[PDF] Poly fonctions R dans R Tout les methodes

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MYPREPA

EXPERTENREUSSITEAC ADEMIQ UE

FONCTIONSDERDANSR

Sommaire

Lesquesti onsclassiques3

Ensemblededéfinition3

Commentmontrerqu'un efonctionfestbiend éfiniesursonen semblededéfinitionD f ?..........3

Commentdéterminerl 'ensemblededéfinitionD

f d'unefonction?.. .................... .5

Symétried'unefonction7

Commentétudierlapar tied'unefonctionfsurunint ervalle Icentre?......... ... ... ... ..7

Commentétudierlapé riodicitéd'unefonction fsuruninte rvalle Icentré?......... ... ... ... 9

Commentmontrerquela courbed'unefonctionad metunedroi tex=a(aréel)commeaxedes ymétrie?.10 Commentmontrerquela courbed'unefonctionad metunpoint O(a,b)commecentred esymétrie?....13

Limite15

Commentmontrerqu'un efonctionfadmetunelimi teL(L!R,ou=±")enunpoi ntx 0 etlacal culer ?15 Commentmontrerqu'un efonctionadmetunelim iteL(!Rou=±")en±"?.............33 Commentcalculerlali miteL(!Rou=±")d'unefonctionfen±"?..................35 Commentmontrerqu'un efonctionfn'admetpasdelimiteL(!R)en±"?.................52 Commentétudierlecom portementasymptotiqued' unefonc tion?.......................54 Équivalent,négligeabilitéetdéve loppementslimités(DL)56 Commentdéterminerl 'équivalentd'unefonctionfenunpoi ntx 0 ouen ±"?................56 Commentmontrerlanégl igeabilitéd'unefonct ionfdevantuneautreen unpointx 0 ouen ±"?.....67 Commenttrouverundév eloppementlimitéd' unefonc tionfenunpoi ntx 0 ?.................69

Continuité74

Commentétudierlacon tinuitéd'unefonctionfàdr oite(réciproque mentàgauche)enunpointx 0 ?... .74 Commentétudierlacon tinuitéd'unefonctionfenunpoi ntx 0 ?........................78 Commentmontrerqu'un efonctionfestcontin uesurunintervalleI?.....................88 Commentmontrerl'exi stencedeprolongement parcontinuitéd'unefonctionfenpoint x 0 etencal culer lavaleu r?............... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..96 Commentétudierladé rivabilitéd'unefonction fenunpoi ntx 0 ?.......................103 Commentmontrerqu'un efonctionfestdériv ablesurunintervalle?...... ........ ...... ..110 Commentcalculerladé rivéed'unefonctionfenunpoi ntx 0 aprèsenavoirj ustifié ladérivabilit é?....113

Commentcalculerladé rivéed'unefonctionfsurunint ervalle Iaprèsenavoirj ustifié ladérivabilit é?..117

Commentmontrerqu'un efonctionfestdeclas seC

1 surunint ervalle I?...................123

Commentcalculerladé rivéen

ieme d'unefonctionfsurunint ervalle Itoutenjus tifiantl 'existencedes dérivéesn ieme

Sensdevariati ons133

Commentétudierlese nsdevariationsdefsuruninte rvalle I?........................133 Commentmontrerqu'un efonctionfestconstan tesurunintervalle?.... ........ ...... ...142

Bijectivitéetbijection147

Commentmontrerqu'un efonctionfestbi jective?................. ... ... .. ... ... .147

Commentexpliciteru nebijectionréciproquef

!1 ?................................157 Commentétudierladé rivabilitéd'unebiject ionréci proquef !1 enunpoi ntx 0 ?...............158 Commentétudierladé rivabilitéd'unebiject ionréci proquef !1 surunint ervalle I?.............163 Commentcalculerladé rivéed'unebijectionré ciproq uef !1 enunpoi ntx 0 aprèsenavoirj ustifié la dérivbilité?...... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ..166 Commentdéterminerl esvariationsd'unebijectionrécipro quef !1 ?......................171 1

