[PDF] Limites de fonctions et continuité





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FONCTION EXPONENTIELLE

Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e. On a ainsi D'après le théorème de comparaison des limites on en déduit que.



CONTINUITÉ DES FONCTIONS

premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction. 1) Image d'une suite convergente par une fonction continue.





Continuité et monotonie sur un intervalle

La définition de limite entra?ne immédiatement l'existence d'un voisinage [?;+?[ de +? sur Ensemble-image d'une fonction continue sur un intervalle.



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0



Fonctions TI-83 Premium CE

Tracer la courbe représentative de la fonction Éditer le tableau de valeurs de cette fonction. ? Définir une fonction ... exemple obtenir l'image de 3.



Limites de fonctions et continuité

3.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle par une fonction continue . . 16. 3.3.2 Théorème des valeurs extrêmes .



Quelques m´ethodes math´ematiques pour le traitement dimage

2 janv. 2009 image varie d'une image `a l'autre en fonction de leur contenu ... Le plan ?? limité aux intervalles de recherche



FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME

Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e. Méthode : Déterminer la limite d'une fonction contenant des exponentiels.



Corrigé du TD no 11

Par unicité de la limite d'une suite on en déduit que f(?) = g(?). Exercice 2 prouve que l'image de R par la fonction P est l'intervalle ]??

Chapitre 9

Limites de fonctions et continuité

Table des matières

1 Limites de fonctions3

1.1 Limite en un "point"

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Limite finie en un point

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Limite finie à gauche ou à droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Limite infinie en un point

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Limites à l"infini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Existence et opération sur les limites

9

2.1 Opérations sur les limites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Limite d"une composée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Passage à la limite dans les inégalités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Théorèmes de comparaison et théorème de la limite monotone

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Théorèmes de comparaison

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Limites à Connaître

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Croissances comparées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.2 Limites de taux d"accroissement à (re)connaître

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Continuité13

3.1 Continuité en un point, continuité sur un intervalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Continuité en un point

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2 Continuité sur un intervalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2.1 Définition et continuité des fonctions usuelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2.2 Opérations sur les fonctions continues

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2.3 Continuité et passage à la limite pour les suites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Prolongement par continuité, continuité par morceaux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Prolongement par continuité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Fonctions continues par morceaux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Théorèmes de continuité sur un intervalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires et image d"un intervalle par une fonction continue

. . 16

3.3.2 Théorème des valeurs extrêmes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.3 Théorème de la bijection

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Nouvelle fonction : la fonction arctangente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Preuves et solutions20

2Limites de fonctions et continuitéECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité31 Limites de fonctions

1.1 Limite en un "point"

Dans toute cette section,Idésigne un intervalle,x0?Ietfune fonction définie surIou surI\ {x0}.

1.1.1 Limite finie en un pointDéfinition 1. (Limite réelle enx0)

Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend versx0, si :.

De plus la proposition suivante assure que cette limite est unique et on note :Proposition 1. (Unicité de la limite dans le cas fini)

Si la limite defenx0existe et est finie, elle est unique.Preuve de la proposition1 Supposons qu"il existe deux limites finies distinctes?et??defenx0.

Posons alorsε=|l-l?|3

??=??doncεest un réel strictement positif.

En appliquant la définition de la limite à?avec ceε, on déduit qu"il existe un réelηtel que?x?Itq|x-x0|< η,

|f(x)-?|< ε.

De même, en appliquant la définition de la limite à??avec ceε, on déduit qu"il existe un réelη?tel que?x?Itq

|x-x0|< η?,|f(x)-??|< ε. Prenons alors un réelx?I, tel que|x-x0|On a : |l-l?|.

On a donc|l-l?|<23

|l-l?|! Absurde! Doncfne peut pas posséder deux limites finies distinctes enx0.ECS1 - Mathématiques

4Limites de fonctions et continuitéExemple 1.On considère la fonctionfdéfinie sur]0,+∞[parf(x) =xlnx.On lit graphiquement :

limx→1f(x) =etlimx→0f(x) =Exemple 2.On considère les fonctiongethdéfinies respectivement surR?etRparg(x) =xln(|x|)

eth(x) =?xln(|x|)six?= 0

1six= 0.ha une limite en0, par contregn"a pas de limite en0au sens strict de la définition!ECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité51.1.2 Limite finie à gauche ou à droite

Définition 2. (Limite à gauche enx0)

Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend versx0par valeurs inférieures, si :. L"unicité de la limite s"étend et?se nomme alorslimite defà gauche enx0. On note :ou encore

Définition 3. (Limite à droite enx0)

Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend versx0par valeurs supérieures, si :. L"unicité de la limite s"étend et?se nomme alorslimite defà droite enx0. On note :ou encore

Remarque.Six0est un point intérieur àI,fadmet une limite enx0si et seulement si elle admet une limite à

gauche et à droite enx0et que ces limites sont égales.ECS1 - Mathématiques

6Limites de fonctions et continuitéExemple 3.

