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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Calcul des primitives

Bernard Ycart

L"objectif de ce chapitre est purement technique : la théorie de l"intégration est supposée connue ou admise. Le seul but est d"exposer les principales techniques de calcul des primitives et des intégrales.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Techniques de calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Applications des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Entraînement 21

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Compléments 36

3.1 La quadrature du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Fonctions spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Intégrales elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 mai 2012

Maths en LigneCalcul des primitivesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Propriétés des intégrales

Toutes les fonctions considérées sont supposées continues, ou continues par mor- ceaux, sur leur intervalle d"intégration, et sont donc intégrables. Nous commençons par résumer les principales propriétés des intégrales.

Théorème 1.

1. Relation de Chasles :

b af(x)dx+? c bf(x)dx=? c af(x)dx .

2. Linéarité :

b a(λf(x) +μg(x))dx=λ? b af(x)dx+μ? b ag(x)dx .

3. Monotonie :

b b ag(x)dx . La relation de Chasles permet d"étendre la définition de l"intégrale au cas où la fonctionfn"est continue que par morceaux sur l"intervalle d"intégration. On intègre séparément chacun des morceaux et on ajoute ensuite les intégrales obtenues. Consi- dérons par exemple la fonctionfqui vautxsix?[0,1]et12 six?]1,2].021/21 1 xf(x)

Figure1 - Exemple de fonction discontinue.

Son intégrale sur l"intervalle[0,2]vaut :

2

0f(x)dx=?

1

0xdx+?

2 112
dx=12 +12 = 1. 1

Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleÀ propos de cet exemple, il est conseillé de ne pas perdre de vue l"interprétation géo-

métrique d"une intégrale : l"intégrale d"une fonction constante positive est la surface d"un rectangle, l"intégrale d"une fonction affine positive ou nulle (du typex?→αx+β) est la surface d"un triangle si la fonction s"annule sur l"une des deux bornes, la surface d"un trapèze dans le cas général. La relation de Chasles reste vraie même si les bornes des intervalles d"intégration ne sont pas dans le bon ordre, ce qui peut arriver après un changement de variable. On convient de changer le signe de l"intégrale quand on échange les bornes. Cette convention est cohérente avec le fait que l"intégrale sur un intervalle de longueur nulle vaut nécessairement0. b af(x)dx+? a bf(x)dx=? a af(x)dx= 0.

La propriété2du théorème (linéarité), dit que l"intégrale est une application linéaire,

de l"espace vectoriel des fonctions intégrables, dansR. On l"utilisera souvent, soit pour mettre en facteur une constante devant l"intégrale, soit pour séparer le calcul en deux intégrales plus simples. Par exemple : π4

0cos2(x)dx=?

π4

01 + cos(2x)2

dx=12 π4

0dx+12

π4

0cos(2x)dx=π8

+14 On peut utiliser la monotonie pour vérifier certains calculs. Par exemple si une fonction

est positive sur l"intervalle d"intégration, son intégrale doit être positive. L"intégrale

d"une fonction positive et non identiquement nulle est même strictement positive : on utilise souvent ce résultat sous la forme suivante. Proposition 1.Soitfune fonction continue sur[a,b]. Si l"intégrale de|f|sur[a,b] est nulle, alorsfest identiquement nulle. b a|f(x)|dx= 0 =?f(x) = 0,?x?[a,b]. L"intégrale peut être encadrée à l"aide du minimum et du maximum defsur l"in- tervalle[a,b]: b x?[a,b]f(x). Si on divise ces inégalités par la longueur de l"intervalle, on obtient : inf b x?[a,b]f(x).

Il faut comprendre

1b-a? b af(x)dxcomme lavaleur moyennede la fonction sur l"in- tervalle. Lethéorème de la moyennedit que cette valeur moyenne est atteinte sur l"intervalle. 2

Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleThéorème 2.Sifest continue sur[a,b], il existec?[a,b]tel que :

1b-a? b af(x)dx=f(c).a b xf(x)Figure2 - Illustration du théorème de la moyenne.

1.2 Primitives et intégrales

Rappelons tout d"abord la définition.

