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S´eance I : Espace de probabilit´e

Exercice I.1.

On suppose que l"on a autant de chance d"avoir une fille ou un gar¸con `a la naissance. Votre voisin de palier vous dit qu"il a deux enfants. 1. Quelle est la probabilit´e qu"il ait au moins un gar¸con? 2. Quelle est la probabilit´e qu"il ait un gar¸con, sachant que l"aˆın´ee est une fille? 3. Quelle est la probabilit´e qu"il ait un gar¸con, sachant qu"il a au moins une fille? 4.

Vous t´el´ephonez `a votre voisin. Une fille d´ecroche le t´el´ephone. Vous savez que dans

les familles avec un gar¸con et une fille, la fille d´ecroche le t´el´ephone avec probabilit´ep,

quelle est la probabilit´e que votre voisin ait un gar¸con? 5. Vous sonnez `a la porte de votre voisin. Une fille ouvre la porte. Sachant que l"aˆın´e(e) ouvre la porte avec probabilit´ep, et ce ind´ependamment de la r´epartition de la famille, quelle est la probabilit´e que votre voisin ait un gar¸con?

Exercice I.2.

Les laboratoires pharmaceutiques indiquent pour chaque test sa sensibilit´eα, qui est la pro-

babilit´e que le test soit positif si le sujet est malade, et sa sp´ecificit´eβ, qui est la probabilit´e

que le test soit n´egatif si le sujet est sain. Sachant qu"en moyenne il y a un malade sur 1000 personnes, calculer la probabilit´e pour que vous soyez un sujet sain alors que votre test est

positif, avecα= 98% etβ= 97%. Calculer la probabilit´e d"ˆetre malade alors que le test est

n´egatif. Commentaire.

Exercice I.3.

Le joueurAposs`ede deux d´es `a six faces, et le joueurBposs´ede un d´e `a douze faces. Le joueur

qui fait le plus grand score remporte la mise (match nul si ´egalit´e). Le jeu est-il ´equilibr´e?

On calculera la probabilit´e queAgagne et la probabilit´e d"avoir un match nul.

Exercice I.4.

On consid`ere trois cartes : une avec les deux faces rouges, une avec les deux faces blanches, et une avec une face rouge et une face blanche. On tire une carte au hasard. On expose une face au hasard. Elle est rouge. Parieriez-vous que la face cach´ee est blanche? Pour vous aider dans votre choix : 1.

D´eterminer l"espace de probabilit´e.

2. Calculer la probabilit´e que la face cach´ee est blanche sachant que la face visible est rouge.

Exercice I.5.

Laformule du crible. SoitA1,···,Andes ´ev`enements. 1.

Montrer queP(A1?A2) =P(A1) +P(A2)-P(A1∩A2).

2.

Montrer la formule du crible par r´ecurrence.

P n[ i=1A i! =nX p=1(-1)p+1X 3. m X p=1(-1)p+1X est une majoration (resp. minoration) deP(Sn i=1Ai) lorsquemest impair (resp. pair).

Exercice I.6.

On utilise dans cet exercice la formule du crible (I.1) (cf exercice I.5). 1. Pour fˆeter leur r´eussite `a un concours,n´etudiants se donnent rendez-vous dans un chˆalet. En entrant chaque personne d´epose sa veste dans un vestiaire. Au petit matin, quand les esprits ne sont plus clairs, chacun prend au hasard une veste. Quelle est la probabilit´e pour qu"une personne au moins ait sa propre veste? 2. En d´eduire le nombre de permutations de{1,...,n}sans point fixe (probl`eme formul´e par P. R. de Montmort en 1708) 1 3. En s"inspirant de la question 1, calculer la probabilit´eπn(k) pour quekpersonnes exactement aient leur propre veste. 4. Calculer la limiteπ(k) deπn(k) quandntend vers l"infini. V´erifier que la famille (π(k),k?N) d´etermine une probabilit´e surN. Il s"agit en fait de la loi de Poisson.

Exercice I.7.

1. Calculer `a l"aide de la formule du crible le nombre de surjections de{1,···,n}dans {1,···,k}. 2.

En d´eduire

½n k¾ , le nombre de partitions d"un ensemble `an´el´ements enksous- ensembles non vides. Les nombres ½n k¾ sont appel´es les nombres de Stirling de deuxi`eme esp`ece. 3.

Montrer que

½n k¾ =½n-1 k-1¾ +k½n-1 k¾ ,½n 1¾ = 1,½n k¾ = 0 sik > n. 1

Voir L. Takacs (The problem of coincidences,Arch. Hist. Exact Sci.21 :3 (1980), 229-244) pour une ´etude

historique du probl`eme des co¨ıncidences vu par les probabilistes.

