[PDF] Cours de mathématiques MPSI Le nombre Sn est appelé

Chapitre 21Séries numériquesSommaireI Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1961) Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1962) Premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1973) Séries géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198II Séries à termes positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1981) Critère de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1992) Théorèmes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1993) Comparaison avec une intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200III Séries à termes quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2001) Séries absolument convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2002) Séries alternées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2013) Séries obtenues par une formule de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2024) Développement décimal d"un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203IV Solution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203I GÉNÉRALITÉSDans tout le chapitreKdésigneRouC. On cherche à généraliser la notion de somme d"éléments deKàun nombre infini de termes.1) DéfinitionsSoit(un)n2Nune suite d"éléments deK. On appellesérie de terme généralunla suite(Sn)n2NdéfinieparSnAEnPkAE0uk. Le nombreSnest appelésomme partielle de rangn(d"ordren) de la série. La sériede terme généralunest notéePn2Nun.Définition 21.1ZExemples:-Pn>0qn: série géométrique de raisonq.-Pn2Nznn!avecz2K: série exponentielle.-Pn>11n®où®2R: séries de Riemann.•On dit que la série de terme généralunestconvergentelorsque la suite des sommes partielles(Sn)n2Nest convergente. Si c"est le cas, la limite de la suite des sommes partielles est appeléesommede la sérieet notéeÅ1PnAE0un. On a doncÅ1PnAE0unAElimn!Å1SnAElimn!Å1nPkAE0uk. La différence entre la sommeDéfinition 21.2(convergence d"une série)MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 196 -©Fradin Patrick -

Séries à termes positifs Chapitre 21 : Séries numériquesSoitPn2Nununesérieàtermecomplexe,celle-ciestconvergentesietseulementsilesdeuxsériesréellesPn2NRe(un)etPn2NIm(vn)sont convergentes, et auquel cas on a :Å1PnAE0unAEÅ1PnAE0Re(un)ÅiÅ1PnAE0Im(un).Théorème 21.3(convergence d"une série complexe)Preuve: Soit (An) la suite des sommes partielles de la sériePn2NRe(un) et (Bn) la suite des sommes partielles de la sériePn2NIm(vn). Alors (UnÅiVn) est la suite des sommes partielles de la sériePn2Nun. Le reste découle des propriétés dessuites complexes convergentes.Si la sériePn2Nunconverge alors on a nécessairementlimunAE0, maisla réciproque est fausse.Théorème 21.4(condition nécessaire de convergence)Preuve: Soit (Sn) la suite des sommes partielles, alors la suite (Sn) converge versS1la somme de la série, d"oùlimUn¡Un¡1AES1¡S1AE0, c"est à dire limunAE0.Pour la réciproque prenonsunAE1pn, alorsSnAEnPkAE11pk>n1pnAEpn, on en déduit queSn! Å1. La série estdivergente bien que le terme généraluntende vers 0.On dit que la sériePn2Nundivergegrossièrementlorsque le terme général ne tend pas vers0.Définition 21.3ZExemples:-La sériePn2N(¡1)nest grossièrement divergente.-La sériePn2N1n(série harmonique) est divergente (mais pas grossièrement), en effetS2n¡SnAE2nPkAEnÅ11k>n2nAE12. Si la série était convergente alors la suite (Sn) convergerait vers la sommeS1, mais alorsS2n¡Sn!S1¡S1AE0, on aurait donc 0>12ce qui est absurde. La série harmonique est doncdivergente.Rappel: dans le TD sur les suites, nous avons établi quenPkAE11k»ln(n).3) Séries géométriquesLa série géométriquePn2Nznavecz2C, est convergente si et seulement sijzjÇ1, auquel cas sa sommeestÅ1PnAE0znAE11¡z.Théorème 21.5(nature des séries géométriques)Preuve: Sijzj>1 alorsjznj>1 et donc la suite (zn) ne peut pas tendre vers 0, la série est donc grossièrement divergentedans ce cas.SijzjÇ1, alors SnAEnPkAE0zkAE1¡znÅ11¡z, orznÅ1!0 carjzjÇ1, il en découle que Sn!11¡z.ZExemples:-La sériePn2N(¡13)nest convergente etÅ1PnAE0(¡13)nAE11Å13AE34.