Définition 1.On appelleprimitived"une fonctionf, définie sur un intervalle]a,b[, toute fonction dérivable sur]a,b[, dont la dérivée coïncide avecfsur]a,b[. Etant données deux primitives def, leur différence doit avoir une dérivée nulle, et donc être constante. Deux primitives de la même fonction diffèrent donc par une constante. Pour spécifier une primitive particulière, il suffit de fixer sa valeur en un point. En général, on considère la primitive qui s"annule en un certain point. Elle s"écrit comme une intégrale, grâce au théorème suivant, que nous admettrons. Théorème 3.Soitfune fonction continue sur[a,b], etcun point de l"intervalle[a,b]. On considère la fonctionFc(x), qui àx?[a,b]associe : F c(x) =? x cf(t)dt . AlorsFcest l"unique primitive defqui s"annule au pointc.

Observons l"écriture

?x cf(t)dt, dans laquelle les deux lettrestetxjouent des rôles totalement différents. La lettrexdésigne une borne de l"intervalle d"intégration. Si on la remplace par un réel, par exemple⎷2, on obtiendra un résultat réel : la valeur de la fonctionFcau point⎷2. La variable d"intégrationtest muette. On ne peut pas la remplacer par un réel. Par contre, n"importe quelle autre lettre (saufcetx) pourrait 3

Maths en LigneCalcul des primitivesUJF Grenoblejouer le même rôle. Dans l"écriture des primitives, on évitera toujours de noter avec la

même lettre la variable d"intégration et une des bornes de l"intervalle. Observons que n"importe quelle primitive peut être utilisée pour calculer une intégrale : b af(x)dx=Fa(b) =Fc(b)-Fc(a), par la relation de Chasles. L"intégrale defest donc un accroissement de primitive, qui ne dépend pas de la primitive choisie. On note : b af(x)dx=Fc(b)-Fc(a) =? F c(x)? b a. Il est commode, en particulier pour les changements de variable, de conserver des bornes d"intégration, même quand on ne calcule que des primitives. C"est pourquoi nous continuerons de noter? x cf(t)dtla primitive defqui s"annule enc, même s"il est superflu de fixerc. De notre point de vue, il n"y a donc aucune différence entre les calculs de primitives et les calculs d"intégrales. Il est courant d"exprimer les primitives des fonctions usuelles " à une constante près ». Par exemple, les primitives decos(x) sont toutes les fonctions de la formesin(x) +C, oùCest une constante réelle. Nous

écrirons :

?x ccos(t)dt=? sin(t)? x c= sin(x)-sin(c) = sin(x) +C . Or quandcparcourtR,sin(c)ne prend que les valeurs comprises entre-1et1, tandis queCdésigne une constante réelle quelconque. En pratique, il suffit de trouver une primitive particulière : la variablecne sera qu"un artifice d"écriture. Nous supposerons toujours quecetxsont telles que la fonction soit définie et continue sur l"intervalle [c,x]. Par exemple :?x c1t dt=? ln|t|? x c= ln|x|+C , ce qui suppose que l"intervalle[c,x]ne contient pas0. Dans cette écriture,Cdésigne en fait une fonction, qui est constante sur chaque intervalle où la fonction à intégrer est définie et continue. L"ensemble des primitives de la fonctionx?→1/xest l"ensemble des fonctionsftelles que : f(x) =?ln(x) +C1six >0 ln(-x) +C2six <0, oùC1etC2sont deux réels quelconques. En pratique, pour calculer une primitive d"une fonction donnée, on la ramène à un ca- talogue de primitives usuelles. Ces primitives, que l"on doit connaître, sont rassemblées dans le tableau ci-dessous. Attention : les intervalles de définition ne sont pas précisés. 4 Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleFonctionUne primitive x a(a?R, a?=-1)x a+1a+ 11 x-aln|x-a|e

λx(λ?= 0)1

eλxcos(ωx)(ω?= 0)1 sin(ωx)sin(ωx)(ω?= 0)- 1ω cos(ωx)1 cos

2(x)= 1 + tan2(x)tan(x)1

x

2+ 1arctan(x)cosh(ωx)(ω?= 0)1

sinh(ωx)sinh(ωx)(ω?= 0)1 cosh(ωx)1⎷x

2+ 1ln

?x+⎷x

2+ 1?1⎷x

2-1ln ???x+⎷x

2-1???1⎷1-x2arcsin(x)Nous rappelons dans la section suivante les techniques de base pour le calcul des pri-

mitives, lorsqu"elles peuvent s"exprimer à l"aide des fonctions classiques.