S´eance II : V. a. discr`etes

Exercice II.1.

SoitXune variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreθ >0 (i.e.P(X=k) = e-θθk k!, k?N). 1.

V´erifier que

1

1 +Xest une variable al´eatoire int´egrable. CalculerE·1

1 +X¸

2.

CalculerE·1

(1 +X)(2 +X)¸ et en d´eduireE·1

2 +X¸

Exercice II.2.

SoitX1,X2des variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Poisson de param`etres respectifs

1>0 etθ2>0.

1.

Calculer la loi deX1+X2.

2. Calculer la loi deX1sachantX1+X2. Reconnaˆıtre cette loi. 3.

CalculerE[X1|X1+X2].

Exercice II.3.

Un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir, avecnclefs dont une seule est la bonne. 1. Donner la loi de probabilit´e du nombreXd"essais n´ecessaires s"il essaie les clefs une `a une sans utiliser deux fois la mˆeme. Calculer l"esp´erance et la variance deX. 2. Lorsque le gardien est ivre, il m´elange toutes les clefs `a chaque tentative. Identifier la loi deX. Rappeler l"esp´erance et la variance deX. 3. Le gardien est ivre un jour sur trois. Sachant qu"un journtentatives ont ´et´e n´ecessaires pour ouvrir la porte, quelle est la probabilit´e que le gardien ait ´et´e ivre ce jour l`a?

Calculer la limite quandntend vers l"infini.

Exercice II.4.

On d´esire mod´eliser la loi du temps d"attente d"une panne de machine `a l"aide d"une lois sans

m´emoire : la probabilit´e pour que la machine tombe en panne apr`es la datek+nsachant

qu"elle fonctionne `a l"instantnest ind´ependante den. Plus pr´ecis´ement, on dit qu"une variable

al´eatoireX`a valeurs dansNest de loi sans m´emoire siP(X > k+n|X > n) est ind´ependant den?Npour toutk?N. 1. Montrer que la loi g´eom´etrique de param`etrepest sans m´emoire. 2. Caract´eriser toutes les lois sans m´emoire des variables al´eatoiresX`a valeurs dansN?. On pourra calculerP(X >1 +n) en fonction deP(X >1). 3. Caract´eriser toutes les lois sans m´emoire des variables al´eatoiresX`a valeurs dansN.

Exercice II.5.

SoitT1etT2deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi g´eom´etrique de param`etrep1et

p 2. 1. Calculer et reconnaˆıtre la loi de min(T1,T2). 2.

Calculer la loi jointe de min(T1,T2) etT1-T2.

3. 4. D´eduire ´egalement de la question 2. queR= max(T1,T2)-min(T1,T2) est ind´ependant de min(T1,T2). 5. Calculer la loi deRconditionnellement `a{R?= 0}. Reconnaˆıtre cette loi quandp1=p2.

Exercice II.6.

On consid`ere une urne contenantr≥1 boules rouges etb≥1 boules bleues. On tire au hasard les boulessans remise. 1. Combien existe-t-il de tirages complets possibles? 2. On noteXnle nombre de boules rouges obtenues alors que l"on a tir´enboules. Calculer la loi deXn. 3. Reconnaˆıtre la loi limite deXnquandr→ ∞etr/(r+b)→p?]0,1[. 4. On noteYk= 1 si la ki`emeboule est rouge etYk= 0 sinon. Quelle est la loi de (Y1,...,Yr+b)? 5. En d´eduire queY1,...,Yr+bont mˆeme loi. Calculer la loi deY1. 6. ExprimerXnen fonction deY1,...,Yn. CalculerE[Xn] et Var(Xn). 7. On noteSnle nombre de boules rouges lors d"un tirage al´eatoire denboules de l"urne avec remise. Quelle est la loi deSn? Comparer avec la question 3. 8. CalculerE[Sn] et Var(Sn). Comparer avec la question 6.

Exercice II.7.

