[PDF] Les séries numériques — 12 mai 2018 Cours MPSI

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Les s´eries num´eriques

Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

12 mai 2018

Voir la vid´eo de Micka¨el Launay sur YouTube

L"objet de ce chapitre est la d´efinition et l"´etude de la convergence de s´eries num´eriques.

Dans tout ce chapitre, (un) repr´esente une suite num´erique `a valeurs r´eelles ou complexes.

1 Convergence d"une s´erie num´erique

D´efinition 1 :

On appellesuite des sommes partiellesde la suite (un)n?Nla suite (sn)n?Nde terme g´en´eral :sn=n?k=0u

k la suite (sn) est plus simplement not´ee?u net on parle alors de la "s´erie?u n". On dira queunest leterme g´en´eralde la s´erie?u n.

Remarque1.La s´erie?u

npeut aussi ˆetre not´ee? n≥0u nou? n?Nu nou? n≥n0u nsiunn"est d´efini qu"`a partir den0.

D´efinition 2 :Lorsque la s´erie?u

nconverge vers une limites, on note : lasommede la s´erie?u nlereste d"ordrende la s´erie?u n s=+∞?k=0u nrn=s-sn=+∞? k=n+1u ko`urn→0 1 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/

Remarque2.Attention!!

1. Les notations

k=0u net+∞? k=n+1u nn"ont de sens que si l"on a prouv´e la convergence de la s´erie!

2. La notation

?u nrepr´esente la s´erie que celle-ci converge ou pas.

3. Il faudra en particulier ne pas confondre les notations

k=0u net? n?Nu n. Exemple 1.(?) Dans quel cas une s´erie de terme g´en´eralunconstant converge-t-elle? Exemple 2.(?) La s´erie de terme g´en´eralun=1

2nconverge t-elle? Si oui, d´eterminer sa somme.

L"essentiel de ce chapitre est consacr´e `a l"´etude de la nature d"une s´erie!!

Remarque3.Nature d"une s´erie :

1. Lanatured"une s´erie num´erique est le fait qu"elle converge ou diverge.

2. Etudier la nature d"une s´erie num´erique consiste `a ´etudier la convergence de la suite (sn).

3. La nature d"une s´erie ne d´epend pas de ses premiers termes.

4. On dira que deux s´eries sontde mˆeme naturelorsqu"elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux

divergentes. M´ethode 1: Etude de la nature d"une s´erie. On pourra simplement ´etudier la convergence de la suite (sn) des sommes partielles.

Remarque4.Mˆeme si cette premi`ere m´ethode peut s"av´ererint´eressante, nous allons voir dans ce chapitre des m´ethodes

plus effficaces portant simplement sur l"´etude du terme g´en´eralunde la s´erie?un´etudi´ee.

Th´eor`eme 1 :Caract´erisation de la propri´et´e "sont de mˆeme nature"

Soit deux s´eries?unet?vn.

On a :

?unet?vnsont de mˆeme nature??(?unconverge???vnconverge)

Preuve 1 :Imm´ediat.

Exemple 3.(?) Soit (un) et (vn) deux suites telles queun=vn+αnavec?αnqui converge.

Montrer que?unet?vnsont de mˆeme nature.

Proposition 2 :Caract´erisation de la convergence d"une suite complexe

Soit (zn)?CN. Nous avons alors :

z nconverge??? ?Re(zn)?Im(zn)convergenteten cas de convergence : +∞?k=0z n=+∞?k=0Re(zn) +i+∞?k=0Im(zn)

Nous allons voir dans ce chapitre des m´ethodes permettant d"´etudier la nature d"une s´erie?u

nen nous int´eressant

uniquement `a son terme g´en´eralunet donc sans avoir a ´etudier l"expression des sommes partielles qui souvent est

complexe et incalculable. 2 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/

1.1 L"exemple des s´eries g´eom´etriques

Th´eor`eme 3 :Soitq?C.

qnconverge?? |q|<1 et dans ce cas :s=+∞?k=0x k=1 1-q.

Preuve 3 :Aucune difficult´e!

Exemple 4.(?) Justifier la convergence et calculer la somme des s´eries :? k≥10(⎷

2)-ket?

k≥1(eπ)k.

