[PDF] Limites. Continuité en un point

SoitA=Max(A1;A2;A3)etx>A. On a`e < `+e. On a montré que8e>0;(9A>a=8x>

A; `e < `+eet donc limx!+¥=`.

2ème cas. Supposons`= +¥(si`=¥, remplacerfparf).

SoitB>0.9A1>a=8X>A1;f(X+1)f(X)>2B.

PourX>A1etn2N, on a :f(X+n)f(X) =ån1k=0(f(X+k+1)f(X+k))>2nB. Soientx>1+A1,n=E(xA1)etX=xn. On af(x)f(xn)>2nBet donc, f(x)x >f(xn)x +2nBx qui tend vers 2Bquandxtend vers+¥(démarche identique au 1er cas).

Donc9A>A1>atel quex>A)f(xn)x

+2nBx >B.

Finalement : (8B>0;9A>a=(8x>A;f(x)x

>Bet donc, limx!+¥f(x)x = +¥.Correction del"exer cice2 NPourx6=0, posonsg(x) =f(2x)f(x)x .fest définie sur un voisinage de 0 et donc il existea>0 tel que ]a;a[Df. Mais alors,]a2 ;a2 [nf0g Dg.

Soitx2]a2

;a2 [nf0getn2N. f(x) =n1å k=0(f(x2 k)f(x2 k+1))+f(x2 n) =n1å k=0x2 k+1g(x2 k+1)+f(x2 n):

Par suite, pourx2]a2

;a2 [nf0getn2N, on a : 3 f(x)x

6n1å

k=012 k+1g(x2 k+1)+f(x=2n)x Soite>0. Puisque par hypothèse,gtend vers 0 quandxtend vers 0,

9a2]0;a2

[=8X2]a;a[;jg(X)jOr, pourx2]a;a[nf0get pourkdansN,x2

kest dans]a;a[nf0get par suite, n1å k=012 k+1g(x2 k+1)6e2 n1å k=012 k+1=e2 12 112
n112 =e2 (112 n) +f(x=2n)x . On a ainsi montré que

8x2]a;a[nf0g;8n2N;f(x)x

6e2
+f(x=2n)x

Mais, àxfixé,f(x=2n)x

tend vers 0 quandntend vers+¥. Donc, on peut choisirntel quef(x=2n)x 8e>0;9a>0=(8x2Df;0 généraux.Correction del"exer cice4 NSoit(x;y)2R2etz2A.jxzj6jxyj+jyzj. Or,forallz2A;jxzj>d(x;A)et doncd(x;A)jxyj

est un minorant defjyzj;z2Ag. Par suite,d(x;A)jxyj6d(y;A). On a montré que

8(x;y)2R2;d(x;A)d(y;A)6jyxj:

En échangeant les roles dexety, on a aussi montré que8(x;y)2R2;d(y;A)d(x;A)6jyxj. Finalement,8(x;y)2R2;kf(y)f(x)j6jyxj. Ainsi,fest donc 1-Lipschitzienne et en particulier continue surR.Correction del"exer cice5 NSoitx02Rnf5g. Pourx6=5, jf(x)f(x0)j=3x1x53x01x 05 =14jxx0jjx5j:jx05j:

Puis, pourx2]x0jx05j2

;x0+jx05j2 [, on ajx5j>jx05j2 [(>0), et donc,

8x2]x0jx05j2

;x0+jx05j2 [;jf(x)f(x0)j=28(x05)2jxx0j:

Soiente>0 puisa=Minfjx05j2

;(x05)2e28 g(>0). jxx0j0;9a>0=(8x2Rnf5g;jxx0jRnf5g.Correction del"exer cice6 NSoitcla fonction caractéristique deQ. Soitx0un réel. On note que

x

02Q, 8n2N;x0+1n

2QQ, 8n2N;x0+pn

=2Q:

Donc, lim

n!+¥c(x0+1n )existe, limn!+¥c(x0+pn )existe etlimn!+¥c(x0+1n )6=limn!+¥c(x0+pn )(bien que lim n!+¥x0+1n =limn!+¥x0+pn =x0. Ainsi, pour tout réelx02R, la fonction caractéristique deQn"a

pas de limite enx0et est donc discontinue enx0.Correction del"exer cice7 NSoitaun réel strcitement positif. On peut déjà noter que limx!a;x2RnQf(x) =0. Donc, sifa une limite quand

xtend versa, ce ne peut être que 0 etfest donc discontinue en tout rationnel strictement positif. adésigne toujours un réel strictement positif fixé. Soite>0. Soit x un réel strictement positif tel quef(x)>e. xest nécessairement rationnel, de la formepq oùpetqsont des entiers naturels non nuls premiers entre eux vérifiant

1p+q>eet donc

26p+q61e

Mais il n"y a qu"un nombre fini de couples d"entiers naturels non nuls(p;q)vérifiant ces inégalités et donc, il

n"y a qu"un nombre fini de réels strictement positifsxtels quef(x)>e. Par suite,9a>0 tel que aucun des réelsxde]x0a;x0+a[ne vérifief(x)>e. Donc,

8a>0;8e>0;9a>0=8x>0;(0 ou encore

8a>0;limx!a;x6=af(x) =0:

Ainsi,fest continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.Correction del"exer cice8 NDonnons tout d"abord une expression plus explicite def(x)pour chaque réelx.

Six>1, alors1x

2]0;1[et donc,f(x) =0.

Si9p2N=x2]1p+1;1p

];f(x) =px. f(0) =1 (et plus généralement,8p2Z;f(1p ) =1).

Six61, alors1x

2[1;0[et donc,f(x) =x.

Enfin, si9p2Znf1gtel quex2]1p+1;1p

], alors1p+1Etude en 0.8x2R;1x

1 )61x et donc 1x0 et 16f(x)<1xsix<0. Par suite,

8x2R;jf(x)16jxj;

et lim x!0f(x) =1.fest donc continue en 0. fest affine sur chaque intervalle de la forme]1p+1;1p ]pourpélément deZnf1;0get donc est continue sur ces intervalles et en particulier continue à gauche en chaque 1p .fest affine sur]¥;1]et aussi sur]1;+¥[

et est donc continue sur ces intervalles. Il reste donc à analyser la continuité à droite en

1p , pourpentier relatif non nul donné. Mais, 5 f(1p ) =lim x!1p ;x>1p (x(p1)) =11p

6=1=f(1p

fest donc discontinue à droite en tout1p oùpest un entier relatif non nul donné.

Graphe def:1-1-2

1 ?Correction del"exer cice9 NSoitf(x) =8 :xsix2(Q\[0;1])nf0;12 g

1xsix2(RnQ)\[0;1]

0 six=12

et12 six=0.fest bien une application définie sur[0;1]à valeurs dans[0;1].

De plus, six2(Q\[0;1])nf0;12

g, alorsf(f(x)) =f(x) =x. Six2(RnQ)\[0;1], alors 1x2(RnQ)\[0;1]et doncf(f(x)) =f(1x) =1(1x) =x.

Enfin,f(f(0)) =f(12

) =0 etf(f(12 )) =f(0) =12 Finalement,ff=Id[0;1]etf, étant une involution de[0;1], est une permutation de[0;1]. Soitaun réel de[0;1]. On note que limx!a;x2(RnQ)f(x)=1aet limx!a;x2Qf(x)=a. Donc, sifa une limite ena, nécessairement 1a=aet donca=12 . Mais, sia=12 , limx!a;x2Q;x6=af(x) =a=12

6=0=f(12

)et donc

fest discontinue en tout point de[0;1].Correction del"exer cice10 NSoitTune période strictement positive def. On note`la limite defen+¥.

Soitxun réel.8n2N;f(x) =f(x+nT)et quandntend vers+¥, on obtient : f(x) =limn!+¥f(x+nT) =`:

Ainsi,8x2R;f(x) =`et donc,fest constante surR.6

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