[PDF] Modèle mathématique. Nombre dérivé et Fonctions

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Secteur Mathématiques

214.02 : Nombre dérivé - Fonction dérivée ANALYSE 1.4

Analyse

Leçon 2 :

Nombre dérivé et Fonctions dérivée

Introduction

suivantes. Il convient donc de la traiter avec la plus grande attention.

La partie rappels sur les fonctions à proprement parlées sera très succincte dans la mesure ou les fonctions constituent une grande partie

Cette leçon se découpe en trois temps.

- Premier temps : bref rappels sur les fonctions (histoire d'asseoir les bases connues) cette premiğre partie permettra de rappeler

les pré-requis.

- Deuxième temps : Définir le nombre dérivé ainsi que la fonction dérivée par rapport à la tangente à la courbe représentative.

- Troisième temps : Cette dernière partie permet de définir la fonction dérivée et de la calculer dans quelques cas simples, la fin

Ġtant consacrĠe ă l'utilisation de ce nouǀel outil afin de prĠǀoir les ǀariations d'une fonction inconnue.

Il convient alors au professeur de découper cette leçon en trois, ou bien de faire cette leçon en quatre ou cinq séquences.

Extraits du B.O.

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214.02 : Nombre dérivé - Fonction dérivée ANALYSE 2.4

1. Nombre dérivé

Définition : Nombre dérivé d·une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre a et C sa courbe représentative dans la plan rapporté à un repère

orthogonal. Démonstration de la formule donnant le coefficient directeur :

Soient deux points fictifs A(xA,yA) et B(xB,yB), refaire les deux questions précédentes sachant que les deux points appartiennent à la droite

YA= a.xA+ b (2)

YB= a.xB+ b (3)

On calcule alors (3) - (2) :

YB - YA = a.(xB - xA)

On en déduit alors :

a = YB - YA xB - xA q Méthode : tion graphique - b est l'ordonnĠe ă l'origine et se dĠtermine comme tel. - Pour déterminer le coefficient a on prend 2 points appartenant à la droite et on applique la formule : a = yB ʹ yA xB ʹ xA q Document N°1 : Activité La courbe C est la courbe reprĠsentatiǀe d'une fonction f. Les droites (T1), (T2) et (T3) sont les tangentes à la courbe C aux points A, B et C.

1) Donner les (0 ; 3), N (2 ; 2) et P (0 ; 2,5).

Correction :

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214.02 : Nombre dérivé - Fonction dérivée ANALYSE 3.4

q Document N°2 : exercice Soit la fonction f définie sur [-4 ; 2] par f(x) = x² + 2x - 2, sachant que f '(1) с 4, dĠterminer ͗

1. Coordonnées du point A.

2. Placer les points P (-2 ; -3) et S (0 ; -3).

3. Coefficient directeur de la tangente en A.

4. Equation de la tangente en A.

5. Equation de la tangente en B.

Réponses :

Soit la fonction f définie sur [-4 ; 2] par f(x) = x² + 2x - 2, sachant que f '(1) с 4, dĠterminer ͗

1. coordonnées du point A : (1 ; 1)

2. coefficient directeur de la tangente en A : a = 4

3. équation de la tangente en A : y = 4x - 3

4. équation de la tangente en B : y = - 4x + b

(en B : 1 = -4 x -3 + b donc b = -11) y = -4x -11 q Document N°3 : Application Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² et C sa courbe représentative.

1) Calculer les coefficients directeurs des trois tangentes aux points M1

M2 et M3.

On a tracé les tangentes (T1), (T2) et (T3) à la courbe représentative aux points M1, M2 et M3.

2) En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau suivant

2. Les fonctions et leurs dérivées

2.1- Fonction dérivée.

Définition : Fonction dérivée

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

La fonction qui, a tout réel x de I, associe le nombre dérivé Ĩ';dž) de f en x est appelée fonction dérivée de f. On la note Ĩ'.

On dit communément dérivée de f au lieu de fonction dérivée de f. q Tableau des dérivées des fonctions usuelles Soit f une fonction définie sur un intervalle I. a -1 0 1 2 f'(a)

Fonction f Dérivée f'

a ; a réel 0 x 1 ax+ b a x² 2x

X3 3x²

1/x -1/x²

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214.02 : Nombre dérivé - Fonction dérivée ANALYSE 4.4

q Document N°4 : On a tracĠ la courbe reprĠsentatiǀe d'une fonction inconnue.

2) Placer le point J (1 ;-0.5)

2.2-

Règles de dérivation

Dans ces conditions, pour tout x de I :

q Document N°5 : Applications

1) Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par : f(x) = 4x²

2) Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par : f(x) = x3 + 5x - 2

3) Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par : f(x) = 3x² - 2x + 1

2.3- Dérivée et sens de variation.

q Document N°6 : Découverte

La courbe C est la représentation graphique de la fonction f dĠfinie sur l'interǀalle ΀-1 ;4] par :

f(x) = x²

2 - x

contre, indiquez sur quel intervalle la fonction f est décroissante, sur quel intervalle est-elle décroissante ?

3) En utilisant les résultats précédents, reproduire

et compléter le tableau ci-contre :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et admettant une dérivée sur cet intervalle.

. si pour tout x de I, on a : Ĩ';džͿхϬ, alors f est croissante sur I. . si pour tout x de I, on a : Ĩ';džͿфϬ, alors f est décroissante sur I. . si pour tout x de I, on a : Ĩ';džͿсϬ, alors f est constante sur I. x -1 1 4 signe de f'(x) 0 variation de fquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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