Soith:x?→ ?x?+12

?-x?. Voici la courbe représentative deh:On lit graphiquement : lim x-→ <1h(x) =lim x-→ >1h(x) =h(1) =On a donc icilimx-→ <1h(x),limx-→ >1h(x)eth(1)qui sont toutes différentes!1.1.3 Limite infinie en un point

Définition 4. (Limite infinie en un point)

fa pour limite+∞enx0sifa pour limite-∞enx0siOn note alors : et

Remarque.On définit de même que précédemment une limite infinie par valeurs inférieures ou par valeurs

supérieuresRemarque.Graphiquement, une limite infinie en un point se traduit par une asymptote verticale.ECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité7Exemple 4.

f:x?→ln(|x-1|). limx→1f(x) =Exemple 5. g:x?→15(1-x). lim x→1-g(x) =etlimx→1+g(x) =ECS1 - Mathématiques

8Limites de fonctions et continuité1.2 Limites à l"infini

Définition 5. (Limite finie ou infinie en l"infini) 1. Si fest définie (au moins) sur un intervalle de la forme[a;+∞[. Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend vers+∞, si :. On dit queftend vers+∞lorsquextend vers+∞, si :. On dit queftend vers-∞lorsquextend vers+∞, si :. 2. Si fest définie (au moins) sur un intervalle de la forme]- ∞;a]. Soit??R, on dit queftend vers?lorsquextend vers-∞, si :. On dit queftend vers+∞lorsquextend vers-∞, si :. On dit queftend vers-∞lorsquextend vers-∞, si :.

ECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité92 Existence et opération sur les limites

2.1 Opérations sur les limites

Dans tous les tableaux ci-dessous,adésigne un réel ou+∞ou-∞.Proposition 2. (Somme et produit)(admis)Proposition 3. (Inverse)(admis)Proposition 4. (Quotient)(admis)Attention !Il y a donc 4 formes indéterminées :ECS1 - Mathématiques

10 Limites de fonctions et continuité

2.2 Limite d"une composée

Proposition 5. (Composée de deux fonctions)(admis)

Soita,b,c?R? {-∞,+∞}.

Si ??lim x→af(x) =b et limx→bg(x) =calorsProposition 6. (Composée d"une suite et d"une fonction)(admis)

Soit?,c?R? {-∞,+∞}.

Si ??lim n→+∞un=? et limx→?f(x) =calors

2.3 Passage à la limite dans les inégalitésProposition 7. (Passage à la limite dans les inégalités)(admis)

Soientfetgdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0et possédant une limite (finie ou infinie) enx0.

2.4 Théorèmes de comparaison et théorème de la limite monotone

2.4.1 Théorèmes de comparaisonProposition 8. (Théorèmes de comparaison)(admis)

Soientfetgdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0telles que : 1.2.

ECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité 11

Proposition 9. (Théorèmes d"encadrement)(admis) Soientg,fethtrois fonctions définies surIsauf peut-être enx0telles que Soientf,gdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0, etaun réel tel que Soientf,gdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0, etaun réel tel que On a des résultats similaires pour les limites en+∞et en-∞. On n"appelle plus ce théorème le "théorème des gendarmes"!Exercice de cours 1.

Déterminer la limite dex?→cos3(x)x

en-∞.Exercice de cours 2. Un résultat à retenir! Soientfetgdeux fonctions définies surIsauf peut-être enx0. Prouver que : Si ?fest bornée surI\ {x0} et limx→x0g(x) = 0alorslimx→x0f(x)g(x) =ECS1 - Mathématiques

12 Limites de fonctions et continuité

2.5 Limites à Connaître

2.5.1 Croissances comparéesProposition 10. (Croissances comparées)(admis)

En+∞:

En0:En-∞:Remarque.Moyen mnémotechnique : En présence d"une F.I. :ln(x)< pas citer les croissances comparées!

2.5.2 Limites de taux d"accroissement à (re)connaîtreProposition 11. (Limites de taux d"accroissement à (re)connaître)(admis)

1.

Dérivée de la fonction lnen1:2.Dérivée de la fonction expen0:3.Dérivée de la fonction cosen0:4.Dérivée de la fonction sinen0:5.Dérivée de la fonction tanen0:6.Dérivée de la fonction x?→⎷xen1:Remarque.On peut aussi retrouver la dernière égalité avec la technique de la quantité conjuguéeECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité 13

3 Continuité

3.1 Continuité en un point, continuité sur un intervalle

3.1.1 Continuité en un point

Dans toute cette section,Idésigne un intervalle,x0?Ietfune fonction définie surI. Doncfest une fonction définie enx0.Définition 6. (Continuité en unx0) On dit quefestcontinueenx0si :3.1.2 Continuité sur un intervalle

3.1.2.1

Définition et cont inuitédes fonctions usuell esDéfinition 7. (Continuité sur un intervalleI)

fest dite continue sur un intervalleIsifest dite continue siRemarque.

