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Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque

12 oct. 2017 Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque. Table des matières. 1 Dérivée de la composée. 2. 1.1 Définition .



Cours informel sur la fonction réciproque.

Définition graphique. Par définition le nombre dérivé en a



Fonctions réciproques

11.1.6 Fonction réciproque – Dérivée. Notons que si f est bijective alors elle admet une fonction réciproque fL1. Ces deux fonctions vérifient la.



Fonctions réciproques 21/10/02 Deug MIASSM TC

2. Calculer la dérivée d'une fonction réciproque a) Esquisser le graphe des fonctions dont il est question puis rectifier les erreurs éventuelles dans la.





CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions dune variable réelle

Connaître la définition de fonction dérivée et les dérivées des fonctions Donc f est bijective et sa fonction réciproque (arctan) a pour dérivée :.



Tableau de variation :

On admettra la propriété réciproque à savoir que : Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR et si sa dérivée est nulle sur I.



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Autrement dit les extréma d'une fonction `a l'intérieur d'un intervalle sont `a chercher parmi les points o`u la dérivée s'annule. Attention



Chapitre 7 Fonctions réciproques et nouvelles fonctions usuelles

Proposition 7.16 La fonction arctangente est impaire continue sur R et strictement croissante; elle est dérivable sur R et sa dérivée est : arctan1pxq “. 1. 1 



Corrigé du TD no 11

La fonction f est continue dérivable sur R et sa dérivée (pour un calcul plus détaillé d'une bijection réciproque



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Dérivation de fonctions réciproques- Fonctions élémentaires Exercice 1: Montrer que les fonctions ƒ et g admettent une fonction réciproque que l'on



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11 1 6 Fonction réciproque – Dérivée Notons que si f est bijective alors elle admet une fonction réciproque fL1 Ces deux fonctions vérifient la



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12 oct 2017 · Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque Table des matières 1 Dérivée de la composée 2 1 1 Définition



[PDF] Feuille 1 Fonctions réciproques & Dérivabilité Quelques Rappels

Exercice 4 En revenant à la définition donner le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée des fonctions suivantes 1 La fonction x ?? xn définie sur R 



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Montrer que f admet une réciproque f?1 calculer cette réciproque et sa dérivée Réponse: Pour x réel quelconque on a f(x) = ? ?? (x + 1) ?



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BTS MAI 2 Chap 8 : Fonctions réciproques I Définition Théor`eme 1 : Toute fonction f définie sur un intervalle I continue et strictement monotone sur



[PDF] 1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque

f C I ? L'application qui a tout ( ) y f I ? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f On la note 1



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Fonction réciproque Dérivée Primitives TS et plus La fonction logarithme népérien admet une fonction réciproque sur ]??; ?[ la fonction



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Soit f : I ?? R une fonction continue et strictement monotone définie sur un intervalle I ? R 63 1 Fonctions réciproques Définition 1 : Soient E F ? R



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Donner une formule pour la fonction réciproque de f : I? -? J? Calculer la dérivée de f les limites aux bornes de l'ensemble de définition 

  • Comment dériver une fonction réciproque ?

    D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ? ( x ) = 0 ? x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.

  • Quelle est la fonction réciproque ?

    En analyse, la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui, à partir du résultat obtenu en appliquant f sur un nombre, redonne ce nombre.
  • On va déterminer la réciproque par intervalles. Remarquons d'abord que f f définit une bijection de ]??;1[ ] ? ? ; 1 [ dans ]??;1[ ] ? ? ; 1 [ par la formule f(x)=x f ( x ) = x . La bijection réciproque est donnée par f?1(y)=y f ? 1 ( y ) = y .
[PDF] Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque DERNIÈRE IMPRESSION LE12 octobre 2017 à 9:08

Composition de fonctions, dérivées

successives et fonction réciproque

Table des matières

1 Dérivée de la composée2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Variation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Le théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Dérivées successives5

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Relation de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Interprétation de la dérivée seconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Dérivée de la fonction réciproque7

3.1 Fonction réciproque d"une fonction monotone. . . . . . . . . . . . 7

3.2 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE

1 Dérivée de la composée

1.1 Définition

Définition 1 :Fonction composée defparg

On appelleg◦fdéfinie surDfpar :g◦f(x) =g[f(x)] Remarque :Celarevientàappliquersuccessivementlafonctionfetlafonctiong. x f----→y=f(x)g----→z=g(y) =g[f(x)]=g◦f(x) Cela nécessite la conditionf?Df??Dg, i.e. :?x?Df,f(x)?Dg. soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement parf(x) =x+3 etg(x) =lnx. La fonctiong◦fest telle queg◦f(x) =ln(x+3) La fonctionfest définie surR, mais comme on applique ensuite la fonction ln, il est nécessaire d"avoirf(x)>0, soitx+3>0?x>-3.