-La sériePn2N(¡1)nest grossièrement divergente.Pour les séries géométriques convergentes on prendra garde à l"indice du premier terme avant d"appliquer laformule!Attention!II SÉRIES À TERMES POSITIFSDans ce paragraphe toutes les séries sont àtermes réels positifs. Pour ces séries, il faut remarquer queles sommes partielles formentune suite croissante. La définition peut s"étendre aux séries dont le termegénéral est réel positifà partir d"un certain rangseulement.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 198 -©Fradin Patrick -

Séries à termes positifs Chapitre 21 : Séries numériques1) Critère de convergenceUnesérieàtermespositifsestconvergentesietseulementsilasuitedessommespartiellesestmajoréedansR.Théorème 21.6Preuve: La série converge si et seulement si la suite (Sn) converge, or cette suite est croissante, on sait donc qu"elleconverge si et seulement si elle est majorée. La résultat en découle.Remarque 21.2 -•Lorsque la suite(Sn)des sommes partielles n"est pas majorée, on aSn!Å1puisque cette suite est croissante.• Le critère s"applique aux séries à termes positifsà partir d"un certain rang.ZExemple: La sériePn2N1n2est convergente. En effet, pourn>2 on a1k261k(k¡1)AE1k¡1¡1k, on en déduit queSn61ÅnPkAE21k¡1¡1kAE2¡1n, et par conséquent Sn62.Le critère est en défaut lorsque la série n"est pas à termes positifs. Par exemple la sériePn2N(¡1)nest divergente alorsque ses sommes partielles sont bornées.Attention!2) Théorèmes de comparaisonSoientPn2NunetPn2Nvndeux séries telles qu"à partir d"un certain rangNon ait06un6vn, alors on a :• Si laPn2Nvnconverge alors la sériePn2Nunconverge et on aÅ1PnAENun6Å1PnAENvn.• Si la sériePn2Nundiverge alors la sériePn2Nvndiverge.Théorème 21.7Preuve: D"après les hypothèses, on anPkAENuk6nPkAENvk.•Si la sériePn2Nvnconverge, alors (nPkAE0vk) converge et donc (nPkAENvk) converge, cette suite est donc majorée par uncertain réelM, on en déduit que la somme partielle de la sériePn2Nunest majorée, comme elle est à termes positifs àpartir d"un certain rang, elle converge et l"inégalité sur les sommes en découle.•Si la sériePn2Nundiverge, alors (nPkAENuk) est croissante divergente, donc de limiteÅ1, on en déduit que (nPkAE0vk) tendversÅ1, cette suite n"est donc pas majorée, donc la sériePn2Nvnest divergente puisqu"elle est à terme positif à partird"un certain rang.ZExemples:-La série de terme général1n3est convergente car1n361n2et celle-ci est une série est convergente.-Si®Ç1, alors la série de terme général1n®est divergente car1n61n®et on sait que la série harmoniqueest divergente.Soient(un)et(vn)deux suites à termes positifs (à partir d"un certain rang).• SiunAEO(vn)et siPn2Nvnconverge, alors la sériePn2Nunconverge.• SiunAEO(vn)et siPn2Nundiverge, alors la sériePn2Nvndiverge.• Siun»vnalors les deux sériesPn2NunetPn2Nvnsont de même nature.Théorème 21.8(utilisation des relations de comparaison)Preuve: SiunAEO(vn), alors il existe un réelMÈ0 tel qu"à partir d"un certain rang on aitun6Mvn, les deux premierspoints en découlent compte tenu du théorème précédent.Siun»vnalors on a à la foisunAEO(vn)etvnAEO(un). Le résultat en découle.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 199 -©Fradin Patrick -