Exercice : 1

(?) Lorsque la s´erie?qnconverge, calculer la valeur de son restern.

Exercice : 2

(?) Prouver que les s´eries?cosn2net?sinn2nconvergent et d´eterminer leur somme.

1.2 Condition n´ecessaire de convergence

Th´eor`eme 4 :Pour qu"une s´erie?u

nconverge, il faut n´ecessairement queun?→0.

Preuve 4 :Il suffit de remarquer queun=sn-sn-1.

Remarque5.Lorsqu"une s´eriene v´erifie pas cette condition n´ecessairede convergence,on dit qu"ellediverge grossi`erement.

Exemple 5.(?) Quelle est la nature des s´eries suivantes :?n

1 +net?(1 +1n)n?

Remarque6.

Cette condition n´ecessaire (CN) n"est pas suffisante. Consid´erer pour cela la s´erie? n≥11n.

Exercice : 3

(?) Justifier de deux fa¸cons diff´erentes que la s´erie?(-1)ndiverge.

1.3 Lien entre convergence d"une suite et d"une s´erie t´elescopique

Th´eor`eme 5 :Soit (un) une suite r´eelle.

Alors :

(un) et?(un+1-un) sont de mˆeme nature Preuve 5 :Pas de difficult´e en calculant la somme partielle de?(un+1-un). Exemple 6.(?) Justifier la convergence de la s´erie?1 n(n+ 1).

1.4 Lin´earit´e de la somme

Th´eor`eme 6 :Si?u

net?u?nconvergent respectivement verssets?alors :

1. la s´erie

?(un+u?n) converge verss+s?

2. la s´erie

?λu nconverge versλ.s(o`uλ?C)

On peut r´esumer ces propri´et´es en disant que l"ensemble des s´eries convergentes est unK-ev.

3 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/

Preuve 6 :Pas de difficult´e en appliquant les th´eor`emes g´en´eraux sur les limites de suites.

Remarque7.

Attention :

1. Mˆeme si les s´eries?unet?vnconvergent verssets?, il est faux de dire que?un.vnconverges.s?!!

2. Ce n"est pas parce que

?(un+u?n) converge que les s´eries? ?un?u?nconvergent.

Trouvez des contre-exemples!

Exemple 7.(?)

1. Que dire de :

•la somme de deux s´eries divergentes?

•Et de la somme d"une s´erie divergente avec une s´erie convergente?

2. Change-t-on la nature d"une s´erie lorsqu"on ajoute `a son terme g´en´eral le terme g´en´eral d"une s´erie convergente?

Nous allons dans la suite du chapitre exclusivement nous int´eresser `a 2 types de s´eries :

1. Les s´eries `a termes positifs

2. Les s´eries absolument convergentes

Remarque8.L"´etude des s´eries `a terme g´en´eralunde signe non constant sera approfondi et 2-`eme ann´ee.

2 S´eries `a termes positifs

Dans cette section, toutes les s´eries seront `a termes REELS positifs `a partir d"un certain rang.

On rappelle que les premi`eres valeurs deunn"influencent pas la nature de?un.

2.1 Les th´eor`emes de convergence

D´efinition 3 :On dit qu"une s´erie?u

nest `a termes positifs si?n?N, un≥0.

Remarque9.La s´erie est `a termes positifs `a partir d"un certain rang si :?N?Ntel que?n≥N, un≥0.

Th´eor`eme 7 :Caract´erisation de la convergence Soit ?u nune s´erie `a termes positifs (`a partir d"un certain rang) et (sn) la suite des sommes par- tielles.

On a alors :

?u nconverge??(sn) major´ee

Preuve 7 :

?Une suite convergente est major´ee. ?La suite des sommes partielles d"une s´erie `a termes positifs est croissante. C"est donc une cons´equence du th´eor`eme de la limite monotone. Remarque10.Une s´erie `a termes positifs est soit convergente, soit divergente vers +∞. 4 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/

Figure1 - Th´eor`eme des 2 ballons

Corollaire 8 :Th´eor`eme des "deux ballons"

Soient

?u net?v ntelles que : 0≤un≤vn`a partir d"un certain rang. 1. Si ?v nconverge, alors?u nconverge et dans ce cas :+∞? k=0uquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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