[PDF] Epreuve commune de Mathématiques

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Année 2010 - 2011 Collège Les Jacobins

Epreuve commune de

Mathématiques

L"ensemble est sur 20 points.

(2 points sont réservés à la présentation et à la rédaction)

Les calculatrices sont autorisées.

La durée de l"épreuve est de 1h30.

Activités numériques

Exercice 1

Dans chaque cas indiquer les étapes de calcul.

1. Calculer A et B en donnant les résultats sous la forme d"une fraction irréductible.

A = 1 2 + 3 4 B = 5 6 : 5 9

2. Calculer en respectant les priorités

C = 10 - [- 2 x (2 x (-3)) + 5]

3. Calculer en donnant le résultat sous la forme d"une écriture scientifique.

D =

9 x 10

4 x 5 x 10-1

3 x 102

Exercice 2

1. Sans calculer leur PGCD, dire pourquoi les nombres 648 et 972 ne sont pas premiers entre eux.

2. Calculer PGCD ( 972 ; 648).

3. Utiliser ce calcul pour écrire la fraction 648972

sous forme irréductible.

Exercice 3

On donne l"expression suivante E = (

x - 1) (2x + 5) + (x - 1)2

1. Développer et réduire l"expression E.

2. Factoriser l"expression E.

3. Calculer l"expression E pour la valeur

x = 1.

Activités géométriques

Exercice 1

1. Tracer un cercle de centre O et de rayon 5 cm. Tracer [BC] un de ses diamètres.

Soit A un point de ce cercle tel que AC = 6 cm.

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

3. Calculer la distance AB.

4. On appelle I le milieu du segment [AC].

Démontrer que la droite (OI) est parallèle à (AB).

5. En déduire que les droites (OI) et (AC) sont perpendiculaires.

6. Construire le point J symétrique du point O par rapport au point I.

Quelle est la nature du quadrilatère OCJA ? Justifier la réponse.

Exercice 2

L"unité de longueur est le centimètre

On donne :

- Les points C, D et A sont alignés. - Les points B, E et A sont alignés. - (DE) ^ (AD) - AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75 ; AD = 3,2 - M Î [AC] et N Î [AB] tels que AM = 4 et AN = 5.

1. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle. Vous préciserez en quel point.

b. En déduire que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

2. Calculer DE.

3. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

B C N MD E A

La figure n"est pas en vraie grandeur

CORRECTION

Activités numériques

Exercice 1

1. A = 1

2 + 3 4 = 2 4 + 3 4 = 5 4 B = 5 6 : 5 9 = 5 6 x 9 5 = 5 x 96 x 5 = 9 6 = 3 2

2. C = 10 - [- 2 x (2 x (-3)) + 5]

C = 10 - [- 2 x (-6) + 5]

C = 10 - [ 12 + 5]

C = 10 - 17

C = -7

Exercice 2

1. 972 et 648 ne sont pas premiers entre eux car ils sont pairs (Divisibles par 2)

2. Par la méthode des divisions successives (Algorithme d"Euclide)

Le PGCD de 972 et 648 est le dernier reste non nul donc PGCD (972 ; 648) = 324

3. 648972

= 324 x 2324 x 3 = 2 3

Cette fraction est irréductible car on a simplifié par le plus grand diviseur commun de 648 et 972.

Exercice 3

1. E = (x - 1) (2x + 5) + (x - 1)2

E = 2 x2 + 5x - 2x - 5 + x2 - 2 x x x 1 + 12 E = 2 x2 + 3x - 5 + x2 - 2x + 1 donc E = 3x2 + x - 4

2. E = (

x - 1) (2x + 5) + (x - 1)2

E = (x - 1) (2x + 5) + (x - 1) (x - 1)

E = (x - 1) x [(2x + 5) + (x - 1)] donc E = (x - 1) x (3x + 4)

3. Pour

x = 1, je choisis l"expression factorisée : E = ( x - 1) x (3x + 4) = (1 - 1) x (3 x 1 + 4) = 0 x 7 donc E = 0

3. D = 9 x 104 x 5 x 10-1

3 x 102

D = 9 x 5

3 x 10

4 x 10-1

102

D = 15 x

10 3 102

D = 15 x 10

1 = 1,5 x 102

2 7 9 8 4 6

1 4 2 3

8 4 6 4 2 3

2 0

Activités géométriques

Exercice 1

1.

2. On sait que : le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC].

Or si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle

Donc le triangle ABC est rectangle en A

(Car [BC] devient l"hypoténuse)

3. Dans le triangle ABC est rectangle en A

(D"après 2.) on sait que BC = 10 cm et AC = 6 cm. Or, d"après le théorème de Pythagore, on a : BC

2 = AB2 + AC2

Donc 10

2 = AB2 +62

100 = AB

2 + 36

AB

2 = 100 - 36 = 64

AB =

64 donc AB = 8 cm

4. Dans le triangle ABC

on sait que : I est le milieu de [AC] et O est le milieu de [BC]. Or si une droite passe par le milieu de deux côtés d"un triangle alors elle est parallèle au 3 e côté

Donc (OI) est parallèle à (AB).

5. On sait que : (OI) // (AB)

(D"après 4.) (AB) ^ (AC) (Car d"après 2. le triangle ABC est rectangle en A)

Or si deux droites sont parallèles

alors toute droite perpendiculaire à l"une est perpendiculaire à l"autre

Donc (OI) et (AC) sont perpendiculaires.

6. Dans le quadrilatère OCJA

On sait que : (OI) ^ (AC)

(D"après 5.)

I est le milieu de [AC]

I est le milieu de [OJ]

(car J et O sont symétriques par rapport au point I) Or si les diagonales d"un quadrilatère sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un losange

Donc OCJA est un losange

Exercice 2

1. a. Dans le triangle ABC,

On sait que [AB] est le côté le plus grand

D"une part : AB

2 = 6,252 = 39,0625

D"autre part : AC

2 + BC2 = 52 + 3,752 = 25 + 14,0625 = 39,0625

Comme AB

2 = AC2 + BC2

D"après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. (Car [PM] devient l"hypoténuse) b. On sait que : (BC) ^ (AC) (Car d"après 1a.. le triangle ABC est rectangle en C) (DE) ^ (AC) (Car (AC) et (AD) sont confondues) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles

Donc (BC) et (DE) sont parallèles

2. On sait que : les points A, D, C et A, E, B sont alignés

De plus les droites (BC) et (DE) sont parallèles (D"après 1b.)

Or d"après le théorème de Thalès, les triangles ADE et ABC ont des côtés proportionnels

Donc AD

AC = AEAB = DE BC

On remplace par les valeurs :

3,2 5 = AE

6,25 = DE

3,75 DE =

3,2 x 3,75

5 donc DE = 2,4 cm

3. D"une part : AM

AC = 4 5 = 0,8 et d"autre part : AN

AB = 5

6,25 = 0,8

On sait maintenant que

AM AC = AN AB et comme les points A, M, C et A, N, B sont alignés dans le même ordre D"après la réciproque du théorème de Thalès, On peut donc affirmer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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