[PDF] Rappels Exp et fonction ln - Plus de bonnes notes PDF

1 1 Limite en +? et ?? 3 Opération sur les limites et formes indéterminées 3 1 Somme de fonctions 5 Fonctions logarithme et exponentielle

[PDF] Exponentielle et logarithme

La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques Croissance comparée et limites particulières

[PDF] FORMULAIRE

Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln(

[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME

Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances Sa croissance est plus rapide Exemple :

[PDF] Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes - Bacamaths

De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien Du théorème de comparaison des limites on en déduit que l'exponentielle

[PDF] RAPPELS EXP ET FONCTION LN - Plus de bonnes notes

Limites de la fonction exponentielle Présentation de laFonction logarithme népérien Autres propriétés de la fonction logarithme népérien

[PDF] Rappels Exp et fonction ln - Plus de bonnes notes

Rappels sur la fonction exponentielle Limites de la fonction exponentielle Relation fondamentale de la fonction logarithme népérien

[PDF] 12 Exponentielle et Logarithme

EXPONENTIELLE ET LOGARITHME variations on a besoin de calculer sa limite en ? strictement croissante sur R donc sa limite est finie ou +?

[PDF] mathematiques_fonctions_expon

logarithme décimal : ST2A ST2S Pré-requis : Etude de fonctions – limites – puissances Plan du cours 1 Fonctions exponentielles

2A003 80 4

CB4CB B

Table des matières

I. Rappels sur la fonction exponentielle ....................................................................................... 1

1. Définition et propriétés très importantes ............................................................................................. 1

Théorème ............................................................................................................................................................................. 1

Démonstration ROC ........................................................................................................................................................... 1

2. Relation fonctionnelle fondamentMOH SMU Ń±XU ................................................................................ 2

Théorème ............................................................................................................................................................................. 2

Démonstration ..................................................................................................................................................................... 3

3. Autres propriétés extrêmement importantes ....................................................................................... 3

4. Notation .............................................................................................................................................. 3

II. Etude de la fonction exponentielle ............................................................................................ 4

1. Son signe ............................................................................................................................................ 4

Propriété .............................................................................................................................................................................. 4

Démonstration ..................................................................................................................................................................... 4

2. Ses variations ..................................................................................................................................... 4

Théorème ............................................................................................................................................................................. 4

Démonstration ..................................................................................................................................................................... 4

Propriétés : .......................................................................................................................................................................... 4

3. Limites de la fonction exponentielle ................................................................................................... 4

Théorème ............................................................................................................................................................................. 4

Démonstration ..................................................................................................................................................................... 4

4. Courbe représentative......................................................................................................................... 5

Tableau de variation ......................................................................................................................................................... 5

Graphe ................................................................................................................................................................................. 5

5. ILPLPHV j ŃRQQMLPUH SMU Ń±XU HP j VMYRLU GpPRQPUHU ........................................................................... 5

Propriété .............................................................................................................................................................................. 5

Démonstration ROC ........................................................................................................................................................... 6

Croissance comparée ........................................................................................................................................................ 6

Démonstration ROC ........................................................................................................................................................... 6

6. Dérivée d·une fonction composé avec exp ............................................................................................. 7

III. Présentation de laFonction logarithme népérien ......................................................................... 7

1. Symétrie .............................................................................................................................................. 7

2. Relation fondamentale de la fonction logarithme népérien................................................................ 7

Rappels Exp et fonction ln

Page 1

Théorème ............................................................................................................................................................................. 7

Démonstration ROC ........................................................................................................................................................... 7

3. Autres propriétés de la fonction logarithme népérien......................................................................... 8

Démonstration ..................................................................................................................................................................... 8

IV. étude de la fonction logarithme neperien .................................................................................... 9

1. Variations de la fonction logarithme népérien ................................................................................... 9

Théorème ............................................................................................................................................................................. 9

Démonstration ..................................................................................................................................................................... 9

2. Signe de la fonction logarithme népérien ........................................................................................... 9

Propriété .............................................................................................................................................................................. 9

Démonstration ..................................................................................................................................................................... 9

3. Fonction dérivée de la fonction logarithme népérien ....................................................................... 10

Théorème .......................................................................................................................................................................... 10

Démonstration .................................................................................................................................................................. 10

4. Limites .............................................................................................................................................. 10

5. Dérivée de ࢒࢔࢛ ................................................................................................................................. 11

Démonstration ........................................................................................................................ Erreur ! Signet non défini.

