Chapitre 10 - Équivalents La notion de fonctions équivalentes est un
La notion de fonctions équivalentes est un outil simple d'une grande efficacité pour calculer des limites. De plus la notion a un intérêt en tant que telle
Limites et équivalents
On considère dans cette partie une fonction f définie sur son domaine de définition Df . On dit que la fonction f admet pour limite finie l en x0 si :.
Poly fonctions R dans R Tout les methodes
Comment calculer la limite L (œ R ou = ±Œ) d'une fonction f en ±Œ ? . Comment déterminer l'équivalent d'une fonction f en un point x0 ou en ±Œ ? .
Analyse Asymptotique 1 : - Les Relations de comparaison —
13 janv. 2018 d'un équivalent est de remplacer une fonction par une autre fonction plus simple. ... Comment faire pour trouver un équivalent de ln un ?
TECHNIQUES & MÉTHODES S18 LIMITE DUNE FONCTION
1 sept. 2011 fonctions usuelles et les relations de comparaisons entre ces fonctions usuelles. 1. Page 2. ÉQUIVALENT D'UNE FONCTION. Comment obtenir un ...
Ex 1 Facile Trouver un équivalent lorsque x ? 1 de la fonction
Trouver un équivalent lorsque x ? 1 de la fonction définie par f(x) = ex2+1 ? e3x?1. Ex 2. Facile. Déterminer la limite lorsque x ? +? de la fonction
Suites et équivalents
1. la définition explicite permettant le calcul de un en fonction de n; Autrement dit trouver un équivalent simple de la suite.
Développements limités et asymptotiques
Nous allons à présent voir sur deux exemples comment obtenir le développement asymptotique d'une fonction au voisinage de l'infini. 3.1 Développements
Révision des équivalents et des développements limités I. Rappels
ne vous demandera jamais de trouver un équivalent de la fonction nulle. Les exemples donnés ici montrent comment accélérer le calcul d'un dévelop-.
Compléments sur les suites et les séries
Méthode 1.17 : Comment trouver un équivalent directement? Soit f une fonction définie sur une partie A de R et (un)n?N une suite de réels de A définie ...
[PDF] Chapitre 10 - Équivalents La notion de fonctions équivalentes est un
Pour trouver un équivalent de tan on remarque que comme cosx ? 1 quand x ? 0 cosx ? 1 et donc tan x ? x/1 = x En multipliant les équivalents on a donc
[PDF] Limites et équivalents
On dit que f est définie au voisinage de ?? s'il existe un réel b tel que ] ? ?b] ? Df Exemple : Soit g : x ?? ? ln(x ? 8) Cette fonction est
[PDF] Chapitre6 : Comparaison de fonctions
En pratique on dit plutôt que f(x) est équivalent à g(x) au voisinage de a et cela signifie donc qu'il existe une fonction ? de D dans R et qui tend vers 0
[PDF] Ex 1 Facile Trouver un équivalent lorsque x ? 1 de la fonction
Trouver un équivalent lorsque x ? 1 de la fonction définie par f(x) = ex2+1 ? e3x?1 Ex 2 Facile Déterminer la limite lorsque x ? +? de la fonction
[PDF] Révision des équivalents et des développements limités - PAESTEL
La méthode la plus utilisée pour trouver un équivalent d'une fonction f est de chercher une fonction g non nulle au voisinage de x0 x0 exclu telle que
[PDF] Équivalents et Développements (Limités et Asymptotiques)
Deux fonctions f et g sont dites équivalentes en x0 ? R si et seulement si lim Déterminer proprement un équivalent simple en +? de (ln(1 + x)
[PDF] Analyse Asymptotique 1 : - Les Relations de comparaison —
13 jan 2018 · Pour déterminer la limite d'une fonction on pourra ainsi rechercher un équivalent simple de la fonction Pour cela nous pourrons utiliser les
[PDF] FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
Comparaison des fonctions usuelles Soient ? ? et ? des réels strictement positifs • En +? : (lnx)? = o x?+?(
[PDF] Introduction aux calculs de limites équivalents et développements
Exercice 3 Avec les outils/techniques de terminale déterminer lim On traitera en parall`ele la question des limites de suites ou de fonctions
[PDF] Corrigé TD 3 Exercice 1
Pour obtenir la relation d'équivalence il faut que la différence soit de ox0(f (x0)·(x?x0)) : c'est bien le cas si f (x0) = 0 2 Même si ce n'est pas demandé
Comment trouver l'équivalent d'une fonction ?
