[PDF] Maths Première Python La dérivée de

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Chapitre 1

Fonctions de reference

I/ Racine carree

1) Denition

a) Racine carree d'un reel positif Laracine carreedexest l'unique reel positif dont le carre vautx. b) Ensemble de denition Seuls les reels positifs ont une racine carree, on dit que la fonctionracine carreeest denie sur [0;+1[. c) En Python sqrtest une abreviation de squareroot.Par defaut,Pythonn'a pas de fonctionracine carree. Mais une des methodes de l'objetmathen possede une, qui se notesqrt: frommathimport*print( s qrt( 64)) print( s qrt( -1)) Le texte d'erreur signie que -1 est en-dehors dudomaine de denition de la fonction. d) Notation

On note

pxla racine carree dex. 1

2CHAPITRE 1. FONCTIONS DE REFERENCE

2) Proprietes

a) Variations La fonctionx7!pxest strictement croissante sur [0;+1[. b) Signe La fonctionx7!pxest positive sur [0;+1[.Par denition!

II/ Valeur absolue

1) Denition

On considere le programme de calcul suivant :

1:Prendre un nombrex;

2:Remplacer son signe, quel qu'il soit, par un "+" (autrement dit, oublier

son signe)

3:Retourner le resultat.

Ceci denit une fonction sur?. On appellevaleur absoluecette fonction. a) Fonction ane par intervalle Sixest positif, le programme ci-dessus ne le change pas : La valeur absolue d'un nombre positif est le nombre lui-m^eme. Par contre sixest negatif, le rendre positif le remplace par son oppose : defabsolue(x):i fx>=0:returnxelse return-x b) Notation

La valeur absolue dexse notejxj.

EnPython, elle se noteabs:

print ( [abs(x)f orxinr ange( -5,6)])

III/. CONSTRUCTION DE FONCTIONS3

2) Proprietes

a) Domaine de denition

La fonctionx7! jxjest denie sur?.

b) Variations La fonctionx7! jxjest strictement croissante sur [0;+1[ et strictement decroissante sur ]1;0]. c) Signe

La fonctionx7! jxjest positive sur?.Par denition!

III/ Construction de fonctions

On peut construire des fonctions a partir des fonctions de reference par somme, produit etc. Alors

1:Additionner une constante a une fonction ne change pas ses variations;

2:Multiplier une fonction parune constante positive ne change pas ses va-

riations, la multiplier par une constante negative inverse ses variations;

3:La racine carree d'une fonction positive a les m^emes variations que

celle-ci;

4:L'inverse d'une fonction croissante est decroissante, l'inverse d'une fonc-

tion decroissante est croissante.

4CHAPITRE 1. FONCTIONS DE REFERENCE

Chapitre 2

Alignement dans le plan repere

I/ Objets geometriques en Python

1) Point

class

P oint

def__init__(s elf,x,y):self.x=xself.y=ydef__str__(s elf) :return'('+str(s elf.x)+';'+str(s elf.y)+')'defvecteur(s elf,p):returnVecteur(p.x-self.x,p.y-self.y)

2) Vecteur

frommathimport*classV ecteur:

def__init__(s elf,x,y):self.x=xself.y=ydef__str__(s elf) :return'('+str(s elf.x)+';'+str(s elf.y)+')'def__add__(s elf,p):returnVecteur(s elf.x+p.x,self.y+p.y)defnorme(s elf) :returnh ypot(s elf.x,self.y)def__rmul__(s elf,r):

5

6CHAPITRE 2. ALIGNEMENT DANS LE PLAN REPEREreturnVecteur(s elf.x*r,self.y*r)

a) Norme La distanceABs'appelle lanormedu vecteur!ABet se note !AB .Si le repere est orthonorme, on peut ajouter une methodenormegr^ace a l'import de l'objetmath(ci-dessus). Elle s'appelle par u

Vecteur(4,3)print( v.norme() )

3) Vecteurs colineaires

a) Determinant

Ledeterminantde deux vecteurs~ux~u

y ~u et~vx~v y ~v est le nombre x ~uy~vx~vy~u. b) Colinearite Deux vecteurs sont colineaires si et seulement si leur determinant est nul. c) Methode defdeterminant(s elf,v):returns elf.x*v.y-self.y*v.xdefcolin(s elf,v):returns elf.determinant(v)==0

II/ Droite du plan repere

1) Droite comme objet Python

class

D roite

def__init__(s elf,A,B):self.A=Aself.B=B

La droite est denie par deux pointsAetB.

