[PDF] Fonctions Polynômes f (a) : nombre dérivé

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Fonctions Polynômes

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Dérivée d"une fonction polynôme

2

1.1 Quelques rappels

2

1.2 Cas général

3

2 Applications de la dérivation

4

2.1 Dérivée et sens de variation

4

2.2 Équation de la tangente

5

Table des figures

1 Tangente à une courbe

2

Liste des tableaux

1 Dérivée dexn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ?

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1

1 DÉRIVÉE D"UNE FONCTION POLYNÔME

En préliminaire au cours :

Exercice :Exercice 102 page 1231[Intervalle]

Activité :Activité page 1082[Intervalle]

1 Dérivée d"une fonction polynôme

1.1 Quelques rappelsDéfinitions :-On dit que la fonction fest unp olynômedu second degré si fpeut s"écrire sous la

forme : f(x) =ax2+bx+c aveca?= 0.

On dit que la fonction fest unp olynômedu troisiè medegré si fpeut s"écrire sous la forme :

f(x) =ax3+bx2+cx+d aveca?= 0.Exemples :1.Les fonctions f(x) = 3x2-2x+ 1;f(x) =-x2+ 1etf(x) = 3x2sont des fonctions polynômes du second degré. 2.

La fonction f(x) =x(x+ 2)est aussi une fonction polynôme du second degré car, en développant,

on obtientf(x) =x2+ 2x. 3. Les fonctions f(x) =-2x3+x2-4x+5etf(x) =x3-3xsont des fonctions polynômes du troisième degré.Définition :Soitfune fonction définie sur un intervalleIet soita?I.

Si la courbeCfadmet au point d"abscisseaunetangen tenon parallè leà l"axe des ordonnées (v oir

figure 1 ), on dit que la fonctionfestdériv ableen aet on appellenom bredériv éde fenaleco efficient directeur de cette tangen te. Le nombre dérivé defenaest notéf?(a).Figure1 - Tangente à une courbe Remarque :Attention!Il ne faut pas confondre : 1. QCM - Révisions sur les fonctions.

2. Déjà vu...

2

1 DÉRIVÉE D"UNE FONCTION POLYNÔME 1.2 Cas général

-f?(a):nom bredériv éde fena,co efficientdirecteur de la tangen teau p ointde la courb ed"abscisse

a;

-f(a):image de aparf,ordonnée du p ointde la courb ed"abscisse a.Propriété :-Soit f(x) =ax2+bx+cune fonction polynôme du second degré.

Alors, sa fonction dérivée est :

f ?(x) = 2ax+b Soit f(x) =ax3+bx2+cx+dune fonction polynôme du troisième degré.

Alors, sa fonction dérivée est :

f ?(x) = 3ax2+ 2bx+cRemarque :En particulier, on a : La fonction dériv éede f(x) =x2estf?(x) = 2x. La fonction dériv éede f(x) =x3estf?(x) = 3x2. Exercices :2, 3, 5, 6, 7 page 1153- 14, 16 page 1164[Intervalle]

1.2 Cas général

Pour dériver n"importe quelle fonction polynôme, on utilisera les deux propriétés suivantes (admises) :Propriété 1 :(admise)

1. Soit fla fonction définie surRparf(x) =k, oùkest une constante réelle. alorsfest dérivable surRetf?(x) = 0. 2.

Soit fla fonction définie surRparf(x) =x.

alorsfest dérivable surRetf?(x) = 1. 3. Soit fla fonction définie surRparf(x) =xn, oùnest une entier supérieur ou égal à 1.

alorsfest dérivable surRetf?(x) =nxn-1.Remarque :Les cas d"utilisation les plus fréquents de ces résultats sont regroupés dans le tableau1 .f(x)k(constante)xx

2x 3x 4x 5f ?(x)012x3x24x35x4Table1 - Dérivée dexn Exemples :1.La fonction f(x) = 4est dérivable surRet sa dérivée estf?(x) =0 . 2.

La fonction f(x) =x7est dérivable surRet sa dérivée estf?(x) =7 x6.Propriété 2 :1.Soit uune fonction dérivable sur un intervalleIetkun nombre réel.

Alors la fonction(ku)est dérivable surIet sa dérivée estku?.

On note :(ku)?=ku?.

2. Soit uetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleI. Alors la fonction(u+v)est dérivable surIet sa dérivée estu?+v?. On note :(u+v)?=u?+v?.Remarque :De la même façon, on a donc(u-v)?=u?-v?.