Encadrementetfonction174

Commentmontrerqu'un efonctionfestmajoré e/minorée/bornéesuru nin tervalleI?..........174 Commentmontrerqu'un efonctionfn'estpasmajoréee t/ouminor éesurunintervalleI?.........180 Commentmontrerqu'un efonctionfadmetunmaximu m/mini mum/extremumsurun int ervalleI?..181 Commentmontrerqu'un efonctionfn'admetpasdemaximum/ minimu m/extr emumsurunintervall eI?185

Commentétablirunenc adrementavecuneexp ression dépendantdexdechaqu ecôtédel'inégalit é?...188

Convexitéetconcavité214

Commentmontrerqu'un efonctionfestconvex esurunintervalleI?.....................214 Commentmontrerqu'un efonctionfestconcav esurunintervalleI?.....................219 Résolutiond'uneéquationimpl iquantunefonction225

Commentmontrerl'exis tencedesolutionsd'u neéquationimpliquantunefonctionfouse sdérivée sd'ordre

quelconque?................... ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... .225

Commentdéterminerl aoulessolutionsd'uneéquationimpliq uantune fonc tionfouse sdérivée sd'ordre

quelconque?................... ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... .241

Résolutiond'uneéquationfonct ionnelle245

Commentrésoudreuneé quationfonctionnellemett antenjeuun iquementfetnonse sdéri vées?.... ..245

Commentrésoudreuneé quationfonctionnellepourl aquelleonpos sèdedesinformationss urlesdérivées

Représentationgraphique265

Commentfaireunerepr ésentationgraphi qued'une fonctionf?........................265 Commenttracerlabije ctiond'unefonction fbijective?......... ... ... ... ... .. ... ... 272 Commentétudierlapos itiondelacourbedefparrappor tàuneautrecourbe oupar rapportàsa tangente enunpoi ntA(x 0 ,y 0 2

Lesquest ionsclassiques

1.En semblededéfinition

a.Comm entmontrerqu'unefonctionfestbiendéfini esursonense mblededéfinitio n D f

Méthode1.Enmontrantquep ourtoutxdeD

f ,f(x)existe. Danscecas ,l'ensemble dedéfinitiondefnousestdo nné.Ilfauta lorsvérifier quef(x)existepourtoutxdeD f

Pointméthodologiq ue1.

Exemple1:

Soitflafo nctiondéfiniesurR\{1,3}parf(x)=

3x 2 #5 x 2 #4x+3

Montrerquefestbiendéfinies urR\{1,3}

!Correction D f ={x!R/x 2 #4x+3$=0} %x!R\{1,3},x 2 #4x+3=(x#2) 2 #1 or (x#2) 2 #1=0&'x#2=1oux#2=#1 &'x=3oux=1 donc %x!R\{1,3},x 2 #4x+3$=0 3

Ainsi,festbiendéfinies urR\{1,3}

Exemple2:

Soitflafo nctiondéfiniesur]#";#1[([3;+"[parf(x)= x#3 x+1

Montrerquefestbiendéfinies ur]#";#1[([3;+"[

!Correction D f x!R/x+1$=0et x#3 x+1 )0 (i)%x!]#";#1[([3;+"[,(x+1)$=0 (ii)%x<#1, x#3<0 x+1<0 donc %x<#1, x#3 x+1 )0 %x)3, x#3)0 x+1)0 donc %x)3, x#3 x+1 )0

Ainsi,%x!]#";#1[([3;+"[,

x#3 x+1 )0 D'après(i)et(ii),festbiendéfinies ur]#";#1[([3;+"[ 4 b.Co mmentdéterminerl'ensembl ededéfinitionD f d'unefoncti on? Méthode2.Enrevenantàla caractérisationsur l'existenced'une fonction Danscecas ,l'ensemble dedéfinitiondefnenous estpas donné. Ils'agit alorsdetrouver l'ensembledespoints xtelsquef(x)existe. Celanousamène générale mentàrésoudr euneouplusieurséquationsouinéqua- tions

Pointméthodologiq ue2.