On dit que f est équivalente `a g quand t ? a lorsqu'il existe un réel ? > 0 et une fonction h de [a? ?, a+ ?]?D vers R telle que pour t dans cet intervalle, f(t) = h(t)g(t) et que h(t) tende vers 1 quand t ? a.Comment montrer un equivalent ?
Pour montrer une équivalence en raisonnant par équivalences, il faut justifier si nécessaire les équivalences écrites à chaque étape. Si l'ombre d'un doute plane, il faut démontrer l'équivalence demandée en raisonnant par double implication. On sait que P est vraie, et on déduit que Q est vraie.Comment comparer deux fonctions ?
Pour comparer deux fonctions définies par f(x) et g(x): - on calcule f(x) - g(x), en simplifiant autant que possible l'expression. - on réalise le tableau de signes du résultat (revoir les signes des fonctions affines et des trinômes ).- On dit que f est négligeable devant g si la fonction fg tend vers 0 en a. On note f=ao(g) ou f(x)=ao(g(x)).
Compléments sur les suites et les séries
Table des matières
1 Compléments sur les suites 2
1.1 Comportement asymptotique des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.1.1 Relation de négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.1.2 Relation d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2 Suites implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.3 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82 Compléments sur les séries 9
2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92.1.1 Sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102.1.3 Exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102.1.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122.2.1 Critère de comparaison par inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.2.2 Critère de comparaison par équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.2.3 Critère de comparaison par négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.3 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 11 Compléments sur les suites
1.1 Comportement asymptotique des suites
1.1.1 Relation de négligeabilitéDéfinition 1.1 :Suite négligeable devant une autre suiteOn dit que la suite(un)estnégligeabledevant la suite(vn), s"il existe une suite(?n)qui converge vers0
et qui vérifie, à partir d"un certain rang u n=?nvn. On note :un=+∞o(vn)ouun=n→+∞o(vn).Remarque 1.2 On lit(un)est un "petito" de(vn)au voisinage de+∞.Exemple 1.Vérifier quen=+∞o(n2).Exemple 2.Vérifier que1n
2=+∞o?1n
.Proposition 1.3 :Suite convergenteUne suite(un)qui vérifieun=+∞o(1)signifie que(un)converge vers0lorsquen→+∞.Démonstration.On a simplement?n=un.Remarque 1.4 :Important !
Attention, la notation de Landau ("petito") repose sur un abus d"écriture :o(wn)ne désigne pas une suite
particulière, mais toute suite possédant la propriété d"être négligeable devant(wn).
Siun=+∞o(wn)etvn=+∞o(wn), on n"a pas nécessairementun=vn...Exemple 3.On an=+∞o(n2)etn+ 2 =+∞o(n2), cependantn?=n+ 2pourn?N.Proposition 1.5 :Caractérisation de la négligeabilitéSivn?= 0à partir d"un certain rang, alors
u n=+∞o(vn)?limn→+∞u nv n= 0.Démonstration.Puisquevn?= 0à partir d"un certain rang, on peut écrire : u n=+∞o(vn)? ??ntel queun=?nvnet?n→n→+∞0??n=unv n→n→+∞0Exemple 4.Vérifier quen+ 2 =+∞o?(n+ 1)2?. 2Proposition 1.6 :Négligeabilité et transitivitéSiun=+∞o(vn)etvn=+∞o(wn), alorsun=+∞o(wn).Démonstration.On a
•un=+∞o(vn), alors??ntel queun=?nvnet?n→n→+∞0. •vn=+∞o(wn), alors???ntel quevn=??nwnet??n→n→+∞0.On poseμn=?n??n, on a
u n=μnwnetμn→n→+∞0.Ainsiun=+∞o(wn).Exemple 5.Commen+ 2 =+∞o?(n+ 1)2?et(n+ 1)2=+∞o?n3?, alorsn+ 2 =+∞o?n3?.Proposition 1.7 :Négligeabilité et combinaisons linéairesSiun=+∞o(wn)etvn=+∞o(wn), alors
?(λ,μ)?R2, λun+μvn=+∞o(wn).Démonstration.Soit(λ,μ)?R2, on a •un=+∞o(wn), alors??ntel queun=?nwnet?n→n→+∞0. •vn=+∞o(wn), alors???ntel quevn=??nwnet??n→n→+∞0.On poseEn=λ?n+μ??n, on a
λuAinsiλun+μvn=+∞o(wn).Exemple 6.Montrer que3n+ 2 =+∞o?n2?.Proposition 1.8 :Négligeabilités usuellesOn peut réécrire les limites de type "croissance comparée" en termes de négligeabilité. Pour toutα >0, on
a :ln(n) =+∞o(nα)etnα=+∞o(en).Démonstration.Pourn?N?,nα>0eten>0. On a les limites usuelles suivantes :
lim n→+∞ln(n)nα= 0etlimn→+∞n
αe n= 0.31.1.2 Relation d"équivalence
Définition 1.9 :Suites équivalentesLes suites(un)et(vn)sont diteséquivalentes, s"il existe une suite(αn)qui converge vers1et qui vérifie,
à partir d"un certain rang
u n=αnvn. On note :un≂+∞vnouun≂n→+∞vn.Remarque 1.10On lit(un)est équivalent à(vn)au voisinage de+∞.Proposition 1.11 :Caractérisation de l"équivalenceSoient deux suites(un)et(vn). On a :
u n≂+∞vn?un=+∞vn+o(vn). Sivn?= 0à partir d"un certain rang, alorsun≂+∞vn?limn→+∞u nv n= 1.Démonstration.On a u n≂+∞vn? ?αntel queun=αnvnetαn→n→+∞1On pose?n=αn-1,
un≂+∞vn? ??ntel queun= (1 +?n)vn=vn+?nvnet?n=αn-1→n→+∞0?un=+∞vn+o(vn).