Graphiquement, une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe surIest en "un seul morceau"Proposition 12. (Continuité des fonctions usuelles)(admis)

Les fonctions usuelles, hormis la partie entière, (x?→xn,cos,sin,tan,ln,exp,x?→⎷x,x?→ |x|) sont

continues.

3.1.2.2

Op érationssur les fonctions continues Proposition 13. (Continuité et opérations algébriques)(admis)

Soientfetgdeux fonctions continues sur un intervalleIetλun réel. Alors :

1.f+g,λfetf×gsont continues surI.

2.

Si de plus gne s"annule pas surI,fg

est continue surI.Corollaire 14. (Continuité des fonctions polynômes et rationnelles)(admis) 1.

T outefonction p olynômeest c ontinuesur R.

2.

T outefonction rationnelle est continue sur son doma inede définition. Proposition 15. (Continuité et composition)(admis)

Soientfetgdeux fonctions telles quef◦gsoit défini sur un intervalleI.

Sifetgsont continues alorsf◦gest continue surI.Remarque.Ces deux propositions permettent de se ramener à la continuité des fonctions usuelles.ECS1 - Mathématiques

14 Limites de fonctions et continuité

Exemple 6.

Démontrer que la fonctionfdéfinie surR+par :f(x) =? e-1x six >0,

0six= 0.Montrer quefest continue

surR+.3.1.2.3Continuité et passage à la li mitep ourles suites Proposition 16. (Continuité et passage à la limite pour les suites)(admis) Soitfune fonction et(un)n?Nune suite à valeurs dansDfconvergeant vers un réela?Df.

Sifest continue ena, alors la suite?

f(un)?

n?Nconverge et :Attention !La figure ci-dessous illustre le fait que sifn"est pas continue ena, on n"a pas forcément

limn→+∞f(un) =f(a).ECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité 15

3.2 Prolongement par continuité, continuité par morceaux

3.2.1 Prolongement par continuitéDéfinition 8. (Prolongement par continuité)

SoitIun intervalle contenant un réelx0etfune fonction définie surI\ {x0}mais non définie surx0.

Sifadmet une limite finie?enx0, alors on dit quefse prolonge par : continuité enx0.

En effet, on peut alors définir la fonction

?f("ftilde") surIpar ?x?I,?f(x) =

La fonction

?fainsi définie est alors continue enx0et coïncide avecfsurI\{x0}. On dit que c"estla prolongée

defpar continuité sur enx0. De plus, sifest continue surI\ {x0}alors?fest continue surI.Exercice de cours 3.

Soitfla fonction définie sur]0,1[par :f(x) =sin(x)x(1-x).

Démontrer quefest continue sur]0,1[.

fest-elle prolongeable par continuité en0? En1?ECS1 - Mathématiques

16 Limites de fonctions et continuité

3.2.2 Fonctions continues par morceaux

Définition 9. (Fonction continue par morceaux sur un intervalle) Une fonction est dite continue par morceaux sur le segment[a,b]s"il existe une subdivision a < a

1< ... < an< b

telle quefadmet une limite finie à gauche enaet à droite enbet à gauche et à droite (pas forcéments égales

en chaqueailes restrictions defà chaque intervalle ouvert]ai,ai+1[admettent un prolongement continu à

l"intervalle fermé[ai,ai+1].Exemple 7.

La fonctionhdéfinie sur[0,4]par :h:x?→14

x?x?est continue par morceaux sur[1,4].3.3 Théorèmes de continuité sur un intervalle

3.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires et image d"un intervalle par une fonction continueProposition 17. (Théorème des valeurs intermédiaires)(Voir la preuve)

Sifest continue sur un intervalle[a,b]alors :Exemple 8. Soitfune fonction continue sur un intervalle[a,b].

Montrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.ECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité 17

Proposition 18. (Image d"un intervalle par une fonction continue.)(Voir la preuve) L"image d"un intervalle par une fonction continue3.3.2 Théorème des valeurs extrêmes Remarque.On appellesegmentun intervalle fermé borné (de la forme[a,b]).