Exemple1:

Déterminerl'ensemblededéfinitiondelaf onctionfdéfinieparp ourtoutxréel, f(x)= lnx !Correction D f :festdéfiniesie tseulemen tsix>0etlnx)0i.esi etseule mentsix)1 Donc D f =[1;+"[

Exemple2:

Déterminerl'ensemblededéfinitiondelaf onctionfdéfinieparp ourtoutxréel, f(x)=xe 1 lnx !Correction x+,lnxdéfiniesurR x+, 1 x définiesurR

Doncx+,

1 lnx estdéfiniesie tseulemen tsi x>0 lnx$=0 5 i.esi etseuleme ntsix>0etx$=1 Ainsi D f =R \{1}

Exemple3:

Déterminerl'ensemblededéfinitiondelaf onctionfdéfinieparp ourtoutxréel, f(x)=ln (2 x+ 4x 2 +1) !Correction festdéfiniesie tseulemen tsi 4x 2 +1)0 2x+ 4x 2 +1>0 •unca rréesttoujourspo sitifdonc%x!R,4x 2 +1)0 •Soitx!R. Ona: 2x+ 4x 2 +1>0&' 4x 2 +1>#2x -Six>0alors#2x<0etcomme 4x 2 +1)0 (uneracine carréétantt oujourspositive) l'inégalitéesttoujoursv raiesurR -Six-0alors#2x)0,on peutalo rséleverau carréparcroiss ancedeu+,u 2 sur R etilvien t: 4x 2 +1>#2x&'4x 2 +1>4x 2 &'1>0

Ceciesttoujo ursvraidonco npeutconclure:

D f =R 6

2.Sym étried'unefonction

a.Comm entétudierlapartied'unefonct ionfsurunint er valleIcentre? Méthode3.Enrevenantàla définitiond'unefonctionpair eouimp aire

1.festpairesurun intervalleIsietse ulementIestuninter valle centréen

0et pourtout xappartenantàI,f(#x)=f(x).

2.festimpairesur unintervalleIsietse ulementIestuninter valle centré

etpourt outxappartenantàI,f(#x)=#f(x)

Rappeldecours1.

Pourmontre rqu'unefonctionfestpaireou impairesuruninte rvalleI, lepre mierréflexedoitêt redevérifierqueIestuninter valle centréen0 c'est-à-direquepourtoutappartenantà I,#xappartientàI. Sice tteconditionn'estpasv érifiée,lafonctionfnepe utêtrepaire ouimpaire surI. Ensuite,etseulemente nsuite,on essayedemontrerquepo urtoutxapparte- nantàI,f(#x)estég alàf(x)ou#f(x)selonquel'onsouha itemontr er quefestpaireou impaire. Enpratiq ue,l'intervalleIcoïncideraavecl'ensemblededé finitionD f def.

Pointméthodologiq ue3.

Exemple1:

Soitflafo nctiondéfiniepourtoutréelxpar:

f(x)= e x (1+e x 2

Etudierlaparitédef.

7 !Correction -%x!R,#x!R(1) -%x!R f(#x)= e "x (1+ e "x 2 e "x (e "x (1+ e "x 2 e "x e "2x (1+ e x 2 e "x e 2x (1+e x 2 e x (1+e x 2 =f(x)(2) (1)(2)='festpairesur R

Exemple2:

Soitflafo nctiondéfiniepourtoutxappartenantàR#{#2;2}par: f(x)=x 3 #2x

Étudierlaparitédef

!Correction -%x!R,#x!R(1) -%x!R#{#2;2},f(#x)=(#x) 3 #2(#x)#(x 3 #2x)=#f(x)(2) (1)(2)='festimpairesur R#{#2;2}

Exemple3:

Soitflafo nctiondéfiniepourtoutxappartenantàR#{2}parf(x)= 1 2#x

Étudierlaparitédef.

!Correction

R#{2}n'estpasunint ervallec ent réen0:

8 ene!et,#2!R#{2}cequin'es tpaslec asde#(#2)= 2

Ainsi,fn'estnipaireni impaire .!

b.Co mmentétudierlapériodicit éd'unefonctionfsurunint er valleIcentré? Méthode4.Enrevenantàla définitiond'unefonctionpér iodique Unefo nctionfdéfiniesurun ensembleD.Rdenom bresréelsestdite %x!D,x+t!Detf(x+t)=f(x)

Rappeldecours2.

Pourmontre rqu'unefonctionfestt#périodique(t!R)sur unensem bleD, lepre mierréflexedoitêt redevérifierque%x!D,x+t!D. Sice tteconditionn'estpasv érifiée,lafonctionfnepe utt#périodiquesurquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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