Sivn?= 0à partir d"un certain rang, on peut écrire : u n≂+∞vn?un=+∞vn+o(vn)?unv n=+∞v n+o(vn)v n?unv n=+∞1 +o(vn)v n→n→+∞1.Exemple 7.en+n2≂+∞en, carlimn→+∞e n+n2e n= limn→+∞?1 +n2e
n?= 1.Propriété 1.12 :Équivalence et opérationsOn considère trois suites(un),(vn)et(wn).
•Siun≂+∞vn, alorsunwn≂+∞vnwn. •Siun≂+∞vnetvn≂+∞wn, alorsun≂+∞wn. •Siun≂+∞vnet siun?= 0etvn?= 0à partir d"un certain rang, alors1u n≂+∞1v n. •Siun≂+∞vn, alors pour toutk?N, on a :ukn≂+∞vkn.Démonstration.On a•Siun≂+∞vn, alors?αntel queun=αnvnetαn→n→+∞1, doncunwn=αnvnwn.
Ainsiunwn≂+∞vnwn.
4•Siun≂+∞vnetvn≂+∞wn, alors?αn→n→+∞1tel queun=αnvnet?α?n→n→+∞1tel quevn=α?nwn,
doncun=αnα?nwn. Puisqueαnα?n→n→+∞1, alorsun≂+∞wn. •Siun≂+∞vnet siun?= 0etvn?= 0à partir d"un certain rang, alors 1u n1 v n= vnu Donc 1u n≂+∞1v n. •Siun≂+∞vn, alors?αntel queun=αnvnetαn→n→+∞1. Pourk?N, on a : u kn= (αnvn)k=αknvknetαkn→n→+∞1.Ainsiukn≂+∞vkn.Exemple 8.Donner un équivalent de?en+n2?3.Remarque 1.13 :Opérations interdites sur les équivalentsOn retiendra les trois interdits sur les équivalents:
•Une suite ne peut pas être équivalente à zéro. •On ne peut pas sommer dans les équivalents.•On ne peut pas composer dans les équivalents.Exemple 9.n2+n≂+∞n2et-n2+n≂+∞-n2, mais?n2+n?+?-n2+n?= 2nn"est pas équivalent à0.
Exemple 10.n+ 1≂+∞n, en composant parx?→ex,en+1n"est pas équivalent àencar e n+1en=e→n→+∞e?= 1.Proposition 1.14 :Équivalents usuelsSoit une suite(un)telle quelimn→+∞un= 0. On a les équivalents suivants pourα?= 0:
ln(1 +un)≂+∞uneun-1≂+∞un(1 +un)α-1≂+∞αun.Démonstration.On fait cette démonstration pourun?= 0à partir d"un certain rang :
•Rappel :ln(1 +x)x =ln(1 +x)-ln(1 + 0)x-0→x→0(ln(1 +x))?(0) =11 + 0 = 1, alors ln(1 +un)u n→n→+∞1.Doncln(1 +un)≂+∞un.
•Rappel :ex-1x =ex-e0x-0→x→0(ex)?(0) =e0= 1, alors e un-1u n→n→+∞1.Donceun-1≂+∞un.