II/. DROITE DU PLAN REP

ERE7

2) Vecteur directeur

La vecteur

!ABest unvecteur directeurde la droite (AB). Tout vecteur non nul colineaire a!ABest aussi directeur de (AB). C'est une methode de l'objetdroite: defdirecteur(s elf) :returns elf.A.vecteur(s elf.B) 3)

Equation cartesienne

En ecrivant que le pointM(xM;yM) est aligne avecAetB, on obtient successivement (parce que les vecteurs!AMet!AB(a;b) doivent pour cela ^etre colineaires) : a(yMyA)b(xMxA) = 0 bxM+ayM=ayAbxA bx+ay=c avec c=ayAbxA

Ce qui donne une equation cartesienne de (AB) :

def__str__(s elf) :a=-self.directeur() .yb=self.directeur() .xc=-self.directeur() .y*self.A.xc+=self.directeur() .x*self.A.yeq='('+str(a)+')x+('+str(b)+')y='+str(c)returneq

8CHAPITRE 2. ALIGNEMENT DANS LE PLAN REPERE

Chapitre 3

Statistiques descriptives

I/ Simulation

1) Tableaux

Pour simuler 100 lancers d'un de equilibre, on peut mettre les resultats des 100 lancers dans un tableau : from r andom i mport*donnees=[randint( 1,6)f orninr ange( 100)] Le resultat du premier lancer est alors stocke dansdonnees[0].

2) Tableaux tries

Une fois un tableau trie dans l'ordre croissant avecsort(), on repere les elements du tableau trie qui sont au quart, au milieu ou aux trois quarts :

defmediane(tableau):tableau.sort() n=len( tableau)i fn%2==1:returntableau[int(n/2)]else:return( tableau[int(n/2-1)]+tableau[int(n/2)])/2defQ1(tableau):tableau.sort() n=len( tableau)returntableau[int(n/4)]9

10CHAPITRE 3. STATISTIQUES DESCRIPTIVESdefQ3(tableau):tableau.sort() n=len( tableau)returntableau[int(3*n/4)]

3) Bo^tes a moustaches

II/ Moyenne

Pour eviter d'avoir un quotient euclidien, on ajoute le reel zero a la lon- gueur du tableau, ce qui a pour eet de la convertir en reel : defmoyenne(tableau):returnsum(tableau)/len( tableau) On peut maintenant calculer la moyenne de n'importe quel tableau : III/

Ecart-type

1) Variance

La variance est la moyenne des carres des ecarts a la moyenne. 2)

Ecart-type

L'ecart-type est la racine carree de la variance : frommathimport*defecartype(tableau):returns qrt( variance(tableau)) print( variance(donnees))

Chapitre 4

Nombre derive

I/ Denition

1) Nombre derive

Lorsque le quotient

f(x+h)f(x)h se rapproche d'une limitealorsque htend vers 0, on dit quefestderivableena. Dans ce cas, la limite est appeleenombre derivedefenaet notef0(a)

2) Tangente

Le nombre derive defenaest le coecient directeur de la tangente en (a;f(a)) a la representation graphique def.

II/ Fonction derivee

1) Algorithme

On peut implementer une valeur approchee du nombre derive comme ceci : defNDer(f,a):h=1e-10 return ( f(a+h)-f(a)) /h Pour conna^tre le nombre derive dex7!x22 en 3, on peut faire deff(x):returnx**2-2 11

12CHAPITRE 4. NOMBRE DERIVEprint( NDer(f,3))

Ceci denit une fonction :

2) Denition

La fonctionf0qui, aa, associe le nombre derive defena, est une fonction ne dependant que def, appeleefonction derivee def.

3) Exemples

1:La derivee d'une fonction ane est son soecient directeur;

2:La derivee dex7!pxestx7!12

px

3:La derivee dex7!1x

estx7! 1x 2;

4:La derivee dex7!xnestx7!nxn1(sin2?)