1.3 Techniques de calcul des primitives

La première technique de calcul consiste à utiliser la linéarité pour séparer l"inté-

grale d"une somme en une somme d"intégrales. L"exemple le plus simple est celui des polynômes. x c(t3+ 2t2+ 4t+ 2)dt=14 x4+23 x3+ 2x2+ 2x+C . On peut aussi intégrer des polynômes ensin(x)etcos(x), ou biensinh(x)etcosh(x). On utilise pour cela les formules d"Euler, et les propriétés de l"exponentielle (réelle ou complexe). 5 Maths en LigneCalcul des primitivesUJF Grenoblesin(x) =eix-e-ix2icos(x) =eix+ e-ix2 sinh(x) =ex-e-x2cosh(x) =ex+ e-x2 Le principe est le suivant : tout polynôme ensin(x)etcos(x)est une combinaison linéaire de termes de la formesinn(x)cosm(x), qu"il s"agit delinéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons linéaires de termes ensin(kx)etcos(kx), dont on connaît une primitive. Voici un exemple. sin

4(x)cos6(x) =12

10(eix-e-ix)4(eix+ e-ix)6

11024
(e2ix-e-2ix)4(eix+ e-ix)2 11024
(e8ix-4e4ix+ 6-4e-4ix+ e-8ix)(e2ix+ 2 + e-2ix) 11024
(e10ix-4e6ix+ 6e2ix-4e-2ix+ e-6ix +2e

8ix-8e4ix+ 12-8e-4ix+ 2e-8ix

+e

6ix-4e2ix+ 6e-2ix-4e-6ix+ e-10ix)

1512
?6 + 2cos(2x)-8cos(4x)-3cos(6x) + 2cos(8x) + cos(10x)?.

D"où une primitive desin4(x)cos6(x):

3x256 +sin(2x)512 -sin(4x)256 -sin(6x)1024 +sin(8x)2048 +sin(10x)5120 Observons que les questions de parité permettent de prévoir a priori que la linéarisation ne contiendra que descos(kx). En effet,x?→sin(x)est une fonction impaire etx?→ cos(x)une fonction paire. Donc si on remplacexpar-x,sinn(x)cosm(x)sera inchangé sinest pair, changé en son opposé sinest impair. Dans le premier cas, la linéarisation ne contiendra que des cosinus, dans le second cas, elle ne contiendra que des sinus. La même technique s"utilise aussi pour les cosinus et sinus hyperboliques. Comme autre application de l"exponentielle complexe, signalons la possibilité d"inté- grer des expressions du typeeλxcos(ωx)oueλxsin(ωx), en les exprimant comme parties réelles ou imaginaires d"exponentielles complexes, que l"on peut intégrer formellement comme des exponentielles réelles. Voici un exemple. e

3xcos(2x) =Re(exp((3 + 2i)x)).

Or une primitive (formelle) deexp((3 + 2i)x)est :

13 + 2i

exp((3 + 2i)x) =3-2i13 e3x(cos(2x) + isin(2x)). 6 Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleLa partie réelle de cette expression est : 113
e3x(3cos(2x) + 2sin(2x)), qui est donc une primitive dee3xcos(2x). x ce3tcos(2t)dt=113 e3x(3cos(2x) + 2sin(2x)) +C . La seconde technique de calcul à connaître est l"intégration par parties : b au(x)v?(x)dx=? u(x)v(x)? b a-? b au?(x)v(x)dx . Il faut penser à une intégration par parties quand l"un des facteurs de la fonction à intégrer a une dérivée plus simple, essentiellement un polynôme (dériver diminue le degré),ln(x)(dérivée1/x),arcsin(x)(dérivée1/⎷1-x2) ouarctan(x)(dérivée