On consid`ere une urne contenantr≥1 boules rouges etb≥1 boules bleues. On tire au hasard les boulessans remise. 1. On noteT1le nombre de boules qu"il faut tirer pour obtenir une boule rouge. Calculer la loi deT1. 2. Quelle est la loi limite quandr→ ∞etr/(r+b)→p?]0,1[. Comparer la loi limite avec le premier temps d"obtention d"une boule rouge dans un tirageavec remise. 3. On noteZ1=T1-1 et pouri? {2,...,r},Zkle nombre de boules bleues obtenues entre la (k-1) i`emeboule rouge et la ki`emeboule rouge. Enfin on noteZr+1le nombre de boules bleues obtenues apr`es la derni`ere boule rouge. Calculer la loi de (Z1,...,Zr+1). 4. En d´eduire queZ1,...,Zr+1ont mˆeme loi. CalculerZ1+···+Zr+1, puis calculer E[T1]. Cette m´ethode ne permet pas n´eanmoins de calculer Var(T1). On admet que

Var(T1) =rb(b+r+ 1)

(r+ 1)2(r+ 2). 5. Que se passe-t-il pourr→ ∞etr/(r+b)→p?]0,1[?

S´eance III : V.a. r´eelles

Exercice III.1.

SoitXune variable al´eatoire r´eelle de densit´ef(x) =xe-x2/21{x>0}. 1. V´erifier quefest une densit´e de probabilit´e. 2. Montrer queY=X2est une variable al´eatoire continue, dont on pr´ecisera la densit´e.

Reconnaˆıtre la loi deY.

3.

Calculer l"esp´erance et la variance deY

Exercice III.2.

SoitZune variable al´eatoire de Cauchy (de densit´e1 1

1 +x2).

1.

Calculer et reconnaˆıtre la loi de 1/Z.

2. Pour quelles valeurs deα?Rest-ce que|Z|αest int´egrable?

Exercice III.3.

SoitXune variable al´eatoire positive de densit´ef. Montrer soigneusement (en distinguant

E[Xr] =∞etE[Xr]<∞) que

E[Xr] =Z

0 rxr-1P(X > x)dxsir >0.

Donner une formule analogue pourr <0.?

Exercice III.4.

Votre ami choisit deux nombres positifs sans vous faire part de la mani`ere dont il les choisit.

Apr`es avoir lanc´e une pi`ece ´equilibr´ee, il vous donne le plus petit s"il a obtenu face et le plus

grand sinon. Vous devez parier s"il vous a donn´e le plus petit ou le plus grand. Votre objectif est de maximiser votre probabilit´e de gagner votre pari. 1. Vous lancez une pi`ece ´equilibr´ee ou non. Si vous obtenez face, vous pariez qu"il vous a donn´e le plus petit, sinon vous pariez qu"il vous a donn´e le plus grand. Quelle est la probabilit´e de gagner votre pari? 2. Vous simulez une variable al´eatoire positive continueZayant pour supportR+. Si le nombre donn´e par votre ami est plus petit queZ, alors vous pariez qu"il vous a donn´e le plus petit, sinon vous pariez qu"il vous a donn´e le plus grand. Quelle est la probabilit´e de gagner votre pari? 3. On suppose que les deux nombres de votre ami, ont ´et´e obtenus par simulation suivant une loi (continue de densit´e strictement positive sur ]0,∞[) donn´ee et connue de vous. D´eterminer votre strat´egie optimale (i.e. la loi deZque l"on ne suppose plus continue). Quelle est alors la probabilit´e de gagner votre pari?

Exercice III.5.

SoientXetYdeux variables al´eatoires dont les fonctions de r´epartitions, not´ees respective-

mentFetG, sont continues et strictement croissantes. 1.

Calculer la loi deG(Y).

2. Calculer et reconnaˆıtre la loi deF-1(G(Y)). 3. En d´eduire une m´ethode pour simuler la variable al´eatoireX(il s"agit de la m´ethode d"inversion de la fonction de r´epartition).

Exercice III.6.

On mod´elise le temps d"attente de pannes de machines par des variables al´eatoires sans m´emoire i.e.

P(X > t+s|X > t) =P(X > s)t≥0,s≥0.

1. Montrer que les lois exponentielles sont sans m´emoire. 2. D´eterminer les variables al´eatoires positives dont la loi admet une densit´e, qui sont sans m´emoire. On montrera que la fonction¯F(t) =P(X > t) satisfait une ´equation diff´erentielle que l"on justifiera et que l"on r´esoudra.

Exercice III.7.

