité sur enx0. De plus, sifest continue surI\ {x0}alors?fest continue surI.Exercice de cours 3. telle quefadmet une limite finie à gauche enaet à droite enbet à gauche et à droite (pas forcéments égales en chaqueailes restrictions defà chaque intervalle ouvert]ai,ai+1[admettent un prolongement continu à Montrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.ECS1 - Mathématiques On va énoncer le même théorème de deux façons différentes :Proposition 19. (Théorème des valeurs extrêmes - énoncé 1)(admis)Proposition 20. (Théorème des valeurs extrêmes - énoncé 2)(admis) ?= [f(a),f(b)].en général!Remarque.C"est seulement l"image d"un segment par une fonction continue qui est assuré d"être un segment. En général, l"image d"un intervalle par une fonction continue n"est pas forcément un intervalle de même nature, Le tableau ci-dessous présente les courbes de trois fonctions définies et continues sur[1,3[et trois situations différentes. Dans le deuxième et le troisième cas,fn"admet pas de maximum sur[1,3[, doncmax[a,b]fn"existe pas.3.3.3 Théorème de la bijection De plus,f-1est une bijectioncontinuedef(I)versIde même monotonie quef.Remarque.Dans ce cas, les courbe defet def-1, tracées dans un repère orthonormé, sont symétriques l"une Donc il existe une fonction, que l"on nommearctangente(arctan), qui eststrictement croissante et continue La fonction Ar ctanest définie sur R, strictement croissante et est impaire. Il faut retenir l"allure de sa Donc les suites(un)n?Net(vn)n?Nsont adjacentes et convergent vers une même limite que nous appelonsc. d"après la première partie, il existe un réelctel queg(c) =-rc"est-à-dire-f(c) =-r, c"est-à-diref(c) =r.2.5.2 Limites de taux d"accroissement à (re)connaîtreProposition 11. (Limites de taux d"accroissement à (re)connaître)(admis)
1. Limites de fonctions et continuité 13
3 Continuité
3.1 Continuité en un point, continuité sur un intervalle
3.1.1 Continuité en un point
Dans toute cette section,Idésigne un intervalle,x0?Ietfune fonction définie surI. Doncfest une fonction définie enx0.Définition 6. (Continuité en unx0) On dit quefestcontinueenx0si :3.1.2 Continuité sur un intervalle 3.1.2.1
3.1.2.2
1.f+g,λfetf×gsont continues surI.
2. Si de plus gne s"annule pas surI,fg
est continue surI.Corollaire 14. (Continuité des fonctions polynômes et rationnelles)(admis) 1. T outefonction p olynômeest c ontinuesur R.
2. 14 Limites de fonctions et continuité
Exemple 6.
Démontrer que la fonctionfdéfinie surR+par :f(x) =? e-1x six >0, 0six= 0.Montrer quefest continue
surR+.3.1.2.3Continuité et passage à la li mitep ourles suites Proposition 16. (Continuité et passage à la limite pour les suites)(admis) Soitfune fonction et(un)n?Nune suite à valeurs dansDfconvergeant vers un réela?Df. Sifest continue ena, alors la suite?
f(un)? Limites de fonctions et continuité 15
3.2 Prolongement par continuité, continuité par morceaux
3.2.1 Prolongement par continuitéDéfinition 8. (Prolongement par continuité)
En effet, on peut alors définir la fonction
?f("ftilde") surIpar ?x?I,?f(x) = La fonction
Démontrer quefest continue sur]0,1[.
fest-elle prolongeable par continuité en0? En1?ECS1 - Mathématiques 16 Limites de fonctions et continuité
3.2.2 Fonctions continues par morceaux
Définition 9. (Fonction continue par morceaux sur un intervalle) Une fonction est dite continue par morceaux sur le segment[a,b]s"il existe une subdivision a < a 1< ... < an< b
La fonctionhdéfinie sur[0,4]par :h:x?→14
x?x?est continue par morceaux sur[1,4].3.3 Théorèmes de continuité sur un intervalle 3.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires et image d"un intervalle par une fonction continueProposition 17. (Théorème des valeurs intermédiaires)(Voir la preuve)
Sifest continue sur un intervalle[a,b]alors :Exemple 8. Soitfune fonction continue sur un intervalle[a,b]. Limites de fonctions et continuité 17
Proposition 18. (Image d"un intervalle par une fonction continue.)(Voir la preuve) L"image d"un intervalle par une fonction continue3.3.2 Théorème des valeurs extrêmes Remarque.On appellesegmentun intervalle fermé borné (de la forme[a,b]). 18 Limites de fonctions et continuité
Remarque.Sifest une fonction continue sur un intervalle[a,b[(ouvert enb), on peut avoir tous les cas possibles. Limites de fonctions et continuité 19
3.4 Nouvelle fonction : la fonction arctangente
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur -π2 ,π2 Orlimx→-π2
tanx=-∞etlimx→π2 tanx= +∞. Donc, d"après le théorème de la bijection,tanest une bijection de -π2 ,π2 vers]- ∞,+∞[. 20 Limites de fonctions et continuité
4 Preuves et solutions
Preuve du théorème
17 On construit deux suites(un)n?Net(vn)n?Npar récurrence comme suit : On poseu0=aetv0=b. Pour toutn?N:
Sif?un+vn2
< ron poseun+1=un+vn2 etvn+1=vn. sinon (c-à-d sif?un+vn2 ≥r), on poseun+1=unetvn+1=un+vn2 Il y a deux cas possibles :
Sif?un+vn2
< r, on aun+1=un+vn2 =vn=vn+1. sinon, sif?un+vn2 ≥r, on a v n+1=un+vn2 ≥un+un2 =un=un+1. Montrons maintenant que(un)est croissante et que(vn)est décroissante : Pour toutn?N,
u n+1-un=? ??u n+vn2 -unSif?un+vn2 < r, u n-unsif?un+vn2 ≥r. ??-un+vn2 Sif?un+vn2
< r, 0sif?un+vn2
≥r. Dans le deux cas, on a :un+1-un≥0.
De même, pour toutn?N:
v n+1-vn=? ??v n-vnSif?un+vn2 < r, u n+vn2 -vnsif?un+vn2 ≥r. ??u n-vn2 Sif?un+vn2
< r, 0sif?un+vn2
≥r. Enfin, montrons que la suite(vn-un)n?Nest géométrique de raison12 et donc converge vers0.ECS1 - Mathématiques Limites de fonctions et continuité 21
Pour toutn?N,
u n+1-vn+1=? ??u n+vn2 -vnSif?un+vn2 < r, u n-un+vn2 sif?un+vn2 ≥r. ??u n-vn2 Sif?un+vn2
< r, u n-vn2 sif?un+vn2 ≥r. Dans les deux cas, on a :un+1-vn+1=12
(an-bn).
[PDF] limite exponentielle en 0
[PDF] limite exponentielle et logarithme
[PDF] Limite finie de suite
[PDF] limite fonction
[PDF] limite fonction racine nième
[PDF] limite fonction rationnelle en 0
[PDF] limite fonction trigonométrique exercice corrigé
[PDF] limite forme indéterminée exponentielle
[PDF] Limite indeterminée
[PDF] Limite infinie d'une suite
[PDF] limite ln usuelles
[PDF] limite logarithme népérien en 0
[PDF] limite logarithme népérien et exponentielle
[PDF] limite math