Exemples :1.La fonction f(x) = 3x5est dérivable surRet sa dérivée est :f?(x) =3 ×5x4= 15x4

2. La fonction f(x) =-3x3-x2+4x-1est dérivable surRet sa dérivée est :f?(x) =3 ×3x2-2x+

4×1-0= 9 x2-2x+ 4

Exercices :9, 10, 12 page 115 et 29, 30, 33 page 1165[Intervalle]3. Dérivées des fonctions usuelles.

4. Formules de dérivation.

5. Calcul de dérivées.

3

2 APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION

2 Applications de la dérivation

2.1 Dérivée et sens de variationThéorème fondamental(admis)

Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI. Si, p ourtout xdeI,f?(x)≥0alorsfestcroissan tes urI.

Si, p ourtout xdeI,f?(x) = 0alorsfestconstan tesu rI.Remarques :1.On a aus si: f?(x)>0donnefstrictementcroissante, etc.

2.

P ourétudier

les v ariationsd"une fonction , il faut donc étudier le signe de sa dériv ée . Pour cela, on pourra se reporter à la fiche de révisions sur les études de signes. Exemple :1.fdéfinie surI= [-2; 10]parf(x) =x2+ 2x-3.

On af?(x) = 2x+ 2×1-0 = 2x+ 2.

Il faut déterminer le signe def?.x-∞ -1 +∞Signe de2x+ 2-0 +Or, ici,x?[-2; 10]. On en déduit le tableau de variations def:x-2-1 10Signe def?(x)+

-3 117Variations def(x)? ? -42.Soit gla fonction définie sur[-3; 4]parg(x) = 2x3+ 3x2-12x+ 30. On ag?(x) = 2×3x2+ 3×2x-12×1 = 6x2+ 6x-12.

Il faut déterminer le signe deg?. Pour cela, on calcule le discriminant :Δ = 62-4×6×(-12) = 324.

Δ>0, il y a deux racines :x1=-6-⎷324

12 =-6-1812 =-2412 =-2etx2=-6+⎷324 12 =-6+1812 =1212 = 1.

On en déduit le signe deg?:x-3-2 1 4Signe deg?(x)+ 0-0 +On en déduit le tableau de variations deg:x-3-2 1 4Signe deg?(x)+ 0-0 +50 158

Variations deg(x)? ? ?

39 23
Remarque :on dit que la fonctiongadmet unmaxim umlo calen x=-2et enx= 4et unminim um local

en x=-3etx= 1.Plus généralement, on a le résultat suivant :Propriété :Soitfune fonction dérivable sur un intervalleIet soitx0?I,distinct des extrémitésdeI.

1. Si fa unextr emumlo calen x0, alors nécessairement,f?(x0) = 0. 2.

Si f?s"annuleen x0en changeant de signe, alorsfadmetun e xtremumlo calen x0.Exercices :54, 55, 57, 59, 61, 63 page 1176- 76 page 117 et 78, 79, 80, 81, 82 page 1187- 99, 100 page

122

8- 106 page 125; 108, 109 page 126 et 112 page 1279[Intervalle]6. Étude de variations.

7. Extremums locaux.

8. Contrôle d"un tableau de variations avec un tracé de courbe.

9. Type BAC.

4

RÉFÉRENCES 2.2 Équation de la tangente

2.2 Équation de la tangente

On veut déterminer l"équation de la tangente à la courbe représentant une fonctionfau point d"abscissea.

Pour cela, on utilisera les deux résultats suivants (voir figure 1 le co efficientdirecteur de la tangen te est l enom bredériv éf?(a); cette tangen te pas separ le p ointA(a;f(a)). Exemple :Soitfla fonction définie surRparf(x) =x2-2x-1.

On veut déterminer l"équation de la tangenteTà la courbe représentantfau point d"abscisse2.

L"équation de cette tange nteest de la forme y=mx+p.

Le coefficient directeur de la tangente estf?(2).

Or,f?(x) = 2x-2doncf?(2) = 2×2-2 = 4-2.

Le coefficient directeur deTest doncm= 2.

L"équation de Test donc de la formey= 2x+p.

Cette tangente passe par le pointA(2;f(2))avecf(2) = 22-2×2 + 1 = 4-4-1 =-1.

Elle passe donc par le pointA(2;-1). On a alors :

-1 = 2×2 +p -1 = 4 +p -1-4 =p -5 =p

L"équation de la tangenteTest doncy= 2x-5.

Exercices :86, 89 page 11910- 111 page 12711[Intervalle]

Références

[Intervalle] Collection In tervalle,Mathématiques ,programme 2013, T ermSTMG, Nathan, 2013. 2 3 4

5 10. Équation de tangentes.

11. Vrai-Faux.

5quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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