CONTINUITÉ DES FONCTIONS
Exemples et contre-exemples : f n'est pas continue en a ... La courbe représentative d'une fonction continue se trace sans lever le crayon.
2. Continuité des fonctions
Par exemple tan(x) est continue sur son domaine de définition
Exemples de fonctions discontinues Continuité et dérivabilité dune
On dit que f est continue sur I si l'on peut tracer son graphe sans lever le stylo. Cette définition a le bon gout d'être intuitive par contre
Chapitre 7 : Intégrales généralisées
sur des segments non compacts ou bien sur des fonctions non continues par Cette exemple montre que l'aire sous la courbe de la fonction e?x sur tout [0 ...
Chapitre 2 - Continuité dune fonction de plusieurs variables
Si de plus g ne s'annule pas sur D alors f/g est continue. • Si D contient l'image de g
Corrigé du TD no 11
Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).
Exemples de fonctions non continues dans la vie courante
Exemples de fonctions non continues Lien avec le programme : continuité d'une fonction. EXERCICE 1 : ... La fonction « tarif » est-elle continue ?
Chapitre 3 - Dérivées partielles différentielle
http://www.math.univ-toulouse.fr/~jroyer/TD/2013-14-L2PS/L2PS-Ch3.pdf
Chapitre8 : Fonctions continues
Il est alors évident logiquement que (8.3) ùñ (8.4) ùñ (8.5) mais que les réciproques sont fausses en général. 0. 1. 2. Sur l'exemple : ‚ f n'est pas continue
Fonctions discontinues
Ici x et y doivent être du même type (réel fonction
[PDF] Fonctions discontinues
Montrons que la fonction “partie enti`ere” E est discontinue en 1 Rappel de la discontinuité ?? ? R? +?? ? R?
[PDF] Exemples de fonctions non continues dans la vie courante
Exemples de fonctions non continues dans la vie courante Niveau : terminale S éventuellement terminales STI2D ES-L Lien avec le programme : continuité
Fonctions continues et non continues sur un intervalle - Maxicours
Objectifs Introduire la notion de continuité Donner une liste usuelle de fonctions continues Montrer quelques contre-exemples Points clés Dire qu'une
[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques
Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut se tracer sans Exemples et contre-exemples : n'est pas continue en a
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Une fonction continue sur son domaine de définition n'est pas forcément continue dans ? Par exemple tan(x) est continue sur son domaine de définition mais
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Exemples de fonctions discontinues Continuité et dérivabilité d'une fonction définie par morceaux Cette fiche a été élaborée par des enseignantes et des
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Exemples : Sur [?1;4] la courbe de ne présente pas de saut : on peut la tracer sans lever le crayon est continue sur [?1;4]
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3 août 2015 · Fonctions continues nulle part dérivables Premier exemple d'une courbe “qui remplit l'espace”: fonction continue sur l'intervalle [0
[PDF] Mémoire sur les fonctions discontinues - Numdam
Nous avons donné plus haut un exemple d'une fonction continue dévelop- pable en une série de fonctions continués qui n'est pas également con- vergente; mais on
[PDF] TD no 11 — Propriétés des fonctions continues
Donner un exemple de fonction continue g :]0 1[?]0 1[ qui n'admet pas de point fixe Exercice 9 Soient I un intervalle de R et f : I ? R une fonction
Qu'est-ce qu'une fonction non continue ?
La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point. Soit la fonction f définie sur par f(x) = x2+ 3x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x ? 1.Quand une fonction n'est pas continue ?
Comme pour une fonction d'une variable réelle, cette propriété sert souvent à montrer qu'une fonction n'est pas continue. alors un tend vers (0, 0) mais f(un) ne tend pas vers f(0, 0) quand n tend vers +?. pour tout t = 0, ce qui donne une contradiction et prouve par l'absurde que f n'est pas continue en (0,0).Une fonction �� ( �� ) est continue si elle respecte les trois conditions suivantes :
�� doit être défini en �� ( �� appartient à l'ensemble de définition de �� ) ;l i m ? ? ? �� ( �� ) doit exister ;l i m ? ? ? �� ( �� ) et �� ( �� ) doivent avoir la même valeur.
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9SSEUoyHh2sPartie 1 : Notion de continuité
Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction.1) Définition
Définition intuitive :
Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon. Méthode : Reconnaître graphiquement une fonction continueVidéo https://youtu.be/XpjKserte6o
Étudier graphiquement la continuité des fonctions et définies et représentées ci-dessous
sur l'intervalle -2;2Correction
La courbe de la fonction peut se tracer sans lever le crayon, elle semble donc continue sur l'intervalle -2;2 La courbe de la fonction ne peut pas se tracer sans lever le crayon, elle n'est donc pas continue sur l'intervalle -2;2Cependant, elle semble continue sur
-2;1 et sur 1;2Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle contenant un réel .