On réduit doncDfà]-3 ;+∞[

?La composée de deux fonctions n"est pas une opération commutative. En effet dans la plupart des casg◦f?=f◦gcomme sur l"exemple suivant : Soit les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =x-2 etg(x) =4x+3. Les deux fonctions étant définies surR, les fonctionsg◦fetf◦gsont donc aussi définies surR. On a alors : g◦f(x) =g(x-2)=4(x-2) +3=4x-5 f◦g(x) =f(4x+3)= (4x+3)-2=4x+1 Exemple :Décomposer les fonctionsf1,f2etf3suivantes en fonctions élémen- taires en précisant leur ensemble de définition : f

1(x) =1

3x-1f2(x) =?4-x2f3(x) =ln(ex+2)

•f1est définie surR-?13?

et l"on décomposef1=h◦gavec : g(x) =3x-1 eth(x) =1 x •f2est définie sur[-2 ; 2]et l"on décomposef2=k◦h◦gavec : g(x) =x2h(x) =4-xetk(x) =⎷ x •f3est définie surRet l"on décomposef3=k◦h◦gavec : g(x) =exh(x) =x+2 etk(x) =lnx Remarque :La composition de fonctions est une opération associative : h◦(g◦f) = (h◦g)◦f=h◦g◦f

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE

1.2 Variation d"une fonction composée

Théorème 1 :Soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement sur I etf(I). •Sifetgontmême variationresp.t sur I etf(I)alors la fonctiong◦fest croissantesur I. •Sifetgont desvariations opposésresp. sur I etf(I)alors la fonctiong◦f estdécroissantesur I. Démonstration :Nous ferons la démonstration pour une fonctionfcroissante sur I et une fonctiongdécroissante surf(I). fest croissante sur I :?x1,x2?I,x1On a donc :?x1,x2?I,x1g[f(x2)]

La fonctiong◦fest décroissante sur I.

Exemple :Soit la fonctionhdéfinie sur]-∞;1]parh(x) =⎷ 1-x

1) Décomposerhen deux fonctions élémentaires.

2) Déterminer les variations deh.

1) La fonctionhse décompose eng◦f, avec :f(x) =1-xetg(x) =⎷x

2) On sait que la fonction :

•fest décroissante sur]-∞; 1]etf(]-∞; 1]) = [0 ;+∞[

•gest croissante sur[0 ;+∞[

d"après le théorème des fonctions composées,hest décroissante sur]-∞; 1] ?Il n"est donc pas nécessaire pour ce cas particulier de déterminer le signe de la dérivée pour connaître les variations de la fonctionh.

1.3 Le théorème

Théorème 2 :Soituetvdeux fonctions dérivables respectivement sur les intervalles I et J tel queu(I)?J.

Soit la fonctionfdéfinie sur I par :f=v◦u

La fonctionfest dérivable sur I et :f?=u?×v?◦u. Démonstration :Soitaun point de I etxun point de I du voisinage dea. Calculons le taux de variation de la fonctionfena.

PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE

f(x)-f(a)

On poseX=u(x)etA=u(a), on a donc :

f(x)-f(a) x-a=v(X)-v(A)X-A×u(x)-u(a)x-a SurIlafonctionuestcontinuecardérivable,donc limx→aX=limx→au(x) =u(a) =A. Commeuetvsont dérivables respectivement sur I et J, on passe à la limite : lim

X→Av(X)-v(A)

X-A=v?(A)

lim x→au(x)-u(a) x-a=u?(a)????

Par produit, on a :

lim x→af(x)-f(a)x-a=u?(a)×v?(A) La fonctionfest dérivable en tout point de I, commeA=u(a), on a alors : f ?=u?×v?◦u.

1.4 Applications

•Déterminer la dérivée de la fonctionf(x) =cos?x-12x+1?

On décompose la fonctionfen :???u(x) =x-1

2x+1 v(x) =cosx La fonctionuest une fonction rationnelle donc dérivable surR-? -1 2?

La fonctionvest dérivable surR.

La fonctionfest donc dérivable surR-?

-1 2? . On dérive alors la fonc- tionf: f ?(x) =u?(x)×v?◦u(x) =(2x+1)-2(x-1) (2x+1)2×? -sin?x-12x+1?? -3 (2x+1)2sin?x-12x+1? •Soit la fonctionfdéfinie pour toutx?=1 par :f(x) =x2+1x-1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
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