4) Proprietes

a) Somme La derivee d'une somme est la somme des derivees : (u+v)0=u0+v0. b) Produit (uv)0=u0v+uv0 c) Quotient uv

0=u0vuv0v

2

III/ Variations

1) Signe de la derivee

Une fonctionfderivable est croissante si et seulement si sa deriveef0est positive, et decroissante si et seulement si sa derivee est negative. On peut donc etablir le tableau de variations defa partir du tableau de signes de sa derivee.

III/. VARIATIONS13

2) Extrema

Une fonction derivablefpasse par un maximum ou par un minimum en un nombreatel quef0(a) = 0.

14CHAPITRE 4. NOMBRE DERIVE

Chapitre 5

Second degre

I/ Denitions

1) Polyn^omes

a) Mon^omes Unmon^omeest le produit d'une constante par une puissance dex. L'exposant est ledegredu mon^ome. Exemple :x7!3x7est de degre 7. b) Polyn^omes Unpolyn^omeest une somme de mon^omes. Le plus grand des degres des mon^omes s'appelle ledegredu polyn^ome.

Exemples :

1:Un polyn^ome de degre 0 est une fonction constante.

2:Un polyn^ome du premier degre est une fonction ane.

3:x32x2+ 7x5 est de degre 3.

2) Trin^omes

Untrin^omeest un polyn^ome du second degre.Il tire son nom du fait qu'il est compose de 3 mon^omes :ax2, bxetc.3) Le trin^ome comme objet On peut denir un trin^ome comme un objet ayant pour proprietes les trois coecientsa,betc: 15

16CHAPITRE 5. SECOND DEGRE

class

T rinome

def__init__(s elf,a,b,c):self.a=aself.b=bself.c=c

II/ Forme canonique

1) Formule

En developpanta

x+b2a 2 b24ac4a, on trouveax2+bx+c. La premiere forme est laforme canoniquedeax2+bx+c.

2) Sommet

Il en resulte que le point de coordonnees

b2a;b24ac4a est lesom- metde la parabole qui represente la fonctionax2+bx+c.

3) Denition

Le nombre =b24acest appelediscriminantdu trin^ome. C'est une propriete de celui-ci : class

T rinome

def__init__(s elf,a,b,c):self.a=aself.b=bself.c=cself.Delta=b*b-4*a*c

4) Forme canonique en Python

defcanonique(s elf) :self.xs=-self.b/(2*self.a)self.ys=-self.Delta/(4*self.a)fc=str(s elf.a)+'(x+('+str(-self.xs)+'))**2'fc+='+'+str(s elf.ys)

III/. RACINES D'UN TRIN

^OME17returnfc

III/ Racines d'un trin^ome

1) Denitions

On appelleracines, ouzerosd'une fonctionf, les antecedents de 0 par f, c'est-a-dire les solutions de l'equationf(x) = 0.

2) Cas des trin^omes

D'ou son nom :

Il permet de

discriminer les dierents cas.Le nombre de solutions de l'equationax2+bx+c= 0 est determine par le signe de : a) Discriminant negatif Si <0, l'equationax2+bx+c= 0 n'a pas de solution :S=;. b) Discriminant nul Si = 0, l'equationax2+bx+c= 0 a une seule solutionb2a:S= b2a c) Discriminant positif

Si >0, l'equationax2+bx+c= 0 a deux solutionsbp

2aet b+p 2a.

3) Resolution de l'equation du second degre

defracines(s elf) :i fs elf.Delta<0:self.r='{}'else:self.d=sqrt( s elf.Delta)x1=(-self.b-self.d)/(2*self.a)x2=(-self.b+self.d)/(2*self.a)

18CHAPITRE 5. SECOND DEGREself.r='{'+str(x1)+';'+str(x2)+'}'returns elf.r

Pour resoudrex25x+ 6 = 0, il sut d'ecrire

t

Trinome(1,-5,6)print( t.racines() )

IV/ Derivee

1) Resultat

La derivee deax2+bx+cest 2ax+b; c'est une fonction ane.