5 •Rappel :(1 +x)α-1x =(1 +x)α-(1 + 0)αx-0→x→0((1 +x)α)?(0) =α(1 + 0)α-1=α, alors (1 +un)α-1αu n→n→+∞1. Donc(1 +un)α-1≂+∞αun.Exemple 11.Donner un équivalent deln?2-e-1n
2? .Proposition 1.15 :PolynômesSiak?= 0alors a a knk+ak-1nk-1+···+a1n+a0a knk= 1 +ak-1a k1n +...a1a k1n k-1+a0a k1nk→n→+∞1.Exemple 12.On a(2n+ 3)4≂+∞16n4.Proposition 1.16 :Limite et équivalenceOn considère deux suites(un)et(vn).
•Siun≂+∞vnet si(vn)n?Nconverge vers un réell, alors(un)n?Nconverge aussi versl. •Soitlun réel non nul, limn→+∞un=l?un≂+∞l. •Sivn=+∞o(un), alors u n+vn≂+∞un.Démonstration.On a•Siun≂+∞vn, alors?αntel queun=αnvnetαn→n→+∞1. De plus,vn→n→+∞l.
Ainsiun→n→+∞1×l=l.
•Siun→n→+∞l,alorsunl →n→+∞1. Doncun≂+∞l. •Sivn=+∞o(un), alors??ntel quevn=αnunet?n→n→+∞0. Ainsi un+vn=un+?nun= (1 +?n)unavec1 +?n→n→+∞1.Méthode 1.17 :Comment trouver un équivalent directement?Il est souvent très intéressant de factoriser par le facteur prépondérant puis éventuellement simplifier (en
cas de fraction).Exemple 13.Soit(un)n?Ndéfinie par :?n?N?, un=n-(lnn)2. Donner un équivalent deun.Méthode 1.18 :Comment étudier la nature d"une suite à l"aide d"équivalents?Siun≂+∞vnet si la suite(vn)n?Na une limite, alors la suite(un)n?Na la même limite.6
Méthode 1.18 :Comment étudier la nature d"une suite à l"aide d"équivalents?Siun≂+∞vnet si la suite(vn)n?Na une limite, alors la suite(un)n?Na la même limite.Exemple 14.Soitk?Nfixé. Calculer la limite de?
n k?n klorsquentend vers+∞.1.2 Suites implicitesDéfinition 1.19 :Suite impliciteUne suite impliciteest une suite définie par une équation.Soitfnune famille de fonctions définies sur un intervalleI. On suppose que, pour toutn?N, l"équation
fn(x) = 0admet une unique solution dansI, notéeun(car dépendant den).Méthode 1.20 :Étude des suites implicitesL"étude des suites implicites suit généralement le plan suivant.
1.On utilise le théorème de la bijection monotone appliqué àfnpour prouver l"existence et l"unicité
du réelunpour tout entier natureln. 2.On compareunà un réel fixéa: on compare d"abordfn(un)(qui vaut0) àfn(a), puis on utilise la
monotonie de la fonctionfnsurI. 3. On détermine le sens de v ariationde la suite (un): (a)On étudie le signe de fn+1(x)-fn(x)surI.
(b) On applique la formule précédente enx=unpour comparerfn+1(un)etfn(un) = 0 = fn+1(un+1). (c) On conclut en utilisan tla monotonie de la fonction fn+1.Remarque 1.21 Il ne faut jamais perdre de vue que la seule formule vérifiée par la suite(un)est ?n?N, fn(un) = 0.Exemple 15.Soitn?N?, on définit la fonctionfnsurR+définie par f n(x) =xn+1+xn-1. 1. Mon trerque p ourtout n?N?, l"équationfn(x) = 0admet une unique solution dansR+, notéeun. 2.Mon trerp ourtout n?N?,un<1.
3. P ourx?[0,1[, déterminer le signe defn+1(x)-fn(x). 4. Déterminer la monotonie de (un). En déduire la convergence de la suite(un). 71.3 Suites définies par récurrence
Définition 1.22 :Point fixe d"une fonctionSoitfune fonction définie sur une partieAdeR. On appelle point fixedeftout réelx?Avérifiant
f(x) =x.Proposition 1.23 :Limite d"une suite récurrente (proposition hors programme)Soitfune fonction définie sur une partieAdeRet(un)n?Nune suite de réels deAdéfinie par
u n+1=f(un). Si(un)n?Nconverge verslet sifest continue enl, alorslest un point fixe def. On a donc :f(l) =l.Démonstration.Siun→n→+∞l, alorsun+1→n→+∞l. Par continuité de la fonctionfenl,
f(un)→n→+∞f(l).Par unicité de la limite,f(l) =l.Remarque 1.24 :Limites finies possibles d"une suite récurrenteSi la fonctionfest continue sur l"intervalle considéré, alors les limites finiespossiblesde la suite(un)sont
données par les points fixes def.Méthode 1.25 :Étude des suites récurrentesLa combinaison des deux propriétés précédentes est très puissante : une des grandes méthodes d"études
des suites récurrentes suit le plan suivant 1. (a)On étudie les v ariationsde f.