Séries à termes quelconques Chapitre 21 : Séries numériquesRemarque 21.3 -Les deux premiers points du théorème s"appliquent aussi lorsque unAEo(vn).ZExemples:-SoitunAEsin(1n) alorsun»1n, on en déduit que la série de terme généralunest à termes positifs pournassez grand et qu"elle est divergente, car la série harmonique diverge.-SoitunAE1¡cos(1n), alorsun»12n2, on en déduit que la série de terme généralunest à termes positifspournassez grand et qu"elle est convergente, car la série de terme général1n2converge.3) Comparaison avec une intégraleCette comparaison peut se faire pour les séries dont le terme général est de la formeunAEf(n) oùfestune fonction continue monotone et à valeurs positives sur un intervalle IAE[A;Å1[.Soitf: [0;Å1[!Rune fonctioncontinue,monotoneet àvaleurs positives.• Sifest croissante alors8n2N,f(0)ÅRn0f(t)dt6nPkAE0f(k)6RnÅ10f(t)dt.• Sifest décroissante alors8n2N,RnÅ10f(t)dt6nPkAE0f(k)6f(0)ÅRn0f(t)dt.Théorème 21.9Preuve: Supposonsfcroissante, alors sur l"intervalle [k;kÅ1] on af(k)6f(t)6f(kÅ1), on en déduit en intégrantsur cet intervalle quef(k)6RkÅ1kf(t)dt6f(kÅ1), on somme alors ces inégalités pourkallant de 0 àn, ce qui donnenPkAE0f(k)6RnÅ10f(t)dt6nÅ1PkAE1f(k), ce qui donne le premier encadrement. L"autre cas se traite de la même façon.ZExemple: On considère la série de terme généralunAE1nln(n)pourn>2. Soitf(t)AE1tln(t)sur [2;Å1[, cettefonction est continue, positive et décroissante, on en déduit queRnÅ12f(t)dt6nPkAE21kln(k))6f(2)ÅRn2f(t)dt,orRn2f(t)dtAE[ln(ln(t))]n2AEln(ln(n))¡ln(ln(2)!Å1, la série est donc divergente.Soit®2R, la série de terme général1n®est convergente si et seulement si®È1.Théorème 21.10(convergence des séries de Riemann)Preuve: Si®60 alors le terme général ne tend pas vers 0, la série est donc grossièrement divergente.Supposons®È0 et soitf(t)AE1t®, c"est une fonction continue, positive et décroissante sur [1;Å1[, on en déduit quequeRnÅ11f(t)dt6nPkAE11k®6f(1)ÅRn1f(t)dt. On sait queRn1dtt®AE(ln(n) si®AE1n1¡®¡11¡®sinon. Si®61 alorsRn1f(t)dt!Å1etdonc les sommes partielles tendent versÅ1. Par contre, si®È1 alors (Rn1f(t)dt) est convergente, donc majorée, etdonc la série (qui est à termes positifs) converge.ZExemples:-SoitunAEe¡pn, on sait quen2AEo³epn´, on en déduit quen2unAEo(1)et doncunAEo¡1n2¢, or la sériede Riemann de terme général1n2converge, donc la sériePn2Ne¡pnest convergente.-SoitunAE1pnln(n),n®unAEn®¡1/2ln(n)!Å1si on prend®È12(théorème des croissances comparées), doncpournassez grand, on a1n®6un, en prenant®2]12;1[ on peut en déduire que série de terme généralunest divergente.-SoitunAEln2(n)n3/2,n®unAEn®¡3/2ln(n)2!0 si on prend®Ç32(théorème des croissances comparées),donc pournassez grand, on aun61n®, en prenant®2]1;32[ on peut en déduire que série de termegénéralunest convergente.III SÉRIES À TERMES QUELCONQUESLes séries considérées sont à termes complexes.1) Séries absolument convergentesMPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 200 -©Fradin Patrick -

Séries à termes quelconques Chapitre 21 : Séries numériquesLa sériePn2Nunest diteabsolument convergentelorsque la sériePn2Njunjest convergente.Définition 21.4Remarque 21.4 -La sériePn2Njunjest évidemment à termes positifs.ZExemple: La série de terme généralunAEeinn3est absolument convergente carjunjAE1n3: série de Riemannconvergente.Si la sériePn2Nunest absolument convergente, alors est elle convergente et on a¯¯¯¯Å1PnAE0un¯¯¯¯6Å1PnAE0junj.Laréciproque est fausse.Théorème 21.11Preuve: PosonsunAEanÅibnavecanetbnréels. PosonsaÅnAEmax(0,an) eta¡nAEmax(0,¡an) (idem pourbn), alorson a 06aÅn, 06a¡n,aÅnÅa¡nAE janjetaÅn¡a¡nAEan. On en déduit que 06aÅn6janj6junjet 06a¡n6janj6junj.On en déduit que les séries à termes positifsaÅneta¡nsont convergentes, et par conséquent la série de terme généralaÅn¡a¡nAEanest convergente. De même on montre que la série de terme généralbnconverge