I. RAPPELS SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE

1. Définition et propriétés très importantes

Théorème

fonction la fonction exponentielle et on la note : ݁ݔ݌.

Démonstration ROC

L·existence d·une telle fonction est admise mais la démonstration de son unicité est exigible au bac.

Montrons dans un premier temps que la fonction exponentielle ne s·annule pas sur Թ. constante en se plaçant à ݔLr :

On en déduit que ׊

-Ls

Rappels Exp et fonction ln

Page 2

Or cela est impossible, on en déduit que pour tout réel ݔ , ݂:T; ne s·annule pas.

Montrons maintenant que la fonction exponentielle est effectivement unique. Pour ce faire, on suppose qu·il

existe une autre fonction ݃ qui satisfait les mêmes propriétés que la fonction ݂, à savoir :

݃:r;Ls

déjà démontré. On dérive lors ݄ qui est dérivable sur Թ comme quotient de deux fonctions dérivables :

On en déduit que ݄ est une constante. Alors calculons la valeur de cette constante en se plaçant en - :

݄:r;LC:r;

B:r;Ls

sLs

Donc :

݄:T;Ls

݃:T;

B:T;Ls

On multiplie des deux côtés de l·égalité par ݂:T; :

݃:T;

B:T;HB:T;LsHB:T;

݃:T;LB:T;

Finalement nous avons bien démontré que ݂ est unique. Dans la suite du cours, la fonction exponentielle ݂ sera notée ݁ݔ݌

2. 5HOMPLRQ IRQŃPLRQQHOOH IRQGMPHQPMOH SMU Ń±XU

Théorème

Soient ܽ et ܾ

Rappels Exp et fonction ln

Page 3

Démonstration

cvn:quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Limite finie de suite

[PDF] limite fonction

[PDF] limite fonction racine nième

[PDF] limite fonction rationnelle en 0

[PDF] limite fonction trigonométrique exercice corrigé

[PDF] limite forme indéterminée exponentielle

[PDF] Limite indeterminée

[PDF] Limite infinie d'une suite

[PDF] limite ln usuelles

[PDF] limite logarithme népérien en 0

[PDF] limite logarithme népérien et exponentielle

[PDF] limite math

[PDF] limite math forme indéterminée

[PDF] limite math tableau

[PDF] limite polynome en 0

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CB4CB B

Table des matières

1. Définition et propriétés très importantes ............................................................................................. 1

2. Relation fonctionnelle fondamentMOH SMU Ń±XU ................................................................................ 2

3. Autres propriétés extrêmement importantes ....................................................................................... 3

4. Notation .............................................................................................................................................. 3

1. Son signe ............................................................................................................................................ 4

2. Ses variations ..................................................................................................................................... 4

3. Limites de la fonction exponentielle ................................................................................................... 4

4. Courbe représentative......................................................................................................................... 5

5. ILPLPHV j ŃRQQMLPUH SMU Ń±XU HP j VMYRLU GpPRQPUHU ........................................................................... 5

6. Dérivée d·une fonction composé avec exp ............................................................................................. 7

1. Symétrie .............................................................................................................................................. 7

2. Relation fondamentale de la fonction logarithme népérien................................................................ 7

Rappels Exp et fonction ln

Page 1

3. Autres propriétés de la fonction logarithme népérien......................................................................... 8

1. Variations de la fonction logarithme népérien ................................................................................... 9

2. Signe de la fonction logarithme népérien ........................................................................................... 9

3. Fonction dérivée de la fonction logarithme népérien ....................................................................... 10

4. Limites .............................................................................................................................................. 10

5. Dérivée de ࢒࢔࢛ ................................................................................................................................. 11

I. RAPPELS SUR LA FONCTION EXPONENTIELLE

1. Définition et propriétés très importantes

Théorème

Démonstration ROC

On en déduit que ׊

Rappels Exp et fonction ln

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 ݃:r;Ls

݄:r;LC:r;

B:r;Ls

Donc :

݄:T;Ls

݃:T;

B:T;Ls

݃:T;

B:T;HB:T;LsHB:T;

݃:T;LB:T;

2. 5HOMPLRQ IRQŃPLRQQHOOH IRQGMPHQPMOH SMU Ń±XU

Théorème

Soient ܽ et ܾ

Rappels Exp et fonction ln

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Démonstration

݃:r;Ls