- est continue en si : lim - est continue sur si est continue en tout point de .Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle , alors elle est continue sur cet
intervalle. - Admis - 2Exemples et contre-exemples :
est continue en a est continue en a est continue en a n'est pas continue en a n'est pas continue en a2) Cas des fonctions de référence
Les fonctions suivantes sont continues sur l'intervalle donné.Fonction Intervalle
Polynôme ℝ
0;+∞
1 -∞;0 et0;+∞
sin ℝ cos ℝ3) Opérations sur les fonctions continues :
Propriétés :
et sont deux fonctions continues sur un intervalle . (∈ℕ) et sont continues sur . Si ne s'annule pas sur , alors est continue sur . Si est positive sur , alors B est continue sur . Remarque : Dans la pratique, les flèches obliques d'un tableau de variations traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. 3 Méthode : Étudier la continuité d'une fonction définie par morceauxVidéo https://youtu.be/03WMLyc7rLE
On considère la fonction définie sur ℝ par =CLa fonction est-elle continue sur ℝ ?
Correction
Les fonctions ⟼-+2, ⟼-4 et ⟼-2+13 sont des fonctions polynômes
donc continues sur ℝ.Ainsi la fonction est continue sur
-∞;3 , sur 3;5 et sur5;+∞
Étudions alors la continuité de en 3 et en 5 : - lim =lim -+2=-3+2=-1 lim =lim -4=3-4=-1Donc : lim
=lim =(3)Et donc la fonction est continue en 3.
- lim =lim -4=5-4=1 lim =lim -2+13=-2×5+13=3La limite de en 5 n'existe pas. On parle de limite à gauche de 5 et de limite à droite de 5.
La fonction n'est donc pas continue en 5.
La fonction est continue sur
-∞;5 et sur5;+∞
En représentant la fonction , on peut
observer graphiquement le résultat précédent. Partie 2 : Théorème des valeurs intermédiairesExemple :
On donne le tableau de variations de la
fonction . 4 Il est possible de lire dans le tableau, le nombre de solutions éventuelles pour des équations du type L'équation =18 possède 1 solution comprise dans l'intervalle -1;1 L'équation =0 possède 3 solutions chacune comprise dans un des intervalles -4;-3 -3;-1 et -1;1 L'équation =-3 ne possède pas de solution. L'équation =3possède 2 solutions : l'une égale à -3, l'autre comprise dans l'intervalle -1;1Théorème des valeurs intermédiaires :
On considère la fonction continue sur l'intervalle [;]. Pour tout réel compris entre ()et (), l'équation = admet au moins une solution comprise entre et . Dans le cas où la fonction est strictement monotone sur l'intervalle , alors la solution est unique. - Admis - 5Dans la pratique :
Pour démontrer que l'équation
=0 admet une unique solution sur l'intervalle [;], on démontre que :1. est continue sur [;],
2. change de signe sur [;],
3. est strictement monotone sur [;],
Les conditions 1 et 2 nous assurent que des solutions existent. Avec la condition 3 en plus, nous savons que la solution est unique. Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (1)Vidéo https://youtu.be/fkd7c3IAc3Y
On considère la fonction définie sur ℝ par -1.1) Démontrer que l'équation
=0 admet une unique solution sur l'intervalle 1;22) À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement au centième de la solution .
Correction
1) • La fonction est continue sur l'intervalle
1;2 , car une fonction polynôme est continue sur ℝ. 1 =1 -1 -1=-1<0 2 =2 -2 -1=3>0 Donc la fonction change de signe sur l'intervalle 1;2 =3 -2=(3-2)Donc, pour tout de
1;2 >0. La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle 1;2 ➡ D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation =0 admet alors une unique solution sur l'intervalle 1;22) A l'aide de la calculatrice, il est possible d'effectuer des
" balayages » successifs en augmentant la précision.Vidéo TI https://youtu.be/MEkh0fxPakk
Vidéo Casio https://youtu.be/XEZ5D19FpDQ
Vidéo HP https://youtu.be/93mBoNOpEWg
La solution est comprise entre 1,4 et 1,5.En effet :
1,4 ≈-0,216<0 1,5 ≈0,125>0 6 La solution est comprise entre 1,46 et 1,47.En effet :
1,46 ≈-0,019<0 1,47 ≈0,0156>0On en déduit que : 1,46<<1,47.
Remarque :
Une autre méthode consiste à déterminer un encadrement par dichotomie : Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (2)Vidéo https://youtu.be/UmGQf7gkvLg
On considère la fonction définie sur ℝ par -4 +6.Démontrer que l'équation
=2 admet au moins une solution sur [-1 ; 4].Correction
est continue sur [-1 ; 4] car une fonction polynôme est continue sur ℝ. -1 -1 -4 -1 +6=1 4 =4 -4×4 +6=6Donc 2 est compris entre
et➡ D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l'équation
2 admet au moins une solution sur l'intervalle [-1 ; 4].
Remarque : Ici, on n'a pas la stricte monotonie de , donc on n'a pas l'unicité de la solution.
Partie 3 : Application à l'étude de suites
Théorème :
Soit une fonction continue sur un intervalle et soit une suite ( ) telle que pour tout , on a : ∈ et quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] figures acrosport cycle 3
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