et donc la série de termegénéralanÅibnAEunest convergente.L"inégalité triangulaire donne¯¯¯¯nPkAE0uk¯¯¯¯6nPkAE0jukj, par passage à la limite, on obtient l"inégalité annoncée car on saitque les deux sommes ont une limite.La réciproque du théorème ci-dessus est fausse, par exemple on montrera que la série de terme généralunAE(¡1)nnest convergente, mais on sait que la série de terme généraljunj AE1nest divergente. Une telle série est dite semi-convergente.Attention!2) Séries alternéesUne série alternée est une série dont le terme général est de la forme(¡1)nanoù(an)est une suiteréelle positive.Définition 21.5Une série alternéePn2N(¡1)nantelle que la suite(an)estdécroissantedelimitenulle, est convergente.De plus on a la majoration du reste d"ordren:jRnj6anÅ1.Théorème 21.12(critère spécial à certaines séries alternées)Preuve: SoitSnAEnPkAE0(¡1)kakles sommes partielles, posonsunAES2netvnAES2nÅ1, alorsunÅ1¡unAES2nÅ2¡S2nAEa2nÅ2¡a2nÅ160 car la suite (ak) est décroissante, on en déduit que la suiteuest décroissante. De même,vnÅ1¡vnAES2nÅ3¡S2nÅ1AEa2nÅ2¡a2nÅ3>0, la suitevest donc croissante. Orun¡vnAEa2nÅ1!0, les deux suites sont doncadjacentes, elles convergent vers une même limite`, on a doncS2n!`etS2nÅ1!`, on en déduit queSn!`, la sérieest donc bien convergente de somme`.De plus on a l"encadrementvn6`6un, ce qui veut dire que`est compris entreSnetSnÅ1pour toutn, parconséquent :jRnjAEj`¡Snj6jSnÅ1¡SnjAEanÅ1.Remarque 21.5 -Lorsque le critère s"applique, la majoration du reste donne un renseignement sur la vitessede convergence. Cette majoration est également utile lorsqu"on veut faire un calcul approché de la somme`avec une précision donnée.ZExemple: La série de terme général(¡1)nnest convergente, soitSsa somme, on ajS¡nPkAE1(¡1)kkj61nÅ1, àpriori la convergence est lente. Nous verrons en exercice queSAE¡ln(2). Cette série n"est pas absolumentconvergente, mais seulement semi-convergente.FExercice 21.3(utilisation d"un développement asymptotique)1/Nature de la série de terme général unAEsin((¡1)npn).2/Même chose avec unAEln(1Å(¡1)npn).MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 201 -©Fradin Patrick -

Séries à termes quelconques Chapitre 21 : Séries numériquesSur le deuxième exemple on aln(1Å(¡1)npn)»(¡1)npn, la série de gauche est divergente alors que la série de droiteest convergente. Le théorème de comparaison est donc en défaut lorsque les séries ne sont pas à termes de signeconstant.Attention!3) Séries obtenues par une formule de TaylorSoitf:I!Cune fonction de classeCnÅ1sur l"intervalleI, alors on a la formule suivante :8a,x2I,f(x)AEnPkAE0f(k)(a)k!(x¡a)kÅRxa(x¡t)nn!f(nÅ1)(t)dt.Théorème 21.13(formule de Taylor avec reste intégrale)Preuve: Celle-ci est laissée en exercice, il s"agit d"une simple récurrence surn. On en déduit le théorème suivant.Sif:I!Cest de classeCnÅ1surIet sijf(nÅ1)jest majorée par un réelMnÅ1, alors :8x,a2I,¯¯f(x)¡Tn,f,a(x)¯¯6MnÅ1jx¡ajnÅ1(nÅ1)!.Théorème 21.14(inégalité de Taylor-Lagrange1)Applications:-La série exponentielle: soitz2C, pourt2[0;1] on posef(t)AEetz, cette fonction est de classeC1sur [0;1],pourn2N, on af(nÅ1)(t)AEznÅ1etz, en posantzAEaÅib, on ajf(nÅ1)(t)j6jzjnÅ1eta6jzjnÅ1MoùMdésigne lemaximum de la fonctionetasur [0;1], appliquons l"inégalité de Taylor-Lagrange entre 0 et 1 à l"ordren:¯¯¯¯¯ez¡nXkAE0zkk!¯¯¯¯¯6MjzjnÅ1(nÅ1)!.On voit que le majorant tend vers 0 lorsquen!Å1, carjzjnAEo(n!), par conséquent :8z2C,ezAElimn!Å1nXkAE0zkk!ou encore8z2C,ezAEÅ1XnAE0znn!.-Développement desinen série: avec la fonctionsin, toutes ses dérivées sont majorées par 1, on a donc pourx2Retn2N, en appliquant l"inégalité de Taylor-Lagrange entre 0 etxà l"ordre 2nÅ1 :¯¯¯¯¯sin(x)¡nXkAE0(¡1)kx2kÅ1(2kÅ1)!