2) Methode

On peut denir la derivee comme une methode de l'objettrin^ome:C'est avec ce genre d'algo- rithme que fonctionnent les logiciels de calcul formel commeMaxima ouXcas. defderivee(s elf) :returnTrinome(0,2*self.a,self.b) Pour calculer la derivee dex25x+ 6, il sut alors de faire t

Trinome(1,-5,6)print( t.derivee() )

Chapitre 6

Suites numeriques

I/ Denition

1) Suite de reels

Une suiteuest une fonction denie sur?. L'image denest noteeu(n) mais aussiun.

2) Exemple

a) Tri d'une liste Pour trier dans l'ordre croissant une liste comprenantnnombres, il faut un certain temps qui depend den: Le temps mis a trier une liste den nombres est une suite (tn)n2?. Pour mesurer ce temps, on peut creer deux objets de typetime(donnant l'heure de leur creation), l'un avant d'eectuer le tri, l'autre apres. Leur dierence sera la duree du tri. Mais pour avoir des mesures plus precises, on va faire le tri 1000000 fois et le temps ache sera donc le temps d'une operation melange-tri en micosecondes :

fromtimeimport*liste=[iforiinr ange( 101)]begin=clock() foriinr ange( 1000000):liste.reverse() liste.sort() end=clock() print( end-begin)

On lit 6.23 ce qui veut dire qu'une operation de melange suivi de tri prend

6,23 microsecondes si la taille du tableau est 100 nombres.

19

20CHAPITRE 6. SUITES NUMERIQUES

b) Temps de tri La suite des mesures des temps de tritnd'une liste de taillenpar Python, representee graphiquement, ressemble a ceci :II/ Suite denie par formule

1) Exemple

La suiteun=nn+ 1est simple a etudier parce qu'on peut calculerunpar une formule : defu(n):returnn/(n+1)forninr ange( 40):print( 'u('+str(n)+')='+str(u(n)) )

2) Variations

On constate que chaque terme de la suiteunest superieur au precedent :

On dit queunest croissante.

3) Limite

On constate egalement que plusnest grand, plusunest proche de 1 : forninr ange( 10):print( 'u'+str(10**n)+')='+str(u(10**n)) ) On dit queuntend vers1, ou que 1 est lalimitedeun. On note limn!1un= 1.

III/. SUITES R

ECURRENTES21

III/ Suites recurrentes

1) Denition

Une suiteunest dite recurrente si on dispose d'un moyen pour calculer u na partir deun1(et eventuellement d'autres termes anterieurs).

2) Exemples

a) Anniversaires Si on appellepnla probabilite que deux personnes parminaient leur anniversaire le m^eme jour, on denit une suite pourn>1 pourn= 1, la probabilite est nulle). Alors la suitevn= 1pnest recurrente, parce que v n+1=365n365 vn: v 1 forninr ange( 2,30):v*=(366-n)/365print( 1-v)

Plus on est nom-

breux, plus on a de chances que deux anniver- saires concident.La suite est croissante :Plus surprenant, elle tend vers 1. b) Suite pseudo-aleatoire La suitecndenie parc0= 0;1 etcn+1= 4(cnc2n) n'est ni croissante, ni decroissante, et n'a pas de limite : c 0 1 forninr ange( 40):c=4*(c-c**2)print( n,c) Voici la representation graphique de la suite :C'est avec ce genre de suite recurrentes qu'on simule le hasard avec les calcu- latrices et les ordinateurs.

22CHAPITRE 6. SUITES NUMERIQUES

c) Suite de Fibonacci La suite de FibonacciFnest denie parF0= 1,F1= 1 etFn+2= F n+1+Fn: a,b 1 ,1 forninr ange( 2,40):a,b=a+b,a print ( n,a) Les termes de cette suite interviennent souvent comme nombres de spirales dans les meristemes de certaines plantes :Ainsi que dans l'ananas...

Chapitre 7

Radians

I/ Conversion

1) De degres en radians

frommathimport*print( r adians( 30)) print( p i/6)

2) De radians en degres

frommathimport*print( d egrees( p i/4))

II/ Mesure principale

1) Denition

Si on additionne 2a un angle en radians, on se retrouve a la m^eme position sur le cercle trigonometrique. On dit qu'un angle a une innite de mesures dierentes. Celle qui est entre 0 et 2est lamesure principalede l'angle.

