Limites de fonctions
Ce qui exprime bien que la limite de f en +? est l. Correction de l'exercice 2 ?. Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes de
LIMITES – EXERCICES CORRIGES ( )
Page 1/18. LIMITES – EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ?de chacune des fonctions suivantes :.
Limites – Corrections des Exercices
1 ? x devient arbitrairement grand dans les positifs. —. Exercice no 2. Déterminer les limites suivantes aux valeurs demandées. (1). a. lim.
Développements limités
Développements limités. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx à l'ordre 3.
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
Feuille d'exercices 10. Développements limités-Calculs de limites. Exercice 1. Etablir pour chacune des fonctions proposées ci-dessous un développement
Exercices Complémentaires
5. 4.2 Exercice 4.2. Sens de l'effet inductif (+I -I) et éventuellement mésomère (+M
Limites asymptotes EXOS CORRIGES
M. CUAZ http://mathscyr.free.fr. Page 1/18. LIMITES – EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ? de chacune des fonctions
Limites de fonctions – Comportement asymptotique - Exercices
Calculer la limite de f en +?. Exercice 8 corrigé disponible. Calculer les limites suivantes : 1. lim x???.
Exercice 1 Calculer les limites suivantes a) b) c) d) e) f) g) h
FILIERE : SEG– S1- SECTION B&C. FEUILLE DE TD N° 1. Année : 2020-2021. ANALYSE MATHEMATIQUE. Exercice 1 Calculer les limites suivantes.
Limites. Continuité en un point
Correction ?. [005388]. Exercice 8 **IT. Etudier en chaque point de R l'existence d'une limite à droite à gauche
Développements limités
Corrections d"Arnaud Bodin.
1 Calculs
Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 32.(ln(1+x))2à l"ordre 4
3. shxxx3à l"ordre 6
4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin6(x)à l"ordre 9
6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.1cosxà l"ordre 4
8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)9.(1+x)11+xà l"ordre 3
10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en
p3 deh(x) =ln(sinx).Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à
l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥.2 Applications
Exercice 4Calculer les limites suivantes
lim x!0e x2cosxx2limx!0ln(1+x)sinxx
limx!0cosxp1x2x 4Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.
Déterminer:
1. (a) lim x!+¥px2+3x+2+x
(b) lim x!¥px2+3x+2+x
2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)131sinx1cosx
Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N:Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose
M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.
3.Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et
telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0.4 DL implicite
Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.Quelle relation lie xnet arctan(xn)?
3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.En reportant dans la relation trouvée en
2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2.Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :
1.2 exp1+4xp1+6x2, en 0
2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0
3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px2+123px
3+x+4px
4+x2, en+¥
5. ar gch1cosx, en 0
cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal.Calculer
`=limx!+¥ ln(x+1)lnx xDonner un équivalent de
ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥.Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13
x3+o(x3)2.(ln(1+x))2=x2x3+1112
x4+o(x4) 3. shxxx 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+o(x6) 4. e xp sin(x)=1+x+12 x218 x4+o(x4) 5. sin6(x) =x6x8+o(x9)
6. ln (cosx) =12 x2112 x4145 x6+o(x6) 7.1cosx=1+12
x2+524 x4+o(x4) 8. tan x=x+x33 +2x515 +17x7315 +o(x7)9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32
+o(x3) 10. arcsin ln(1+x2)=x2x42 +x62+o(x6)Indication pourl"exer cice2 NPour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poserh=x1 et considérer un
dl au voisinage deh=0.Indication pourl"exer cice3 NEnx=0 c"est le quotient de deux dl. Enx= +¥, on poseh=1x
et on calcule un dl enh=0.Indication pourl"exer cice4 NIl s"agit bien sûr de calculer d"abord des dl afin d"obtenir la limite. On trouve :
1. lim x!0ex2cosxx 2=32 2. lim x!0ln(1+x)sinxx =0 3. lim x!0cosxp1x2x 4=16Indication pour
l"exer cice5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il
faut pour répondre aux questions. Idem enx=1.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de faire un dl afin de trouver la limite.
1. (a) lim x!+¥px2+3x+2+x= +¥
(b) lim x!¥px2+3x+2+x=32
2. lim x!0+(arctanx)1x 2=0 4 3.lim x!0(1+3x)131sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.
Indication pour
l"exer cice8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.
2.Étudier la fonction f(h) =h2
M2+2hM0et trouver infh>0f(h).
3.Il f autchoisir un a>0 tel queg(x)soit assez petit sur]a;+¥[; puis appliquer les questions précédentes
àgsur cet intervalle.Indication pourl"exer cice11 NIdentifier les dl de cosxet1+ax21+bx2enx=0.Indication pourl"exer cice12 NFaites un développement faisant intervenir desxet des lnx. Trouvez`=1.5
Correction del"exer cice1 N1.cos xexpx(à l"ordre 3).Le dl de cosxà l"ordre 3 est
cosx=112! x2+e1(x)x3:Le dl de expxà l"ordre 3 est
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