[PDF] Développements limités Développements limités. Corrections





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Limites de fonctions

Ce qui exprime bien que la limite de f en +? est l. Correction de l'exercice 2 ?. Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes de 



LIMITES – EXERCICES CORRIGES ( )

Page 1/18. LIMITES – EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ?de chacune des fonctions suivantes :.



Limites – Corrections des Exercices

1 ? x devient arbitrairement grand dans les positifs. —. Exercice no 2. Déterminer les limites suivantes aux valeurs demandées. (1). a. lim.



Développements limités

Développements limités. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx à l'ordre 3.



Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

Feuille d'exercices 10. Développements limités-Calculs de limites. Exercice 1. Etablir pour chacune des fonctions proposées ci-dessous un développement 



Exercices Complémentaires

5. 4.2 Exercice 4.2. Sens de l'effet inductif (+I -I) et éventuellement mésomère (+M



Limites asymptotes EXOS CORRIGES

M. CUAZ http://mathscyr.free.fr. Page 1/18. LIMITES – EXERCICES CORRIGES. Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ? de chacune des fonctions 



Limites de fonctions – Comportement asymptotique - Exercices

Calculer la limite de f en +?. Exercice 8 corrigé disponible. Calculer les limites suivantes : 1. lim x???.



Exercice 1 Calculer les limites suivantes a) b) c) d) e) f) g) h

FILIERE : SEG– S1- SECTION B&C. FEUILLE DE TD N° 1. Année : 2020-2021. ANALYSE MATHEMATIQUE. Exercice 1 Calculer les limites suivantes.



Limites. Continuité en un point

Correction ?. [005388]. Exercice 8 **IT. Etudier en chaque point de R l'existence d'une limite à droite à gauche

Exo7

Développements limités

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Calculs

Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 3

2.(ln(1+x))2à l"ordre 4

3. shxxx

3à l"ordre 6

4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin

6(x)à l"ordre 9

6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.

1cosxà l"ordre 4

8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)

9.(1+x)11+xà l"ordre 3

10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.

Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en

p3 deh(x) =ln(sinx).

Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à

l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥.

2 Applications

Exercice 4Calculer les limites suivantes

lim x!0e x2cosxx

2limx!0ln(1+x)sinxx

limx!0cosxp1x2x 4

Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.

Déterminer:

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x

2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx

Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N:

Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose

M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.

En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.

3.

Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et

telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0.

4 DL implicite

Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.

Quelle relation lie xnet arctan(xn)?

3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.

En reportant dans la relation trouvée en

2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2.

Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :

1.

2 exp1+4xp1+6x2, en 0

2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0

3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px

2+123px

3+x+4px

4+x2, en+¥

5. ar gch

1cosx, en 0

cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal.

Calculer

`=limx!+¥ ln(x+1)lnx x

Donner un équivalent de

ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥.

Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13

x3+o(x3)

2.(ln(1+x))2=x2x3+1112

x4+o(x4) 3. shxxx 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+o(x6) 4. e xp sin(x)=1+x+12 x218 x4+o(x4) 5. sin

6(x) =x6x8+o(x9)

6. ln (cosx) =12 x2112 x4145 x6+o(x6) 7.

1cosx=1+12

x2+524 x4+o(x4) 8. tan x=x+x33 +2x515 +17x7315 +o(x7)

9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32

+o(x3) 10. arcsin ln(1+x2)=x2x42 +x62

+o(x6)Indication pourl"exer cice2 NPour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poserh=x1 et considérer un

dl au voisinage deh=0.Indication pourl"exer cice3 NEnx=0 c"est le quotient de deux dl. Enx= +¥, on poseh=1x

et on calcule un dl enh=0.Indication pourl"exer cice4 NIl s"agit bien sûr de calculer d"abord des dl afin d"obtenir la limite. On trouve :

1. lim x!0ex2cosxx 2=32 2. lim x!0ln(1+x)sinxx =0 3. lim x!0cosxp1x2x 4=16

Indication pour

l"exer cice

5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il

faut pour répondre aux questions. Idem enx=1.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de faire un dl afin de trouver la limite.

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x= +¥

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x=32

2. lim x!0+(arctanx)1x 2=0 4 3.lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.

Indication pour

l"exer cice

8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.

2.

Étudier la fonction f(h) =h2

M2+2h

M0et trouver infh>0f(h).

3.

Il f autchoisir un a>0 tel queg(x)soit assez petit sur]a;+¥[; puis appliquer les questions précédentes

àgsur cet intervalle.Indication pourl"exer cice11 NIdentifier les dl de cosxet1+ax21+bx2enx=0.Indication pourl"exer cice12 NFaites un développement faisant intervenir desxet des lnx. Trouvez`=1.5

Correction del"exer cice1 N1.cos xexpx(à l"ordre 3).

Le dl de cosxà l"ordre 3 est

cosx=112! x2+e1(x)x3:

Le dl de expxà l"ordre 3 est

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