Les lois exponentielles apparaissent comme des lois limites pour des lois g´eom´etriques chang´ees

d"´echelle. On peut mettre en ´evidence d"autres propri´et´es. 1. Montrer que siTest une variable al´eatoire exponentielle de param`etreλ, alors?Tm?+1,

o`u?x?repr´esente la partie enti`ere dex, etm >0, est une variable al´eatoire g´eom´etrique

dont on d´eterminera le coefficient. 2. SoitTune variable al´eatoire positive telle que?T2n?+ 1 est une variable al´eatoire g´eom´etrique pour toutn?N?. On notepnson param`etre.´Etablir une relation de r´ecurrence entreqn= 1-pnetqn+1= 1-pn+1. Montrer que {?T2n?+ 1≥ ?2nx?+ 2} ? {T≥x} ? {?T2n?+ 1≥ ?2nx?}. En conclure queTsuit une loi exponentielle. On d´eterminera son param`etre en fonction deq0. 3. SoitTune variable al´eatoire positive telle que : il existe une suite (mn,n≥1) croissante avecm0>0 et limn→∞mn=∞, et pour toutn≥1,?Tmn?+1 est une variable al´eatoire g´eom´etrique. Montrer queTsuit une loi exponentielle. On exprimera son param`etre `a l"aide de celui de?Tm0?. (On montrera d"abord queP(T > x) = limn→∞P(?Tmn?> ?mnx?) pourx≥0.)

S´eance IV : V.a. vectorielles

Exercice IV.1.

SoitYune variable al´eatoire de loi exponentielleλ >0 etεune variable al´eatoire discr`ete

ind´ependante deYet telle queP(ε= 1) =P(ε=-1) = 1/2. Montrer que la variable al´eatoire

Z=εYest `a densit´e et la calculer. Cette loi est appel´ee loi exponentielle sym´etrique.?

Exercice IV.2.

Soit (Un,n?N?) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1].

Soitθ >0.

1.

Donner la loi deXk=-log(Uk)/θ.

2.

Donner la loi de

Pn k=1Xk. 3.

Calculer la loi deNd´efini parN= infn

n;Qn+1 k=1UkExercice IV.3.

On consid`ere un gˆateau circulaire avec une cerise sur le bord. On d´ecoupe le gˆateau en deux

parts en coupant suivant deux rayons choisis au hasard. 1. Avec quelle probabilit´e la part contenant la cerise est-elle plus petite que la part ne contenant pas la cerise? 2. Quelle est la longueur angulaire moyenne de la part contenant la cerise?

Exercice IV.4.

SoitXetYdeux variables al´eatoires ind´ependantes de loi respective Γ(λ,a) et Γ(λ,b) avec

a,b,λ?]0,∞[. 1.

Calculer la loi du couple (X+Y,X

X+Y). 2.

Montrer queX+YetX

X+Ysont ind´ependantes et identifier leur loi.

Exercice IV.5.

On d´esire d´eterminer la distribution des vitesses des mol´ecules d"un gaz monoatomique parfait

`a l"´equilibre (loi de Maxwell (1859)). 1. Soit (X,Y,Z), un vecteur al´eatoire continu `a valeurs dansR3dont la loi est invariante par rotation autour de l"origine et dont les composantesX, Y, Zsont ind´ependantes.

Caract´eriser

2les lois marginales deX, YetZdans le cas o`u les densit´es des lois

marginales sont des fonctionsC1(R3,R). 2. On repr´esente la vitesse d"une mol´ecule d"un gaz monoatomique parfait `a l"´equilibre dans un rep`ere orthonormal par un vecteur al´eatoireV= (V1,V2,V3). Le choix du rep`ere ´etant arbitraire, il est naturel de supposer que la loi deVest invariante par rotation. Il est de plus naturel de supposer que les coordonn´ees deVsont ind´ependantes. Si on suppose de plus que la loi deVposs`ede une densit´e d´erivable, on en d´eduit que le

vecteurVv´erifie les propri´et´es de la question 1). D´eterminer la densit´e de probabilit´e

de la vitesse d"une mol´ecule, sachant que l"´energie cin´etique moyenne d"un atome du gaz de massemest3 2 kTo`ukest la constante de Boltzmann etTla temp´erature du gaz. (Pour des mol´ecules `a plusieurs atomes, l"´energie cin´etique moyenne tient compte d"effets complexes comme la rotation, les oscillations... La loi de Maxwell n"est plus v´erifi´ee dans ces cas.) 3. Montrer que siXetYsont deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi respective Γ(λ,a) et Γ(λ,b), alors la loi deX+Yest une loi gamma dont on pr´ecisera les pa- ram`etres. 4. Calculer la loi deV21. En d´eduire la loi de|V|2et la loi de|V|=p V

21+V22+V23dite

loi de Maxwell.

Exercice IV.6.

Soit (Xn,n≥1) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi exponentielle de param`etre rescpectifλn>0. Montrer que les trois conditions suivantes sont ´equivalentes. 1. P n≥1λ-1n<∞. 2. E hP n≥1Xni 3. P ³P n≥1Xn<∞´ >0.