¯¯¯¯¯6jxj2nÅ2(2nÅ2)!.Là encore, on voit que le majorant tend vers 0 lorsquen!Å1on en déduit donc que :8x2R,sin(x)AElimn!Å1nXkAE0(¡1)kx2kÅ1(2kÅ1)!ou encore8x2R, sin(x)AEÅ1XnAE0(¡1)nx2nÅ1(2nÅ1)!.-Développement decosen série: de la même façon on montre que8x2R,cos(x)AElimn!Å1nXkAE0(¡1)kx2k(2k)!ou encore8x2R, cos(x)AEÅ1XnAE0(¡1)nx2n(2n)!.Remarque 21.6 --On peut aussi déduire le développement en série desinetcosen prenant les parties imaginaire et réelledu développement en série de eix.-Ceci se généralise au cas oùfestC1et que ses dérivées en module sonttoutes majorées par une mêmeconstante, car on sait quejx¡ajnAEo(n!).1.LAGRANGE Joseph Louis(1736 - 1813) : mathématicien qui fut un précurseur dans de nombreux domaines scientifiques.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 202 -©Fradin Patrick -

Solution des exercices Chapitre 21 : Séries numériques4) Développement décimal d"un réelRappelsSoitx2R:•SoitanAEb10nxc10n, la suite (an) est la suite de approximations décimales dexpar défaut à 10¡nprès, caran6xÇanÅ10¡n.•Pourn>1, on posednAE10n[an¡an¡1], alorsdnest un entier de l"intervalleJ0;9K(appelénedécimale dex).On remarque alors qu"en posantd0AEa0AEbxc, on anPkAE0dk10kAEa0ÅnPkAE0ak¡ak¡1AEan!x, ce qui signifieque la série de terme généraldn10nest convergente et de sommex:xAEÅ1XnAE0dn10n, c"est le développement décimal dexZExemple:13AEÅ1PnAE1310n,76AE1Å110ÅÅ1PnAE2610n¢¢¢•La suite(dn)définie ci-dessus ne peut jamais être constante égale à9à partir d"un certain rang, c"estce que l"on appelle ledéveloppement décimal propredex.• Tout réelxadmetun uniquedéveloppement décimal propre.•La suite(dn)n>1des décimales est périodique à partir d"un certain rang si et seulement sixestrationnel.Théorème 21.15(Compléments)Remarque 21.7 -•Pour toute suite d"entiers(dn)telle que8n>1,dn2J0;9K, la sériePn2Ndn10nest convergente car positive à partirdu rang1, et majorée par une série géométrique convergente.•Si on n"impose pas la condition "(dn)ne doit pas être constante égale à9à partir d"un certain rang», alors iln"y a plus unicité du développement décimal, car par exempleÅ1PnAE1910nAE1.Il n"existe pas de bijection entreNetR(on dit queRestnon dénombrable).Théorème 21.16(Une application)Preuve: SoitÁ:N!Rune application, alors pour toutn2N,Á(n) a un unique développement décimal propreÁ(n)AEÅ1PkAE0dn,k10k. On définit une suite (bk)k>0en posantbkAE0 sidk,k6AE0 etbkAE1 sidk,kAE0, soitxAEÅ1PkAE0bk10k, s"il existaitm2Ntel queÁ(m)AExalors on devrait avoir (par unicité)bmAEdm,m, ce qui absurde car8k2N,bk6AEdk,k,xn"a doncpas d"antécédent parÁ, et doncÁne peut pas être surjective.Remarque21.8-La méthode utilisée dans la preuve est connue sous le nom de "procédé diagonal de Cantor».IV SOLUTION DES EXERCICESSolution21.1On vérifie par récurrence queS2nAE1etS2nÅ1AE0, la suite(Sn)est donc divergente et par conséquent lasérie de terme général unaussi.Solution21.21/On asin((¡1)npn)AE(¡1)npn¡(¡1)n6n3/2Åo³1n3/2´, on reconnaît trois séries convergentes : la première par le critère spécial desséries alternées, la deuxième est absolument convergente car en valeur absolue c"est une série de Riemann, et latroisième par comparaison avec une série de Riemann également. On en déduit que la sériePn2Nunconverge.2/On a pournÈ1,ln(1Å(¡1)npn)AE(¡1)npn¡12n¡(¡1)n3n3/2Åo³1n3/2´, on reconnaît trois séries convergentes : la première par lecritère spécial des séries alternées, la troisième est absolument convergente car en valeur absolue c"est une série deRiemann, la quatrième par comparaison avec une série de Riemann également, mais la deuxième est une série deRiemann divergente. On en déduit que la sériePn2Nundiverge.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 203 -©Fradin Patrick -