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Théooiex pn tLa loi exponentielle est une loisans mémoirec"est à dire que : t0 eth0 on aP X?t (X?t+h)=P(X?h) Prérequis :Définition de la loi etP(Xa) =1P(X?a)=1F(a)=e λa Démonstration :On applique la formule des probabilités conditionnelles : P X?t (X?t+h)=

P(X?tetX?t+h)

P(X?t)=

P(X?t+h)

P(X?t)

e

λ(t+h)

e λt e λt e λh e λt =e λh =P(X?h) Remarque :On dit que la durée de vie d"un appareil est sans mémoire lorsque la probabilité que l"appareil fonctionne encorehannées supplémentaires sachant qu"il fonctionne à l"intantt,ne dépend pas det.

5.Probas a Densité

Expéranced"uneloiexponentielle

Théooiex pn tSiXsuit une loi exponentielle de paramètreλalors son espé- rance mathématique vaut :E (X)= 1 Démonstration :D"après la définition, en posantg(t)=λte λt ,ona: E (X)=lim x+∞ x 0 g(t)dt Il faut trouver une primitive de la fonctiong, pour cela on dérive la fonctiong g (t)=λe λt 2 te λt =λe λt

λg(t)g(t)=e

λt 1 λg (t)

On a alors :

x 0 g(t)dt= x 0 e λt 1 λg (t) dt 1 λe λt 1 λg (t) x 0 1 e λt g(x) +1+g(0) 1 e λt

λxe

λt +1?

On pose :Y

=λx, on a alors : Six +∞alorsY∞

D"où : lim

x+∞ e λx =lim

Y∞

e Y =0 et lim x+∞

λxe

λx =lim

Y∞

Ye Y =0

Par somme et produit, on a alors :

lim x+∞ x 0 g(t)dt= 1 Théooiex pp nXest une variable aléatoire qui suit un loi normale centrée réduite. Soitαun réel de l"intervalle ]0;1[. Il existe ununiqueréelstrictement positifu tel que :P (u ?X?u )=1α Pré-requis :Loi normale centrée réduite et théorème des valeurs intermédiaires Démonstration :On cherche un réelxstrictement positif tel que : P (x?X?x)=1α (x)Φ(x)=1α (x)1+Φ(x)=1α 2Φ (x)1=1α (x)=1 2 2 2 u αO On sait que la fonctionΦest continue et strictement croissante sur]0;+∞[. De plus : lim x0

Φ(x)=Φ(0)=

1

Φ(x)=1

et 0 α1 1 1 2 1 donc d"après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un uniquex =u strictement positif tel queΦ(x)=1 2

Intervalledefluctuation

Théooiex pn tSi la varialble aléatoireX

n suit une loi binomialeB(n,p)alors pour tout réelαde ]0;1[, on a : lim n+∞ P?X n I n =1αoùI n p u p(1p) n;p +u p(1p) n? u

étant le nombre tel queP(u

?Z?u )=1αlorsqueZsuit ine loi normale centrée réduite. Remarque :le mot asymptotique vient du passage à la limite de l"intervalleI n

Démonstration :On poseZ

n X n np np(1p)

D"après le théorème Moivre-Laplace : lim

n+∞ P(u ?Z n ?u )suit une loi nor- male centrée réduite de variable aléatoireZ. On sait d"après les propriétés de la loi normale centrée réduite que pour tousα de ]0;1[, il existe un unique réel strictement positifu tel que : P (u ?Z?uα)=1α

De plus :

u ?Z n ?u u np(1p)?X n np?u np(1p) npu np(1p)?X n ?np+u np(1p) npu p(1p) n X n ?p+u p(1p) n

Donc lim

n+∞ P?X n I n =1α

Statistique-Intervalledeconfiance

On suppose n?30,np?5 etn(1p)?5

Théooiex pn tSoitF

n la variable aléatoire qui à chacun des échantillons de taillenassocie la fréquence du caractère dans cet echantillon.

La proportion inconnuepest telle que :

P F n 1 n ?p?F n 1 n? ?0,95 Démonstration :On a vu que l"intervalle de fluctuation au seuil de 95% peut

être simplifié par :?

p 1 n;p 1 n?

On a donc :

p 1 n ?F n ?p+ 1 n 1 n ?F n p? 1 n F n 1 n ?p?F n 1 n F n 1 n ?p?F n 1 n

Ainsi :P?

F n 1 n ?p?F n 1 n? ?0,95quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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