On va énoncer le même théorème de deux façons différentes :Proposition 19. (Théorème des valeurs extrêmes - énoncé 1)(admis)Proposition 20. (Théorème des valeurs extrêmes - énoncé 2)(admis)

Si une fonctionfest continue sur[a,b], alors elle possède sur[a,b]un minimummet un maximumMet il existeαetβappartenant à[a,b]tels que :Et on a : f? [a,b]? =Corollaire 21. (Image d"un segment par une fonction continue)(admis)Attention !f? [a,b]?

?= [f(a),f(b)].en général!Remarque.C"est seulement l"image d"un segment par une fonction continue qui est assuré d"être un segment.

En général, l"image d"un intervalle par une fonction continue n"est pas forcément un intervalle de même nature,

comme le montre la remarque suivante.ECS1 - Mathématiques

18 Limites de fonctions et continuité

Remarque.Sifest une fonction continue sur un intervalle[a,b[(ouvert enb), on peut avoir tous les cas possibles.

Le tableau ci-dessous présente les courbes de trois fonctions définies et continues sur[1,3[et trois situations

différentes. Dans le deuxième et le troisième cas,fn"admet pas de maximum sur[1,3[, doncmax[a,b]fn"existe pas.3.3.3 Théorème de la bijection

Proposition 22. (Théorème de la bijection)(admis) Sifest strictement monotone et continue sur un intervalleIalorsfest une bijection deIsurf(I).

De plus,f-1est une bijectioncontinuedef(I)versIde même monotonie quef.Remarque.Dans ce cas, les courbe defet def-1, tracées dans un repère orthonormé, sont symétriques l"une

de l"autre par rapport à la droite d"équationy=x.ECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité 19

3.4 Nouvelle fonction : la fonction arctangente

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur -π2 ,π2

Orlimx→-π2

tanx=-∞etlimx→π2 tanx= +∞. Donc, d"après le théorème de la bijection,tanest une bijection de -π2 ,π2 vers]- ∞,+∞[.

Donc il existe une fonction, que l"on nommearctangente(arctan), qui eststrictement croissante et continue

telle que?x?R,tan(arctanx) =xet?x??-π2 ,π2 ,arctan(tanx) =x.On retiendra pour l"instant ces éléments de la fonction Arctan : 1.

La fonction Ar ctanest définie sur R, strictement croissante et est impaire. Il faut retenir l"allure de sa

courbe et ses limites en±∞:2.Connaître les tr oisvaleurs Arctan(0) = 0,Arctan(1) =π4 etArctan(-1) =-π4 3. Retenir que Arctanxest "l"arc" (c"est-à-dire l"angle) compris entre-π2 etπ2 dont la tangente vautx.ECS1 - Mathématiques

20 Limites de fonctions et continuité

4 Preuves et solutions

Preuve du théorème

17 On construit deux suites(un)n?Net(vn)n?Npar récurrence comme suit : On poseu0=aetv0=b.

Pour toutn?N:

Sif?un+vn2

< ron poseun+1=un+vn2 etvn+1=vn. sinon (c-à-d sif?un+vn2 ≥r), on poseun+1=unetvn+1=un+vn2

Il y a deux cas possibles :

Sif?un+vn2

< r, on aun+1=un+vn2 =vn=vn+1. sinon, sif?un+vn2 ≥r, on a v n+1=un+vn2 ≥un+un2 =un=un+1. Montrons maintenant que(un)est croissante et que(vn)est décroissante :

Pour toutn?N,

u n+1-un=? ??u n+vn2 -unSif?un+vn2 < r, u n-unsif?un+vn2 ≥r. ??-un+vn2

Sif?un+vn2

< r,

0sif?un+vn2

≥r.

Dans le deux cas, on a :un+1-un≥0.

De même, pour toutn?N:

v n+1-vn=? ??v n-vnSif?un+vn2 < r, u n+vn2 -vnsif?un+vn2 ≥r. ??u n-vn2

Sif?un+vn2

< r,

0sif?un+vn2

≥r. Enfin, montrons que la suite(vn-un)n?Nest géométrique de raison12 et donc converge vers0.ECS1 - Mathématiques

Limites de fonctions et continuité 21

Pour toutn?N,

u n+1-vn+1=? ??u n+vn2 -vnSif?un+vn2 < r, u n-un+vn2 sif?un+vn2 ≥r. ??u n-vn2

Sif?un+vn2

< r, u n-vn2 sif?un+vn2 ≥r.

Dans les deux cas, on a :un+1-vn+1=12

(an-bn).

Donc les suites(un)n?Net(vn)n?Nsont adjacentes et convergent vers une même limite que nous appelonsc.

doncf(c) =r.

d"après la première partie, il existe un réelctel queg(c) =-rc"est-à-dire-f(c) =-r, c"est-à-diref(c) =r.

(retour au théorème 17)Preuve de la proposition18 f(x2) =y2. (retour à la proposition 18)ECS1 - Mathématiquesquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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