1/(1 +x2)). Encore faut-il connaître une primitive de l"autre facteur. Par exemple,

pourλ?= 0: x cteλtdt=? t·1λ eλt?x c-? x c1λ eλtdt=1λ xeλx-1λ

2eλx+C .u(t) =tu

?(t) = 1v ?(t) = eλtv(t) =1λ eλtLa technique de calcul d"intégrales (ou de primitives) la plus importante est le change- ment de variable. Théorème 4.Soitfune fonction continue sur[a,b]etφune fonction dérivable, de dérivée continue sur]a,b[. Alors : b af(t)dt=?

φ(b)

φ(a)f(φ-1(u))(φ-1)?(u)du .

Il est fortement déconseillé de retenir la formule par coeur. Un changement de va- riable doit se penser de la manière suivante.

1. Je souhaite remplacertparu=φ(t).

2. J"exprimeten fonction deu:t=φ-1(u)(je m"assure queφest bien une bijection).

3. J"exprimedten fonction deuetduen dérivant l"expression detfonction deu:

dt= (φ-1)?(u)du.

4. J"ajuste les bornes de l"intervalle d"intégration : sitvarie deaàb, alorsu=φ(t)

varie deφ(a)àφ(b). (Cet ajustement des bornes est la raison pour laquelle il est conseillé de calculer une primitive comme une intégrale decàx). 7

Maths en LigneCalcul des primitivesUJF Grenoble5. Je remplacetetdtpar leurs valeurs en fonction deuetdu.

Comme exemple, nous allons traiter trois primitives d"un type fréquent, comportant la racine carrée d"un trinôme. Voici la première. x c1⎷t

2+ 2t+ 5dt .

Notons que la fonction à intégrer est définie surRtout entier. La première étape

consiste à mettre le trinôme sous forme canonique, de manière à faire apparaître l"une

des trois expressions⎷u

2+ 1,⎷u

2-1ou⎷1-u2. Nous sommes ici dans le premier

cas. ?x c1⎷t

2+ 2t+ 5dt=?

x c1? (t+ 1)2+ 4dt=? x c12 1?( t+12 )2+ 1dt .

Nous devons donc poser :

u=t+ 12 soitt= 2u-1etdt= 2du .

On obtient :

x c12 1?( t+12 )2+ 1dt=? x+12 c+12 12

1⎷u

2+ 12du

x+12 c+12

1⎷u

2+ 1du

ln(u+⎷u

2+ 1)?

x+12 c+12 = ln( x+12 x+12 )2+1) +C = ln( x+1+⎷x

2+2x+52

) +C = ln(x+ 1 +⎷x

2+ 2x+ 5) +C?.

Voici une situation proche, mais qui du fait des signes rencontrés dans le trinôme, conduit à des résultats différents.?x c1⎷t

2-2t-3dt .

La fonction à intégrer est définie sur]- ∞,-1[?]3,+∞[. Nous devons donc supposer que l"intervalle[c,x]est soit inclus dans]- ∞,-1[, soit dans]3,+∞[. La mise du trinôme sous forme canonique donne : x c1⎷t

2-2t-3dt=?

x c1? (t-1)2-4dt=? x c12 1?( t-12 )2-1dt . 8 Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleNous devons donc poser : u=t-12 soitt= 2u+ 1etdt= 2du .

On obtient :

x c12 1?( t-12 )2-1dt=? x-12 c-12 12

1⎷u

2-12du

x-12 c-12

1⎷u

2-1du ln|u+⎷u 2-1|? x-12 c-12 = ln|x-12 x-12 )2-1|+C = ln|x-1+⎷x

2-2x-32

|+C = ln|x-1 +⎷x

2-2x-3|+C?.

Comme prévu, les primitives ne sont définies que pourx <-1oux >3. Remarquez que le signe dex-1 +⎷x

2-2x-3dépend de l"intervalle sur lequel on se trouve : il

est négatif sur]- ∞,-1[, positif sur]3,+∞[. Voici le dernier cas que l"on peut rencontrer selon le signe du trinôme. xquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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