Pour 3?1, on pourra consid´ererE[e-P

n≥1Xn].

Exercice IV.7.

Soitn≥2 etX1,...,Xnune suite denvariables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme 1.

Calculer la loi de (Y,Z).

2. En d´eduire la loi deYet la loi deZ. Reconnaˆıtre ces deux lois. 3.

CalculerE[Y|Z].

4. CalculerE[g(Y/Z)|Z], pour une fonctiongmesurable born´ee. En d´eduire puis re- connaˆıtre la loi deY/Zconditionnellement `aZ. Retrouver le r´esultat de la question 3. 5.

Montrer que (1-Z,1-Y) a mˆeme loi que (Y,Z).

6. En d´eduire que (1-Z)/(1-Y) est ind´ependant deY. 2

En fait, on peut, en utilisant les fonctions caract´eristiques, caract´eriser toutes les lois des vecteurs al´eatoires

qui sont invariantes par rotation autour de l"origine et dont les coordon´ees sont ind´ependantes, voir l"exercice

VI.8. Hormis la variable nulle, on ne trouve pas d"autres lois que celles obtenues sous les hypoth`eses de cet

exercice.

S´eance V : Convergence

Exercice V.1.

Th´eor`eme de Weierstrass (1885) : "Toute fonction continue sur un intervalle ferm´e born´e est

limite uniforme d"une suite de polynˆomes". Cet exercice s"inspire de la d´emonstration de Bernstein du th´eor`eme de Weierstrass. Soit

(Xn,n≥1) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Bernoulli de param`etre

x?[0,1]. Pourn≥1, on consid`ere la moyenne empirique¯Xn=1 n P n k=1Xk. Soith: [0,1]→R une fonction continue. Soitδ >0. On pose Δn={¯¯¯Xn-x¯¯> δ}. 1. 2.

D´eterminer lim

n→∞sup x?[0,1]¯

¯h(x)-E[h(¯Xn)]¯¯, en ´ecrivant

3.

Quelle est la loi den¯Xn?

4.

En d´eduire que

lim n→∞sup x?[0,1]¯

¯¯¯¯h(x)-nX

k=0µ n h(k/n)xk(1-x)n-k¯¯¯¯¯= 0. 5. Soitf:R+→Rcontinue born´ee. Montrer, en s"inspirant des questions pr´ec´edentes, que pour toutx?R+, lim n→∞¯

¯¯¯¯f(x)-∞X

k=0e -nx(nx)k k!f(k/n)¯

¯¯¯¯= 0.

Si l"on supposefuniform´ement continue, la convergence ci-dessus est-elle uniforme en x? (Prendre par exemplef(x) = cos(x) pourxn=πn.)

Exercice V.2.

En consid´erant une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1],

calculer `a l"aide de la loi des grands nombres lim n→∞Z [0,1]nf(x1+···+xn n )dx1···dxn, o`ufest une application continue born´ee deRdansR.?

Exercice V.3.

SoitXune variable al´eatoire `a valeurs dansN.

1.

Montrer que

+∞X k=1P(X≥k) =E[X].

On suppose queXest int´egrable. Soit (Xn,n≥1) une suite de variables al´eatoires de mˆeme

loi queX. 2. Soitm?N?. Montrer que la variable al´eatoireYm=+∞X n=11 {Xn n ≥1 m }est p.s. finie. 3.

En d´eduire que

Xn n tend p.s. vers 0 quandntend vers l"infini. 4.

Montrer que

1 n max(X1,...,Xn) tend p.s. vers 0 quandntend vers l"infini. 5. On suppose queXest une variable al´eatoire int´egrable `a valeurs dansRet non plus dansN. Montrer que1 n max(X1,...,Xn) tend p.s. vers 0 quandntend vers l"infini.

Exercice V.4.

Majoration du th´eor`eme des grandes d´eviations 3. Soit (Xn,n≥1) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi que X. On suppose queXest une variable al´eatoire born´ee non constante de moyenneμ= E[X]. Le but de cet exercice est de trouver une majoration exponentielle de l"´ev`enement rare ¯¯¯Xn-μ¯¯≥ε)ªavecε >0, o`u¯Xn=1 n n X i=1X i. Cette majoration est un exemple particulier des r´esultats de la th´eorie des grandes d´eviations. On note Φ la transform´ee de Laplace deXd´efinie par Φ(θ) =E[eθX] pourθ?R. 1. Montrer que Φ est de classeC∞. Calculer ses d´eriv´ees. 2.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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