(b)On détermine les p ointsfixes de f:
•soit en résolvant l"équationf(x) =x. soit en utilisant le théorème de la bijection monotone àx?→f(x)-x(dans ce cas on ne disposera pas d"une expression explicite pour les éventuels points fixes.). 2. On trouv eun in tervallecon tenanttous les termes de la suite (un)n?N. 3.On détermine la monotonie de la suite (un)n?N.
4.On détermine si la suite (un)n?Nconverge :
(a)Si la suite(un)n?Nest bornée, on en déduit par le théorème de la limite monotone que(un)n?N
converge vers une limitel. Par unicité de la limite, on en déduit quef(l) =l. (b) Sinon on montre par l"absurde que la suite(un)n?Nn"est pas bornée, la suite(un)n?Ntend alors vers+∞si elle est croissante (resp.-∞si elle est décroissante).Exemple 16. Soita >0etfla fonction définie surR?+parf(x) =x-ln(x). On définit la suite(un)n?N par la relation?u 0=a, u n+1=f(un). 81.Étudier fet faire un tableau de variations def.
2.Étudier le signe de f(x)-xpourx >0.
3. Mon trerque (un)n?Nest une suite strictement positive. 4. P ourquelle v aleurde a,(un)n?Nest une suite constante? 5.On sup posea >1.
(a)Mon trerque p ourn?N,un>1.
(b)Étudier les v ariationsde (un)n?N.
(c) En dédu ireque (un)n?Nconverge et calculer sa limite. 6.On sup posea <1.
(a)Mon trerque p ourn?N?,un>1.
(b) Mon trerque (un)n?Nconverge et calculer sa limite. 7. Écrire un programme en Scilabdemandantnetu0et permettant de calculerun. u0étant demandé à l"utilisateur.2 Compléments sur les séries
2.1 Rappels
2.1.1 SommationDéfinition 2.1 :SommeSoientn?N?, etu1,u2,...,undes réels. On note la quantité
u1+u2+···+un=n?
k=1uk.Propriété 2.2 :Formules de calcul élémentairesSoientn?N?,u1,u2,...,unetv1,v2,...,vndes réels. Alors
n k=1(uk+vk) =n? k=1u k+n? k=1v k.Soitλun réel, alorsn?
k=1(λuk) =λn? k=1u k. n k=1u k=m? k=1u k+n? k=m+1u k.9 Proposition 2.3 :Changement d"indiceSoientm,n?N, etum+1,um+2,...,um+ndes réels. n k=1u k+m=n+m? i=1+mu iOn dit qu"on a effectué le changement d"indicei=k+m.Exemple 17.Dans le cadre d"une somme télescopique, calculern?
k=11k(k+ 1).2.1.2 DéfinitionDéfinition 2.4 :SérieSoit(un)n?N?une suite de nombres réels. On appellesérie de terme généralun, la suite(SN)N?N?définie
par SN=u1+u2+···+uN=N?
n=1u n. Pour toutn?N?,unest appelé le terme d"indicende la série etSNla somme partielle d"indiceN.On note?u
n(ou? n≥1un) la série de terme généralun.Définition 2.5 :Série convergente et somme de la série
On dit que la série?u
nconverge si la suite(SN)N?Nconverge. La limite de cette suite est alors appelée somme de la sérieet est notée n=1u n.Si la série
?u nne converge pas, on dit qu"elle diverge.Remarque 2.6Il ne faut pas confondre :
?u n,N? n=1u net+∞? n=1u n.2.1.3 Exemples de référenceProposition 2.7 :Série géométriqueSoitqun réel. La série de terme généralqnconverge si, et seulement si,|q|<1, et alors
n=0qn=11-q.Exemple 18. n=0? 12 n =11-12 = 2. 10Proposition 2.8 :Séries géométriques dérivéesSoitqun réel vérifiant la relation|q|<1. On dispose alors des sommes des séries suivantes appelées
séries géométriques dérivées+∞? n=1nqn-1=1(1-q)2,+∞? n=2n(n-1)qn-2=2(1-q)3.Exemple 19. n=1n?23 n-1 =1?quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] fonctions excel pdf
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