2) Calcul

On peut calculer la mesure principale dexavec l'algorithme suivant : 23

24CHAPITRE 7. RADIANS

frommathimport*defprincipale(x):i fx<0:whilex<0:x+=2*pielse:whilex>2*pi:x-=2*pireturnxprint( principale(17*pi/6))

Mais c'est plus rapide de faire

print ( 17*pi/6)%(2*pi) )

III/ Fonctions trigonometriques

1) Cosinus

frommathimport*print( c os( p i/6)) print( s qrt( 3)/2)

2) Sinus

frommathimport*print( s in( p i/4)) print( s qrt( 2)/2)

IV/ Angle oriente de vecteurs

1) Notation

L'angle oriente entre

!ABet!AC(en radians) se note!AB;!AC

IV/. ANGLE ORIENT

E DE VECTEURS25

2) Propriete

(~u;~v) + (~v; ~w) = (~u; ~w)

Cette propriete

s'appelle la rela- tion de Chasles pour les angles.

26CHAPITRE 7. RADIANS

Chapitre 8

Variables aleatoiresI/ Denitions

1) Variable aleatoire

Lorsque les eventualites d'une experience de probabilite sont des nombres, les evenements constituent une variable aleatoire.

2) Exemples

a) De On lance un de pipe, tel que les probabilites des dierents resultats pos- sibles sont donnees dans ce tableau :

Evenements123456

Probabilites0,150,150,150,150,20,2

Les nombres de la deuxieme ligne du tableau constituent ce qu'on appelle la loi de la variable aleatoire. Pour simuler cette experience aleatoire, on peut construire la loi sous forme d'un tableau : from r andom i mport*omega=range( 1,7)loi=[0]+[0.15]*4+[0.2]*2 defproba(X):returnsum(loi[x]forxinX) 27

28CHAPITRE 8. VARIABLES ALEATOIRES

Ici la variable aleatoire s'appelleomega. Alors si on ache la probabilite de omega, on doit trouver 1 : print ( proba(omega)) b) Pile ou face

Les resultats

pileetfacen'etant pas des nombres, le lancer d'une piece n'est pas une variable aleatoire. Mais on peut decider de jouer a un jeu de hasard en suivant ces regles :

1:Si la piece tombe surpile, on gagne 3e.

2:Sinon on perd 2e.

Le gain (positif si on gagne, negatif si on perd) a ce jeu est une variable aleatoire, prenant les valeurs 3 et -2 avec les probabilites respectives d'avoir pileetface. c) Duree d'un jeu de hasard

Au debut d'une partie de

dada(oupetits chevaux), on lance un de jusqu'a ce qu'on ait un 6. La duree de cette phase du jeu (le nombre de fois qu'il a fallu lancer le de) est une variable aleatoire entiere.

II/ Esperance et

Ecart-type

1) Esperance

defesperance(X):returnsum(loi[x]*xforxinX)print( esperance(omega)) Si on mesure un grand nombre de fois une variable aleatoire, la moyenne des mesures s'approche de ce nombre. 2)

Ecart-type

a) Variance

III/. VARIABLES DE BERNOULLI29

b)

Ecart-type

frommathimport*defecartype(X):returns qrt( variance(X)) print( ecartype(omega))

III/ Variables de Bernoulli

1) Experience de Bernoulli

a) Denition Une experience aleatoire est ditede Bernoullisi son univers contient deux elements. Dans ce cas chacun est le contraire de l'autre. Les deux eventualites sont en general appelees succesetechec. La probabi- lite du succes est noteep. b) Exemples

1:Pile ou face : En admettant que la piece ne peut pas tomber sur la

tranche, on n'a que deux eventualites possibles.pest la probabilite d'avoir pile.

2:Quand on evoquela probabilite d'avoir le Bac, on s'interesse a une

experience de Bernoulli, et plus precisement ap.

3:Monsieur et Madame Bonacci attendent un enfant, et se demandent si

ce sera un garcon ou une lle. Dans ce caspest proche de 0,5.

2) Exemple de variable aleatoire

Sip= 0;4 (la piece est truquee), l'esperance de la variable aleatoirequotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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